高中数学导数练习题含答案

高中数学导数练习题含答案一、解答题1．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设有两个不同的零点，求证：．2．已知函数，其中(1)讨论函数的单调性；(2)若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时，3．已知函数．(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(2)设函数，若，求的值．4．已知函数(1)填写函数的相关性质；定义域值域零点极值点单调性性质(2)通过（1）绘制出函数的图像，并讨论方程解的个数．5．已知函数，.(1)若恒成立，求实数a的取值范围；(2)若，且，试比较与的大小，并说明理由.6．设函数y=x3+ax2+bx+c的图像如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4.(1)求a，b，c的值.(2)求函数的递减区间.7．设函数，其中且，e是自然对数的底数.(1)设是函数的导函数，若在上存在零点，求a的取值范围；(2)若，证明：.8．已知函数.(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围；(3)若函数存在最小值，直接写出的取值范围.9．已知函数，，其中e是自然对数的底数，.(1)试判断函数的单调性与极值点个数；(2)若关于x的方程在上有两个不等实根，求实数a的最小值.10．已知函数，其中且．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：；(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）【参考答案】一、解答题1．(1)；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导，计算和，再由点斜式代入写出切线方程；（2）设，由题意得，，将证明转化为证明，令，即证，令，求导判断单调性即可证明.(1)由题意，，则，，所以函数在点处的切线方程为，即.(2)设，由题意，，所以，可得，，要证明，只需证，即，因为，所以可转化为证明，即，令，则，即证，令，则，所以函数在上是增函数，所以，即得证，所以.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．2．(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据导函数在上存在零点，则在上有解，则有，即，得到函数的最小值，构造函数，，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．(1)函数的定义域是，，①时，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；②时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增；③时，，在递增；④时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增；综上：时，在递减，在递增，时，在递增，在递减，在递增；时，在递增；时，在递增，在递减，在递增；(2)因为，又因为导函数在上存在零点，所以在上有解，则有，即，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，设，，则，则，所以在上单调递减，所以在上单调递减，则，所以，则根据不等式的传递性可得，当时，【点睛】本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查函数的单调性，考查导数的综合应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．3．(1)(2)【解析】【分析】（1）由题意，利用分离参数法得到对恒成立.设，利用导数判断出函数在上单调递增，求出；（2）把题意转化为，恒成立.由为的一个极小值点，解得.代入原函数验证成立.(1)由题意知因为函数在上单调递增，所以，即对恒成立设，则当时，当时，所以函数在上单调递增所以(2)由题知所以，因为，所以，即为的最小值，为的一个极小值点，所以，解得当时，所以①当时，（当且仅当时等号成立）所以在上单调递增②当时，若，；若，所以在上单调递减综上，在上单调递减，在上单调递增所以当时，【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．4．(1)详见解析(2)详见解析【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的性质；（2）由函数性质绘制函数的图象，并将方程转化为，即转化为与的交点个数.(1)函数的定义域是，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，同时也是函数的最大值，，当时，，当时，，函数的值域是，，得，所以函数的零点是，定义域值域零点极值点单调性性质单调递增区间，单调递减区间

(2)函数的图象如图，，即，方程解的个数，即与的交点个数，当时，无交点，即方程无实数根；当或时，有一个交点，即方程有一个实数根；当时，有两个交点，即方程有两个实数根.5．(1)(2)，理由见解析【解析】【分析】（1）分离参变量，得到恒成立，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题；（2）由（1）可得，从而判断的单调性，确定，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，最终推出；再次构造函数，判断其单调性，由此推出，可得结论.(1)恒成立，即恒成立，令，，当时，，函数递减；当时，，函数递增，故，所以.(2)，由（1）知，所以在上，所以在上单调递增，且.所以，设，，设，则，，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，令，，令，，，，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以，，而在上单调递增，所以，；设，，所以单调递减，且，，，所以，即，即，所以，所以，即.所以.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立时求参数范围问题以及利用导数比较函数值大小问题，综合性较强，难度较大，解答的关键是要合理地构造函数，利用导数判断函数单调性以及确定极值或最值，其中要注意解答问题的思路要清晰明确.6．(1)；(2)（0，2）．【解析】【分析】（1）由题得到三个方程，解方程即得解；（2）解不等式＜0即得函数的单调递减区间．(1)解：由题意知，∴c＝0.∴＝x3+ax2+bx，

所以＝3x2+2ax+b由题得＝b＝0，∴＝3x2+2ax＝0，故极小值点为x，∴f（）＝﹣4，∴a4，解得a＝﹣3.故.(2)解：令＜0

即3x2﹣6x＜0，解得0＜x＜2，∴函数的递减区间为（0，2）．7．(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由分离参数并构造函数，求解其值域作答.（2）将不等式等价转化，构造两个函数，并分别探讨它们的最大、最小值即可推理作答.(1)依题意，，由得：，令，，则，即在上单调递增，当时，，即，由在上存在零点，则方程在上有根，因此有，解得，所以a的取值范围是：.(2)函数的定义域为，当时，，令，，求导得：，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，令，，求导得：，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，因此，，，而的最大值与的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：，成立，即成立，所以.【点睛】思路点睛：证明不等式常需构造辅助函数，将不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性、求最值等解决.8．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.(1)解：由题意得：，故曲线在点处的切线的方程.(2)由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，故①且，解得②且，解得当时，，满足题意；当时，，不满足题意；综上：的取值范围为.(3)可以分三种情况讨论：①②③若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；若时，当时，趋向时，趋向于0；当，要使函数取得存在最小值，解得，故处取得最小值,故的取值范围.若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值；综上所述函数存在最小值，的取值范围.9．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求出，分类讨论，分和讨论的单调性与极值；（2）利用分离参数法得到，令，利用导数判断的单调性与最值，根据直线与函数的图像有两个交点，求出实数a的最小值.(1)，则.①当时，，则在R上单调递增，此时函数的极值点个数为0；②当时，令，得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，此时函数的极值点个数为1.综上所述，当时，在R上单调递增，极值点个数为0；当时，在上单调递增，在上单调递减，极值点个数为1.(2)由，得.令，因为关于x的方程在上有两个不等实根，所以直线与函数的图像在上有两个交点.，令，则，因为，所以或，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.又，，所以当时，直线与函数的图像有两个交点，所以实数a的最小值为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．10．(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；（2）构造函数，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所求得，结合累加法即可求证结果.(1)函数的定义域为，，①当时，，所以在上单调递增