专题25-数列的概念与简单表示法(押题专练)(解析版)

名师整理，助你成功1．数列1，－eq\f(5,8)，eq\f(7,15)，－eq\f(9,24)，…的一个通项公式是()A．an＝(－1)n＋1eq\f(2n－1,n2＋n)(n∈N*)B．an＝(－1)n－1eq\f(2n＋1,n2＋3n)(n∈N*)C．an＝(－1)n＋1eq\f(2n－1,n2＋2n)(n∈N*)D．an＝(－1)n－1eq\f(2n＋1,n2＋2n)(n∈N*)解析：观察数列{an}各项，可写成：eq\f(3,1×3)，－eq\f(5,2×4)，eq\f(7,3×5)，－eq\f(9,4×6)，故选D。答案：D2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3()A．不是数列{an}中的项B．只是数列{an}中的第2项C．只是数列{an}中的第6项D．是数列{an}中的第2项和第6项解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，整理得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6。答案：D3．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．2n－1B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))n－1C．n2D．n解析：因为an＝n(an＋1－an)，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n)，所以an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×eq\f(an－2,an－3)×…×eq\f(a3,a2)×eq\f(a2,a1)×a1＝eq\f(n,n－1)×eq\f(n－1,n－2)×eq\f(n－2,n－3)×…×eq\f(3,2)×eq\f(2,1)×1＝n。答案：D4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝()A．36B．35C．34D．33解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，故a2＋a18＝34。答案：C5．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，6)B．(－∞，4]C．(－∞，5)D．(－∞，3]解析：数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数，若数列是递减数列，则－eq\f(λ,2·－2)≤1，即λ≤4。答案：B6．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则eq\f(an,n)的最小值为()A.eq\f(17,2)B.eq\f(21,2)C．10D．21解析：因为an＋1－an＝2n，所以an－an－1＝2(n－1)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－2)＋(2n－4)＋…＋2＋33＝n2－n＋33(n≥2)，又a1＝33适合上式，所以an＝n2－n＋33，所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1。令f(x)＝x＋eq\f(33,x)－1(x＞0)，则f′(x)＝1－eq\f(33,x2)，令f′(x)＝0得x＝eq\r(33)。所以当0＜x＜eq\r(33)时，f′(x)＜0，当x＞eq\r(33)时，f′(x)＞0，即f(x)在区间(0，eq\r(33))上递减；在区间(eq\r(33)，＋∞)上递增，又5＜eq\r(33)＜6，且f(5)＝5＋eq\f(33,5)－1＝eq\f(53,5)，f(6)＝6＋eq\f(11,2)－1＝eq\f(21,2)，所以f(5)＞f(6)，所以当n＝6时，eq\f(an,n)有最小值eq\f(21,2)。答案：B7．已知数列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，…，则2eq\r(5)是该数列的()A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项答案C解析由数列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，…的前三项eq\r(2)，eq\r(5)，eq\r(8)可知，数列的通项公式为an＝eq\r(2＋3n－1)＝eq\r(3n－1)，由eq\r(3n－1)＝2eq\r(5)，可得n＝7.故选C.8．已知数列{an}满足an＋1＋an＝n，若a1＝2，则a4－a2＝()A．4B．3C．2D．1答案D解析由an＋1＋an＝n，得an＋2＋an＋1＝n＋1，两式相减得an＋2－an＝1，令n＝2，得a4－a2＝1.故选D.9．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝eq\f(n,n＋1)，则eq\f(1,a5)等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(6,5)C.eq\f(1,30)D．30答案D解析∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n,n＋1)－eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,nn＋1)，∴eq\f(1,a5)＝5×(5＋1)＝30.故选D.10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝()A．64B．32C．16D．8答案B解析∵an＋1an＝2n，∴an＋2an＋1＝2n＋1，两式相除得eq\f(an＋2,an)＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2.则eq\f(a10,a8)·eq\f(a8,a6)·eq\f(a6,a4)·eq\f(a4,a2)＝24，即a10＝25＝32.故选B.11．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于()A．256B．510C．512D．1024答案C解析在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.∴a6＝a3·a3＝64，a3＝8.∴a9＝a6·a3＝64×8，a9＝512.故选C.12．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝()A．2nB．2n－1C．2nD．2n－1答案C解析当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴an＝2·2n－1＝2n.选C.13．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是()A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项答案B解析∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴an＝2n－11(n∈N*)．记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝eq\f(11,4)，但n∈N*，∴当n＝3时，f(n)取最小值．于是，数列{nan}中数值最小的项是第3项．故选B.14．已知正数数列{an}中，a1＝1，(n＋2)·aeq\o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq\o\al(2,n)＋anan＋1＝0，n∈N*，则它的通项公式为()A．an＝eq\f(1,n＋1) B．an＝eq\f(2,n＋1)C．an＝eq\f(n＋1,2) D．an＝n答案B解析由题意可得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n＋2)，则an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n－1,n)·…·eq\f(2,3)×1＝eq\f(2,n＋1).故选B.15．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(3n＋k,2n)，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)答案D解析因为an＋1－an＝eq\f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq\f(3n＋k,2n)＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D.16．数列{an}满足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an≤\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)＜an＜1，))a1＝eq\f(3,5)，则数列的第2018项为_______．答案eq\f(1,5)解析∵a1＝eq\f(3,5)，∴a2＝2a1－1＝eq\f(1,5).∴a3＝2a2＝eq\f(2,5).∴a4＝2a3＝eq\f(4,5).∴a5＝2a4－1＝eq\f(3,5)，a6＝2a5－1＝eq\f(1,5)，….∴该数列周期为T＝4.∴a2018＝a2＝eq\f(1,5).17．已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是________．答案31解析∵an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴eq\f(an＋1,an－1＋1)＝2，又a1＝1，∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即an＋1＝2×2n－1＝2n，∴a5＋1＝25，即a5＝31.18．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.答案eq\f(61,16)解析由题意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，所以an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)))2(n≥2)，所以a3＋a5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2＝eq\f(61,16).19．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.答案－eq\f(1,n)解析∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列，且公差为－1，而eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝－1，∴eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq\f(1,n).20．数列{an}满足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，则a1＝__________。解析：将a8＝2代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a7＝eq\f(1,2)；再将a7＝eq\f(1,2)代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝eq\f(1,2)。答案：eq\f(1,2)21．已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，an－1－an＝eq\f(an－1an,nn－1)(n≥2)，则该数列的通项公式an＝__________。解析：∵an－1－an＝eq\f(an－1an,nn－1)(n≥2)，∴eq\f(an－1－an,an－1an)＝eq\f(1,nn－1)。∴eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)。∴eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝eq\f(1,1)－eq\f(1,2)，eq\f(1,a3)－eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，…，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)。∴eq\f(1,an)－eq\f(1,a1)＝1－eq\f(1,n)。∴eq\f(1,an)＝3－eq\f(1,n)。∴an＝eq\f(n,3n－1)。答案：eq\f(n,3n－1)22．如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n≥2)行的第2个数为__________。13356571111791822189…解析：由题意可知：图中每行的第二个数分别为3,6,11,18，…，即a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，…，∴a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2n－3，∴累加得：an－a2＝3＋5＋7＋…＋(2n－3)，∴an＝n2－2n＋3。答案：n2－2n＋323．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3)，求数列{an}的通项公式。解析：因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3)①则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝eq\f(n－1,3)②①－②得3n－1an＝eq\f(1,3)，所以an＝eq\f(1,3n)(n≥2)。由题意知a1＝eq\f(1,3)，符合上式，所以an＝eq\f(1,3n)(n∈N*)。24．已知a1