2025高考数学一轮复习-10.2-排列与组合

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第2节排列与组合ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并按照____________排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列组合作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合一定的顺序2.排列数与组合数3.排列数、组合数的公式及性质1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)××√√解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；C2.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(

) A.120种

B.90种

C.60种 D.30种C解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：3.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(

) A.60种

B.120种

C.240种

D.480种4.周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为(

) A.8

B.12

C.16 D.20C①②③④5.(易错题)把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________.2406.某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五项运动可以选择，则共有________种运动组合方式.23A运动B运动C运动D运动E运动7点～8点8点～9点9点～10点10点～11点11点～12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2例1

有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. (1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，(4)全体排成一排，男生互不相邻；解

法一

(特殊元素优先法)先排甲，(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；法二

(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；解由于甲、乙、丙的顺序一定，(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.C解析根据题意知，要求这个五位数比20000大，则万位数必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，(2)用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有(

)A.96个

B.78个

C.72个 D.64个B因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.例2

某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？解从34种可选商品中，选取3种，(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？训练2(1)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(

) A.15

B.30

C.35 D.42B(2)(多选)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(

)BD角度1相邻与相间问题则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48(种)不同排法.例3(1)北京APEC峰会期间，有2名女性和3名男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有(

) A.12种

B.24种

C.48种

D.96种C(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(

)A.72 B.120

C.144 D.168解析安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.B解

无序不均匀分组问题.例4

按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；角度2分组、分配问题解

有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；解

无序均匀分组问题.(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；解

分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.训练3(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.36解析把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2类.(2)将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种.(用数字作答)1560所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种).FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升31.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(

) A.8

B.24

C.48 D.120CA.{2，8}

B.{2，6}

C.{7，12} D.{8}∴x2－19x＋84<0，解得7<x<12.又∵x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N*，即x＝8.D3.3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有(

) A.4种

B.5种 C.6种

D.8种C4.某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有(

) A.60种

B.30种

C.120种

D.24种A5.互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法(

)D解析A是组合数公式；B是组合数性质；6.(多选)下列等式正确的有(

)ABC7.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(

) A.144 B.120

C.72 D.24D8.(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(

) A.共计有720种不同的排法 B.男生甲排在两端的共有120种排法 C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D.男女生相间排法总数为72种BC9.若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有________种(用数字作答).11解析根据题意，分2种情况讨论：10.某省高考实行3＋3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有________种.200则两人至少有两科相同的选法有20＋180＝200(种).11.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________.3012.某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆.若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有________种(用数字作答).12综上，每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法种数是120＋90＝210.故选C.13.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是(

) A.90

B.120 C.210 D.216C14.(多选)现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是(

) A.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法 B.若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种 C.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种 D.若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种BCD解析若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(种)放法，故A错误；若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为