2024年高考数学易错题：直线和圆的方程（教师版新高考专用）

专题10直线和圆的方程

题型_：平行求距离问题€（易错点：使用两平行线间距离公式忽暗系数一致错

______________________题型二：直线截距式的考点0、易惜点：求有关截距相等问题时易忽暗截距为零的情况

直线和圆的方程3

:一'一一-题型三：求有关圆的切线问题三］易指点：求有关国的切线问题易混淆"在“"过-

--题型四：与圆的代数结构有关的最值问题F.易指点：忽略斜率是否存在

易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问题）

距离问题

技藁结

①两点间的距离：已知々（X1,为），尸2（乙，乃）则比尸2I=J（》2-%）2+（%-%）2

②点到直线的距离:d=勺期+q

A+B

③两平行线间的距离：两条平行直线4：Zx+5y+G=0与，2：/X+5〉+。2=0的距离公式

易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线XV前的系数统一，然后代入公式求算.

三

例.已知直线（：4x-3y+3=0,4：（加+2）尤_（加+1）了+机=00»eR）,贝！］（）

A.直线6过定点(1,2)B.当加=2时，

C.当加=-1时，414D.当〃〃2时，4,之间的距离为:

[x—y+1=0fx=1

【详解】由4：wx+2x一肛一y+«7=m(x_y+l)+2x_y=0,令；',可得(,所以4过定

\2x-y=0[>=2

点(1,2),A对

m=2时，/2:4x-3y+2=0,而《：4x-3y+3=0,gpIJH2,B对

"?=-!时，/2:x-l=0,而4:4x-3y+3=0,显然不垂直，C错

3-21

〃/4,贝I」一3(〃吐2)=-4(切+1),可得施=2由上知，人之间的距离为

4V42+32-5

D对.故选：ABD

变式1.曲线y=e2，cos3x在点（0,1）处的切线与其平行直线/的距离为火，则直线/的方程可能为（）

A.y=2x+6B,y=2x-4

C.y=3x+1D.y=3x-4

2x2j21

【详解】y'=2ecos3x+e(-3sin3x)=e(2cos3x-3sin3x),y'|x=0=2

所以曲线y=e"cos3x在点（0,1）处的切线方程为了-1=2（x-0）,即2x-y+1=0

I/-1I

依题意得《金—旧,解得7=6或/=-4

设直线/:2x-y+f=0Cl),

所以直线/的方程为y=2x+6或y=2x-4故选：AB

变式2.已知直线点y=kx+],/2：y=mx+2,圆©（x-l）?+（k2丫=6,下列说法正确的是（）

A.若4经过圆心C,贝必=1

B.直线与圆C相离

C.若4〃和且它们之间的距离为g,则无=±2

D.若左=7,4与圆C相交于以N,则|MV|=2

【详解】对于A,因为圆心。（1,2）在直线了=6+1上，所以2=4+1,解得后=1,A正确，对于B,因为直线

4：y=mx+2恒过点（0,2）,且（0-iy+（2-2『＜6

即点（0,2）在圆C内，所以4与圆C相交，B错误，对于C,因为4〃4,则小“

故fcv-.v+]=0与Ax—y+2=0之间的距离d=—,所以左=±2,C正确

“2+15

对于D,后=7时，直线y=-x+\,即x+y_l=0

因为圆心C（l,2）到直线x+y-1=0的距离4=^^=8,所以|“^=2斤/『=4,D错误,故选：AC

变式3.已知直线（：4x—3y+4=0,/2：（加+2）]一（加+1）»+2%+5=0（＞eR）,贝（j（）

A.直线，2过定点（-2,-1）

B.当加=1时，lx1/2

C,当〃z=2时，ZI//Z2

D.当“〃2时，两直线4,4之间的距离为1

fx—y+2=0fx=—2

【详解】依题意，直线个。->+2)加+(2x-y+5)=0,由/解得：

\2x-y+5=0=-.

