2024届高考山东省济南市高三年级三模考试数学试卷(附答案)

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高考针对性训练

数学试题

本试卷共4页,19题，全卷满分150分。考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.设2=1'—招2：，则』=

2+1

4..

A.iB.-iC.T+1D——i

5

2.若sina-cosa—42,则tana=

A.1B.-1C.2D.-2

3.(1+—)(1-.r）*展开式中1的系数为

X

A.一5B.5C.16D.35

4.巴知［aK）是等比数列，且a?。？=一=-4a4，则〃=

A.-42B.±72C.-2D.±2

5.某单位设置了6,c三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c档高，乙

的工资比6档高,丙领取的不是6档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为

A.a.b,cB.byaC.arC>6D.b»a

6.三棱锥S-ABC中，SA_L平面ABC,AB±BC.若该三棱锥的最长的棱长为9,最短的

棱长为3,则该三棱锥的最大体积为

927

A.—B.C,18D.36

高三数学试题第1页（共4页）

7.在平面直角坐标系中，已知双曲线C：W-¥=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为

ab

Fi，F?.点P在C上,且时.PFT=2a:,\PO\=&b，则C的离心率为

A.73B.42C.3D.2

8.已知函数/(x)的定义域为R，且"(工)一才(y)=到(工一外，则下列结论一定成立的是

A./(1)=1B.为偶函数

C.f<x)有最小值D./(x)在［0,1］上单调递增

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.某同学投篮两次，第一次命中率为4.若第一次命中，则第二次命中率为4；若第一次未命

34

中，则第二次命中率为J.记A；(£=1,2)为第£次命中，X为命中次数，则

944a

A.P(A)=4B.E(X)=VC.D(X)=-D.P(AIA)=4

233y4X2

10.已知ZkABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,外接圆半径为R.若a=1,且4M一

bsinB=(c+6)sinC，则

A.sinA=qB.ZkABC面积的域大值为£

44

c.R=隼D.BC边上的高的最大值为与

30

11.已知函数/(x)=sinx•Inx，贝|

A.曲线y=/(x)在x=K处的切线斜率为Inn

B.方程fG)=2024有无数个实数根

C.曲线y=，(工)上任就一点与坐标原点连线的斜率均小于-

e

D.,="Z)一,在(1,+<»)上单调递减

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.数列｛an｝满足a.+2—a.=2,若〃=1,a,=4,则数列(a.)的前20项的和为.

13.在正四棱柱ABCD-AIBIGDI中，AB=4,AA1=6,M,N分别是AB,AD的中点，则

平面MNg截该四棱柱所得截面的周长为

14.已知抛物线/=2了与圆/+3—4)z=r"r>0)相交于四个不同的点A,B,C,D

则r的取值范围为，四边形ABCD面积的最大值为.

高三数学试题第2页(共4页)

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起.某企业着力推进技术革新，利润稳步提

高.统计该企业2019年至2023年的利润(单位:亿元)，得到如图所示的散点图.其中2019年

至2023年对应的年份代码依次为1,2,3,4,5.

(1)根据散点图判断，y=a+6=和》=c+al哪一个适宜作为企业利润y(单位:亿元).

关于年份代码工的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)中的判断结果，建立'关于工的回归方程；利涧y(亿元)

100

(3)根据(2)的结果，估计2024年的企业利润.90

80

参考公式及数据：75

70

^Xtyt-nxy12345年份代码x

b=E----------9a=y-bx,

22

^xt—nx

•=i

5S55.

2>/=55,=979,2"=390,31'=1221,\孙2“=4607.9

t-1«=1•-1«-l

16.(本小题满分15分)

如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ABC_L平面BCFE,AF±DE,NABC=_CBF

=45°,AC>AB=1.

(D求三棱台ABC-DEF的高；

(2)若直线AC与平面ABF所成角的正弦值为李，求BC.

□

17.(本小题满分15分)

已知函数“])=废+2工一2,其中。>0且4K1.

(1)若是偶函数，求a的值；

⑵若z>0时，”])>0,求a的取值范围.

高三数学试题第3页(共4页)

18.（本小题满分17分）

已知点A（l,当）在椭圆E：[+4=l（a>6>0）上，A到E的两焦点的距离之和为

4ab

2夜.

（D求E的方程；

（2）过抛物线C：y=/_m（m>1）上一动点P,作E的两条切线分别交C于另外两点

Q,R.

G）当尸为C的顶点时,求直线QR在y轴上的截距（结果用含有m的式子表示）；

（ii）是否存在粗，使得直线QR总与E相切.若存在，求m的值;若不存在，说明理由.

19.（本小题满分17分）

高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.

设「qeR,n6N•，记[n：]=l+q+…+qi,[n]!=[n]XE-11X…X口]，并

规定[0]!=1.记FGE,〃>=<H+y）：=（工+》）（工+qy）…（工+亡、），并规定F（N,0）=

包+，）；=1.

定义

F（x,n）»k=0

DkFCx,n）=

{n}[n—1]•••[n—无+1]Cx+y）；一"，k=li2,*te

（1）若,=q=l，求F（N，2）和D\FCr,2）；

（2）求与二;

回]!

DqF（0,71）.

（3）证明：F（x,n）=S-FTT-;--工*•

»oLAJ!

高三数学试题第4页（共4页）.

2024年5月济南市高三模拟考试

数学试题参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

题号12345678

答案ABACBCDC

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

题号91011

答案ABDADBCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.21013.14614.(J7,4)：16X/2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。

15.【解析】

(1)y=c+公2适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程类型.