因此直线(恒过定点(-3,-1),A不正确

当加=1时，直线右：3x-2y+7=0,而直线4:4x-3y+4=0,显然3x4+(-2)x(-3)w0

即直线4,不垂直，B不正确

4-34

当m=2时，直线4：4x-3y+9=0,而直线4：4x-3y+4=0,=即〃〃？

,C正确

当“〃时，有竺:=也斗之空至，解得加=2,即直线4：4x-3y+9=0,因此直线/”4之间的距离

4-34

D正确故选：CD

1.若直线2尤一y-3=0与4x-2y+a=0之间的距离为百，贝ija的值为()

A.4B.V5-6C.4或-16D.8或-16

【答案】C

【分析】将直线2》-尸3=0化为4x-2y-6=0,再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.

［详解】将直线2尤,3=0化为4x-2…=0,

则直线2X--3=。与直线4x-2…=。之间的距离公喘普|Q+6|

2A/5

根据题意可得：崂？=石，即旧+6口0,解得。=4或a=T6,

所以a的值为。=4或。=-16.

故选：C

2.若两条直线4：N=2x+〃?，4：y=2x+"与圆f+_/-4x=0的四个交点能构成正方形，则帆-叶=()

A.4A/5B.2V10c.2V2D.4

【答案】B

【分析】由直线方程知由题意正方形的边长等于直线4、6的距离d,又1=正厂，结合两线距离公

式即可求帆-"|的值.

【详解】由题设知：“4,要使A,B,C,。四点且构成正方形/BCD,

，正方形的边长等于直线4、4的距离d,则〃=~^,

若圆的半径为r,X2+/-4X=0,即(X-2)，/=4,贝卜=2,

由正方形的性质知："=扬=2五，

1n

...।背।=2母,即有帆一"=2716.

故选：B.

3.两条平行直线2x—歹+3=0和办一3y+4=0间的距离为"，则a,d分别为()

A.a=6,d=B.a=—6,d=

33

C.a=—6,d=——D.a=6,d=-

33

【答案】D

【分析】根据两直线平行的性质可得参数。，再利用平行线间距离公式可得d.

【详解】由直线2x-y+3=0与直线QX-3y+4=0平行，

得2x(—3)—(—l)xa=0,解得Q=6,

所以两直线分另I」为2%—歹+3=0和6%一3歹+4=。，即6x—3y+9=0和6%一3歹+4=0,

94

所以两直线间距离d=l_l=g,

故选：D.

4.两条平行直线3x+4y—12=0与依+8歹+11=0之间的距离()

23237

AA.--B.■C.—D.7

5102

【答案】c

【分析】首先根据两条直线平行求出参数。的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.

【详解】由已知两条直线平行，得3=。，所以。=6,

a8

所以直线3x+4），-12=0可化为6x+8y-24=0,

1-24-1117

则两平行线间的距离d=~.

故选：C

5.已知直线4：x-my=0和4：x-my+2（加-1）=0（加eR）与圆C都相切，则圆C的面积的最大值是（）

A.2TTB.4〃C.8〃D.16TT

【答案】A

【分析】易得4,互相平行，故圆C的直径为4,间的距离，再表达出距离求最大值即可得圆C的直径最大

值，进而得到面积最大值

【详解】由题，4,互相平行，且2（m-1）。0,故圆。的直径为4,4间的距离"=

1,故当一+不=0,即"一2,加=—1

+-t2

2

d

时d取得最大值4=2收，此时圆C的面积为S=〃

故选：A

6.若直线4：x+ay+6=0与:（。一2）无+3y+2a=0平行，贝!J人与"间的距离为（

8^/2

A.41

"T

C.V3

【答案】B

卜分析】由两直线平行的判定有3-。2）=0且2/_18/0求参数a,应用平行线距离公式求/,与4间的距

离.

【详解】...直线4:尤+卬+6=0与/2：（a-2）x+3y+2a=0平行，

2

3-a（a-2）=0且2a2_18/0,解得°=_1，4:-3x+3y-2=0,x-y+-=0.

6--r

■,直线4与4间的距离d=3=W.

故选：B.

7.已知直线小（3+2丹尤+（4+/l）j，+（-2+2/l）=0"eR）,4：x+y-2=Q,若〃则（与乙间的距离

为（）

B

A.—B.V2C.2D.141

2

【答案】B

【分析】由直线平行的结论列方程求兀再由平行直线的距离公式求两直线的距离.