(2)由题意得：寸=：2(芍)2=11，，y=：W>，=78,

5/=i5/B|

万-5x3)74607.9-5x—x—_Q

3一______________—___________55一/•0-noc

一玄x；)2-5x(7)2-979-5x(*2-374-,，

/>i5

—39055人

c=y-dx(jc2')=—--0.85x—=68.65,所以，y=68.65+0.85x2.

(3)令x=6,$=68.65+0.85x62=99.25,估计2024年的企业利润为99.25亿元.

另解(此种解法酌情给分):

(1)y=a+&适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程类型.

/c、u,rm^rfja~1+2+3+4+5._I_

(2)由题意得：x=-------------------=3,y=w£M=78o,

53/.j

翻戊―丽3—5x3x7851「

b=------------------=---------------；——=—=5.1£="xG)=78-5.1x3=62.7,

2Z2-5x(355-5x3210

/0|

-1-

所以，y=62.7+5.1x.

(3)令x=6,j=62.7+5.1x6=93.3,估计2024年的企业利润为93.3亿元.

16.【解析】

解：（1）作尸。_L8C于点O,因为平面/BCJ■平面BC/石，所以广。_1■平面/8C,

FO即为三棱台4BC-DEF的高.

又因为48u平面/J8C,所以尸连接/。，

因为AFIDE,所以4BJL4F,

尸。|"14尸=尸,所以/8_1平面AFO,

又/Ou平面//所以/8_L/OZBC=NCBF=45’，AB=l.

所以A0=1,8。=FO=>/2，所以三棱台ABC—DEF的高为-J2.

（2）以。为原点，在面/8C内，作0GJL8C,以。G,08,。产所在的直线分别为％招z轴

建立如图所示的空间直角坐标系。-型，

则4吟，李，。），8（0,在0）,户（0,0,板），丽=（-拳孝,0）,丽=（0,42,-42）,

设平面48尸的法向量为G=（x,y,z）则

n・FB=42y-41z=0

%*约争4可取…卜刽以

设配=屈,则石=（-孝孝-以0）,

设直线AC与平面ABF所成角为a,sina=|cos<AC,n>\=----，网=叵,

1173XV2A2-22+15

化简得8万-182+9=0,解得4=］3或4=彳3（舍去，因为4c>/8,所以2>1）,

所以8c=|播.

17.【解析】

（1）由题意，/（-1）=/⑴，gpl+l-2=o+2-2,

a2

解得，a=g或a=-2（舍）又经检验，a=g时，/（幻是偶函数.

所以，口的值为;.

-2-

(2)当”;时，Vx>0,/(x)=(3+2*-2>2拈)*.2、-2=0成立：

当。>3且时，Vx>0,/(x)=/+2，-2>W)，+2，-2,

又(；)'+2'-2>0已证，故此时符合题意；

当0<a<3时，/'(x)=a'lna+2、ln2,

易知，此时/'(x)在R上单调递增，且知(0)=ln(2a)<0.

故存在x°>0,使得当xe(O,x°)时，r(x)<0,从而/(x)单调递减，

所以，存在卷■>(),使得/(申)</(0)=0,故此时不合题意.

综上所述，且awl.

18.【解析】

(1)由题意2a=2也，得〃=&.

又川,争在E上，得方+击=1，从而6=L故£的方程为J+V=i.

(2)(i)当P为C的顶点时，P(O,-m),

不妨设R在第一象限，直线PR的方程为y=去一m，

联立E的方程为1+/=i可得Q公+1)公-4的+2m2-2=0.

由A=(4砌2_42公+1)(2«2-2)=8(2/-«2+1)=0可得2k2+l=m2.

联立直线尸&的方程7=丘-m与抛物线C:y=x2-m的方程可得x=Z,

则R点的纵坐标为yR=P-m=生尸-m=史二|"二1,

由对称性知名=这一;巴二1,

故直线QR在丫轴上的截距为二一2雨-1.

2

(ii)要使(2)中的直线QR与E相切，必有/一卜-1=6=1,即/-2m-3=0,

解得加=3或一1(舍去).

设P(X|，M),Q(%,必),火(后,必)，则必=x；-3,必=x；-3,必=W-3.

直线PQ的方程为y-yt=%一乂(x-X|),即》=(玉+々)x-西4-3.

*2-X|

-3-

联立椭圆方程1+必=1可得

2

12(玉+X?J+l]x?-4(X]+x2)(x,x2+3)x+2(x,x2+3j-2=0.

由

△=[4(玉+x2)(x,x2+3)1-412(芭+/y+1]〔2(x&+321

=8(2x；+2x1-x*-2玉X2-8)=0

可得2x：+2xj-x：x；-2X,X2-8=0,

即2x,x2+yly2+yl+y2+5=0.

同理可得2X|与+乂％+乂+%+5=0.

因为直线2xlX+（y,+l）y+y,+5=0同时经过点0K,所以Q?的直线方程为

2xix+(yt+l)y+yl+5=Q.

联立椭圆方程J+必

=1可得[8x：+(必+1?卜+8x)(必+5)x+16必+48=0,

于是AMgXia+sVTRxj+a+lHWM+dgAaW+irN-M-AO.

故直线QR与椭圆相切，因此加=3符合题意.

19.【解析】

(1)若y=q=l,F(x,2)=(x+y)(x+^y)=x2+(l+9)Ay+y2=(x+l)2,

rfn^F(x,2)=[2](x+y)^=(l+?)(x+y)=2(x+l).

局1中（。,加。W。,〃）=%〃自2人

（2）当斤=0时,

当时’由0；F（（）,〃）=同+i］（o+y）：*

(”-At-1)

=同