【详解】由得亘/=华匚二解得'=1，

11—2

所以直线点5x+5y=0,即x+y=O,

所以4与间的距离为=^2,

故选B.

8.已知直线4：加x-3y+6=0,Z2:4.x-3my+12=0,若〃/4，贝！4之间的距离为（）

A12万8岳「9用

IX.-----DR.----.---D.V13

131313

【答案】A

【分析】由“（-3%）-（-3>4=0,解得机=±2,加=2时舍去，可得加=-2,再利用平行线之间的距离公式

即可得出.

【详解】由于两条直线平行，得加•（-3陶-（-3）-4=0,解得加=±2,

当m=2时，两直线方程都是2尤-3y+6=0故两直线重合，不符合题意.

当初=一2时，4:2x+3y-6=0,/2:2x+3y+6=0,

故两平行直线的距离为，（-6?=.

A/22+3213

故选A.

【点睛】本题主要考查了直线平行的充要条件及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

9.若两条平行直线4：x-2*+以=。（加>0）与4：2x+〃.v-6=0之间的距离是指，则切+〃=

A.0B.1C.-2D.-1

【答案】C

【分析】根据直线平行得到〃=-4,根据两直线的距离公式得到加=2,得到答案.

1_?

【详解】由4〃L得:解得"=-4,即直线4：》-2丁-3=0,

2n

|m-（-3）|厂

两直线之间的距离为d="+（2）2='5解得加=2（冽=一8舍去）,

所以加+〃=一2

故答案选C.

【点睛】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.

10.已知直线4：3x+4y+5=0,Z2:6x+8y-15=0,则两条直线之间的距离为

5

A.4B.2C,-D.5

2

【答案】C

【分析】利用两平行直线距离公式即可求得.

【详解】因为/2：3x+4y-£=0,则，」5+J5,故选C.

2公五

【点睛】本题考查了两平行直线距离问题，运用平行直线距离公式可以求解，但要注意将两直线一般方程

的X/系数化为相同的值;也可以在其中一条直线中选取一个特殊点，然后利用点到直线距离公式进行求解,

属于基础题.

易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的考点）

直线方程的五种形式的比较如下表:

名称方一程的形式常数的几何意义适用范围

点斜式必=k(x-%,)（国,弘）是直线上一定点，A是斜率不垂直于X轴

斜截式y=kx+bK是斜率，6是直线在y轴上的截距不垂直于X轴

y-y%一西

两点式x（项,必），（起，%）是直线上两定点不垂直于x轴和y轴

%一切工2一阳

a是直线在x轴上的非零截距,6是直线不垂直于x轴和y轴，

截距式—%+—y=1

ab在y轴上的非零截距且不过原点

Ax+By+C=0(1+B21

一般式力、B、C为系数任何位置的直线

给定一般式求截距相等时，具体方案如下:

C

=

=0y----「「

形如：第一种情况Zx+3y+C=0n，』J=£=A=B

=0=>X="B

,A

第二种情况：4x+5y+C=0=C=0时，横纵截距皆为)

截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型

易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解

三9

例.已知直线/过点(2,1)且在x,y轴上的截距相等

(1)求直线/的一般方程；

(2)若直线/在x,y轴上的截距不为0,点尸(。，“在直线/上，求3"+3"的最小值.

【详解】试题分析：(1)当截距为0时，得到x-2y=0；当截距不为0时设直线方程为:+十=1,代入点

坐标即可得方程.⑵由第一问可得/的方程为x+y-3=0,a+b=3,

由不等式得到结果.

(1)①截距为0时，l：y=即x-2y=0

②截距不为0时，设直线方程为：+?=1,代入网2,1),计算得"3,败直线方程为x+y-3=0,综上，

直线方程为x-2y=0或x+〉-3=0

⑵由题意得/的方程为X+y-3=0.-.a+b=3,.-.3a+3b>2,3a=2历=673

3a+3b的最小值是6代当a=b=3时等号成立.

2

变式1.已知直线/过点(1,2)且在x,V轴上的截距相等

⑴求直线/的一般方程；

⑵若直线/在x,V轴上的截距不为0,点尸(。力)在直线/上，求3"+3"的最小值.

【详解】⑴因为直线/过点(1,2)且在％V轴上的截距相等，当截距为。时，则/：>=2x

当截距不为0时，可设/：±+?=1,则工+2=1,即”3,,/:x+y-3=0

aaaa

综上，/的——般方程：2x-y=0或x+y_3=0

⑵由题意得/：%+歹—3=0,：.a+b=3

3°+36>2yJy-3b==6>/3,当且仅当a=6=5时，等号成立

3"+3〃的最小值为6G

变式2.已知直线小ox+2v-4=0,直线小bx-2y-\=Q,其中&方均不为0.

⑴若4U,且4过点(1/)，求a,b；

(2)若"4,且4在两坐标轴上的截距相等，求4与4之间的距离.

【详解】⑴当4过点”)时,°+2-4=0,所以0=2,

因为4U,所以即而=4,于是6=2

4

(2)由(：QX+2>—4=0,令X=0,贝ijy=2,令y=0,贝i」x=—

a

因为4在两坐标轴上的截距相等，所以2=3,故“=2,又"〃2,所以-：=:，所以6=-2

a22

则小2x+2y-4=0与/,：2尤+2了+1=0之间的距离d==军，所以乙与/，之间的距离为谨.

V22+2244

变式3.已知直线4：故一2歹一加+4=0,直线：/x+4y-4/_8=0

⑴若直线4在两坐标轴上的截距相等，求实数«的值；

⑵若4〃4,求直线4的方程.

。。一。

【详解】⑴由题意可知，"o,直线4在X轴上的截距9/7为—4,在J轴上的截距为4土—2井，则2仝―4=Y4—2

a2a2

解得：a=±2

(2)若〃〃2,贝114°=一2/且一2x(-4/-8)N4X4,解得：。=一2

止匕时直线12的方程为x+y—6=0

1.已知圆。：/+/=4,"(%,%)为圆。上位于第一象限的一点，过点〃作圆。的切线/当/的横纵截

距相等时，)的方程为()

B.x+y_^~=0

A.x4-y-242=0

2

C.x+y-4A/2=0D.x-J/-2V2=0

【分析】利用过圆上点的切线的性质可得owl/,利用点M/,几）表示出切线方程，结合/的横纵截距相

等，即得解

【详解】由题意，点M在第一象限，故过点〃的的切线/斜率存在；

点在圆上，故OMI/,BPW/=-l

-：koM=y±.-.kl=-^

%比

故直线/的方程为：＞一%=-"（X-%）ox（）x+3V=%+亦=4

%

44

令x=0,y=—;令y=0,x=—;

X。y0

44

当1的横纵截距相等时，一二一o%二%

X。%

又片+V；=4%＞0,%＞0

解得：%=后,%=行

即A/2X+Oy=4,即x+y—2亚=0

故选：A

2.“直线/：'=履+2左-1在坐标轴上截距相等”是“左=-1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由直线/：＞=云+2后-1在坐标轴上截距相等得A=；或左=-1,再根据充分条件和必要条件的定义

判断即可.

\-2k

【详解】解：由题知：kwO,由x=0得y=2左—1；由y=0得，x=一.

k

因为在坐标轴上的截距相等，所以24-1=与生，解得/=」或后=一1.

k2

所以直线/：＞=履+2左-1在坐标轴上截距相等”是“左=-1”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题主要考查直线的截距与充分条件、必要条件，属于基础题.

3.过点力（1,2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A.X-T+1=0B.x+y-3=0C.y=2x^x+y-3=0D.y=2x或x-y+l=0

【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.

【详解】当直线过原点时，其斜率为衿=2,故直线方程为y=2x；

当直线不过原点时，设直线方程为二+2=1,代入点（L2）可得工+2=1,解得a=-l,故直线方程

a—aa-a

为x~y+\=0.

综上，可知所求直线方程为y=2x或x-y+\=0,

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线

方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.

4.下列说法正确的是（）

A.若直线a，一y+l=0与直线无一〃了一2=0互相垂直，贝！］0=-1

B.已知尸（1』），。（-2,-3）,点尸，。到直线/的距离分别为2和4,则满足条件的直线/的条数是2

C.过亿,兀），（々,/）两点的所有直线的方程为上江=忙》

%一%X2~X\

D.经过点（LD且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

【答案】B

【分析】对于A,利用直线与直线垂直的条件判断；对于B,利用点到直线的距离、直线与圆的位置关系判

断；对于C,利用两点式方程判断；对于D,利用直线的截距式方程判断

【详解】解：对于A,若直线/x-y+l=0与直线x-ay-2=0互相垂直，则/+a=0,解得。=0或。=一1,

所以A错误；

对于B,因为尸（1,1）,2（-2,-3）,所以|P0|=J（l+2）2+（l+3）2=5,分别以点尸，。为圆心，2,4为半径作

圆，因为2+4>5>4-2,所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直线/的条数是2,所

以B正确；

对于C,当无产工2且乂w%时，过（占,打），（巧/』两点的直线方程为三?=二，所以C错误；

对于D,当截距为零时，设直线方程为了=丘，则左=1,所以直线为>=x,当截距不为零时，设直线方程

为±+上=1,则工+工=1,得。=2,所以直线方程为x+y-2=0,综上，经过点（1,1）且在X轴和y轴上截

aaaa

距都相等的直线方程为x+y-2=0或夕=工，所以D错误

故选：B

5.过点尸（3,4）,且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是

A.x—y+1=0B.%_y+l=0或4x_3y=0

C.x+y-7=0D.%+,-7=0或4x-3y=0

【答案】D

4

【详解】当直线过原点时，直线方程为y=gx,即4x-3y=0；

当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a.

则3+4=a,得a=7.

/.直线方程为x+y-7=0.

过点M(3,4)且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0.

故选：D

6.下列命题中错误的是()

A.命题君+1<1"的否定是"VxGR,x2+1>T

B.命题"若a>b,则2。>2〃-1”的否命题为“若awb,贝

C.“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件

D.若"jD或g"为假命题，则p,q均为假命题

【答案】C

【分析】利用含有一个量词的命题的否定、否命题的概念、两直线平行的充要条件以及〃入4的真假进行判

断.

【详解】对于A,命题“认€旦焉+1<1”的否定是“VxeR,x2+l"”，故A正确；

对于B,命题“若a>b,则的否命题为"若则2"±2“-1”，故B正确；

对于C,若两直线斜率相等，则两直线平行或重合；但若两直线平行，斜率可能不存在，故C错误；

对于D,若"jD或g"为假命题，则p,q均为假命题，故D正确.

故选：C.

7.与圆/+3-1>=1相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有()

A.2条B.3条C.4条D.6条

【答案】A

【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为x+y+俏=。，根

据圆心到直线的距离等于半径可得机有两解，综合可得结果.

【详解】圆管+1_1)2=1的圆心为的1),半径为1,

由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意；

当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为x+y+m=O,

圆心到直线的距离4=总=1,解得机=±血-1,此时满足条件的直线有两条，

综上可得：满足条件的直线有两条，

故选：A.

【点睛】本题主要考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线，属于中档题.

8.已知直线/过点河(-2,3),且与尤轴、V轴分别交于4B点,贝U()

A.若直线/的斜率为1,则直线/的方程为V=x+5

B.若直线/在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为x+y=l

C.若C为48的中点,则/的方程为3x-2y+12=0

D,直线/的方程可能为V=3

【答案】AC

【分析】根据直线点斜式判断A,由过原点直线满足题意判断B,由中点求出力出坐标得直线方程判断C,

由直线与坐标轴有交点判断D.

【详解】对于A,直线/的斜率为1,则直线/的方程为3=x+2,即y=x+5,故A正确；

对于B,当直线/在两坐标轴上的截距都为0时，/的方程为y=故B错误；

对于C,因为中点粗-2,3),且力，3在无轴、V轴上，所以/(-4,0),3(0,6),故力8的方程为三+卜1,

即3x-2j，+12=0,故C正确；

对于D,直线V=3与x轴无交点，与题意不符，故D错误.

故选：AC.

9.已知直线4：x-y+m=0,l2：2x+my-l=01则下列结论正确的有()

A.若〃〃2,则仅=-2

B.若4U,则加=2

C.若小4在X轴上的截距相等则〃7=1

D.12的倾斜角不可能是k倾斜角的2倍

【答案】AB

【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD选项的正确

性.

TH

【详解】若〃〃2,贝2修=与/—,1，得加=-2,选项A正确；

1-1m

若41/2,则1义2-加=0,得加=2,选项B正确；

若心4在x轴上的截距相等，贝］-〃?=(,解得加=-g,选项c错误；

当机=0时，，2的倾斜角］恰好是A的倾斜角［的2倍，选项D错误.

故选：AB

【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其

次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在

性.

10.直线/与圆(x-2)2+r=2相切,且/在X轴、y轴上的截距相等，则直线/的方程可能是

A.x+y=0B.%+y-2^/2+2=0

C.x-y=0D.x+y-4=Q

【答案】ACD

【解析】由于直线/在x轴、V轴上的截距相等,设直线为：x+歹-。=0或^二依，利用圆心到直线的距离

为半径，即得解

【详解】由于直线/在x轴、V轴上的截距相等,设直线为：x+y-a=0^y=kx

由于直线Z与圆-2=2相切,

故圆心(2,0)到直线的距离等于半径一近

d=।2/।=V2a=0,4

V2

或"=J2a।=^^2:.k=+\

故直线的方程为：x+y=0,x+v-4=0,x-y=0

故选：ACD

易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”丁立”(求有关圆的切线问题)

技巧总结

速锲：求过圆上一点(x。,％,)的圆的切线方程的寇)

正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率左

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为-4

k

第三步：利用点斜式y-%=Mx-%)求出切线方程

注意：若左=0则切线方程为x=x0,若左不存在时，切线方程为了=为

(秒杀方法：)

①经过圆/+/="上一点尸(%,为)的切线方程为与x+joj；=/

222

②经过圆(x-a)+(y-b)=由上一点尸(%,%,)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(j/0-b)(y-b)=r

③经过圆/+y2+Qx+号+R=o上一点P(x(),为)的切线方程为

X/+JV+D.号+E.^^+E=0

类：求过圆外一点(%,%)的圆的切线方程的灌)

方法一：几何法

第一步：设切线方程为^一人=左(工一/)，即依一y-仅)+%=0，

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得左，切线方程即可求出

方法二:代数法

第一步：设切线方程为了一汽=左(%一%),^y=kx-kx0+y0,

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由△=()可求得仁切线方程即可求出

注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的k只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在,

可得数形结合求出.

蠢”类：求斜率为左且与圆相切的切线方程的暹)

方法一：几何法

第一步：设切线方程为y=fcc+加，即Ax-y+加=0

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得加，切线方程即可求出.

方法二:代数法

第一步：设切线方程为y=fcc+/",

第二步：代入圆的方程，得到一个关于X的一元二次方程，由△=()可求得加，切线方程即可求出

方法三：秒杀方法

已知圆x2+/=r2的切线的斜率为k,则圆的切线方程为y=kx±r^k2+l

已知圆(x-op+(y-bp=r2的切线的斜率为k,则圆的切线方程为y=kx±r^k2+l+b-ka

工具：点与圆的位置关系判断

圆的标准方程为(X-6Z)2+0-6)2=r2(r>0)

一般方程为+>2+瓜+砂+/=0(。2+石2_4F>0).

①点在圆上：(%-a)?+CVo—b)?=r2+Jo+DXQ+Ey0+F=0

222x+

②点在圆外：(x0-a)+(j^0-b)>royl+DXQ+Ey0+F>0

③点在圆内：(%。一+(为—6)2</2+J/Q+DXQ+Ey0+F<0

易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理

三三

例、圆的方程为/+了2=1,过点(g,等］的切线方程

解：正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率左

2

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为

第三步：利用点斜式y-%=〃(x-%)求出切线方程

秒杀方法:

1V3

经过圆=1上一点p£V3的切线方程为一x+1£y=l

25V22'

变形1、圆的方程为/+/一4》+2了+4=0,过点(看手―1的切线方程

解：正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率左

V3

圆的一般式转化为标准形式为(x—2y+(y+Ip=1n后=号=—g

-2

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为

第三步：利用点斜式y-%=R(x-%)求出切线方程

秒杀方法：

经过圆上一+/一4x+2了+4=0一点尸］|,亨—1的切线方程为

变形2、圆的方程为4x+2y+4=0,过点(1,1)的切线方程

解：由题意的点在圆外

方法一：几何法

第一步：设切线方程为歹―l=k(x—1),即日—y—4+1=0,

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得仁切线方程即可求出

x2+y2_4x+2y+4=0n(x_2y+(y+l)2=］圆心为(2,—1)贝=左=—3

VI+F4

37

故：——x-y+—=0,x=l

方法二:代数法

第一步：设切线方程为歹―l=Mx—1),即^=而—左+1,

第二步：代入圆的方程，得到一个关于X的一元二次方程，由△=()可求得上，切线方程即可求出

337

x"+{kx—+1)—4x+2(fcv—左+1)+4=0△=0：^>左=-z故：——x—j^+—=0,x=1

变形3、圆的方程为(x-2)2+8+1)2=1,切线斜率为1方程为

方法一：几何法

第一步：设切线方程为>=x+加，即x—y+加=0

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得加，切线方程即可求出.

方法二:代数法

第一步：设切线方程为y=Ax+掰，

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由△=()可求得加，切线方程即可求出

(x-2)2+(kx+加+1)2=lZ\=0n加=-3士V2

故x-y-3-yp2.=0x—y—3+^2.=0

方法三：秒杀方法

已知圆(x—a》+(y—bp=r2的切线的斜率为k,则圆的切线方程为y=kx±r^k2+1+b-ka

故x—y—3—=0x—y—3+-x/2=0

1.在平面直角坐标系中，过直线2尤-y-3=0上一点尸作圆C:/+2x+『=1的两条切线，切点分别为48,

贝1Jsin4PB的最大值为()

,2屈口2垂„V6V5

A.---D.---U.---nU.--

5555

【答案】A

【分析】由题意圆C:x2+2x+y2=1的标准方程为C:(x+1)+v2=2,如图smZAPB=sin2a=2sinacosa,

又sm”里

,又由圆心到直线的距离可求出|CP|的最小值,

乂CP\

进而求解.

【详解】如下图所示:

由题意圆。的标准方程为C：(x+l)+r=2,sinN4PB=sin2a=2sinacosa,

,.\AC\

又因为sina=由=

sinZAPB=2sinacosa.=2

1-2-0-31厂

又圆心c（-l,o）到直线2无-y-3=0的距离为"=占三方二/

所以|CP|"=右，所以不妨设，=由，（0＜，［）,

则&后=2卜"j丫”，

又因为10在（0，5单调递增，所以当且仅当t=g即I。卜石，即当且仅当直线CP垂直已知直线

2x—）—3=0时，

sinZ.APB有最大值(sin/4P

\/max

故选：A.

2.已知点M（l,g）在圆C:/+y2=加上，过M作圆。的切线/,贝I」/的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解.

【详解】圆心为(0,0),所以…G,所以过M的切线/的斜率为-[=-*

设倾斜角为8,贝!Jtan6=,

3

SlT

由于8《0,兀)，故e

故选：D

3.已知圆C:x2+/—4x-6y+l2=0与直线/：x+y-l=0,RQ分别是圆C和直线/上的点且直线PQ与

圆。恰有1个公共点，则卢。|的最小值是()

A.不B.272C.V7-1D.272-1

【答案】A

【分析】|^2|=yl\CQf-\CPf=J|Cg|2-l,仁。|的最小值为圆心C(2,3)到直线的距离，可求忸@的最小值.

【详解】圆C:x2+r-4x-6y+12=0化为标准方程为C:(x-2)2+(y-3)2=l,

则圆C的圆心为C(2,3),半径r=l,则|CP|=1,

直线PQ与圆C相切，有户0|=7|Ce|2-|CP|2=J|C0「_1,

因为点Q在直线/上，所以|"住，^1=2亚，贝»P妙6.

即归。|的最小值是V7.

故选：A

4.已知直线/：加%-歹+加+1=0(加w0)与圆。：一+/—4%+2y+4=0,过直线/上的任意一点尸向圆。引切

线，设切点为4%若线段长度的最小值为百，则实数用的值是()

1212「77

AA.---B.—C.—D.—

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