高考数学一轮复习：平面向量、复数

第五章平面向量、复数

第一节平面向量的概念及线性运算

明知

课标教考

要求导向

1.了解向量的实际背景.理解平面向量的概念，两个向量相等的含义及向量的几何表示.

2.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

4.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

/课前——教材温顾学习”2方案

11主干知识回顾一遍

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量:向量的大小叫做向量

向量平面向量是自由向量

的长度（或称模）

零向量长度为小的向量；其方向是任意的记作。

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为星

平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量）0与任一向量平行或共线

两向量只有相等或不等，不能

相等向量长度相等且方向相同的向量

比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

⑴交换律：a+b=b+a；

a

加法求两个向量和的运算三角形法则(2)结合律：(a+b)+c=a+

(b+c)

a

平行四边形法则

求a与b的相反向量

减法a—b=a+(—b)

-b的和的运算a

三角形法则

(l)|za|=mia|；

(2)当7>0时，2a的方向如a)=(2〃)a；

求实数7与向量a的

数乘与a的方向相同;当4<0C2+〃)a=ia+〃a；

积的运算

时，2a的方向与a的方向^(a+b)=ia+ib

相反;当4=0时，^a=0

3.共组京向量定理

向量a(aWO)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数人使得归叁.

二级结论与微点提醒

(1)设尸为线段的中点，O为平面内任一点，则

⑵。为△A3C重心的充要条件为OA+OB+OC=0.

(3)在四边形A5c。中，若E为AO的中点，F为8c的中点，贝，】AB+OC=2EJF.

(4)OA=AOB+fiOC(2,"为实数)，若点A,B,C三点共线，则

(5)解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向

量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.

重2经典小题练悟一遍

1.如图，点。是正六边形A5C0E厂的中心，图中与CA共线的向量有(

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案：C

2.下列各式不能化简为远的是()

AJAB+CPA+^BQ)B.CAB+~TC^)+CBA-~QC)

C7QC-~QP+~CQD.-R4>+AB-BQ

答案：D

3.在△ABC中，。是43边上的中点，贝!JC3=()

A.2CD+CAB.CD-2CA

C.2CD-CAD.CD+2CA

答案：C

4.若菱形ABC。的边长为2,则iNN-B+R尸.

解析：\AB~~^+~CD\=\~AB+^C+~CD\=\~AD\=2.

答案:2

5.已知a与b是两个不共线向量，且向量a+北与一（b—3a）共线，贝!|7=.

L=1

2r=-k3'

解析：由题意知存在上GR,使得a+2b=A［—（b-3a）］,所以—'解得〈

［1=3左，.1

答案：T

nnnBBBBnnBB课堂------轮深化学习"3层级"

层级一/基础点——自练通关（省时间）

基础点平面向量的概念

［题点全训］

i.给出下列说法：

①两个有共同起点的相等向量，其终点必相同；

②两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

③非零向量又与非零向量R是共线向量，则点A,B,C,O必在同一条直线上；

④有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中错误说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

解析：选C对于①，相等向量是大小相等，方向相同的向量，故两个有共同起点的相

等向量，其终点必相同，故①正确；对于②，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有

共同终点的向量，其方向可能既不相同也不相反，故②错误；对于③，共线向量是指方向相

同或相反的向量，向量NN与向量R是共线向量，则线段A5和cz）平行或共线，故③错

误；对于④，有向线段是向量的表示形式，不能等同于向量，故④错误.4个说法中有3个错

误，故选C.

2.给出下列四个命题：

①就是NN所在的直线与R所在的直线平行；

②若A,B,C,。是不共线的四点，则“工才=碇”是“四边形A8C。为平行四边

形”的充要条件;

③若a=b,b=c,贝!Ja=c；

®a=b的充要条件是|a|=|b|且a〃b.

其中正确命题的序号是()

A.②③B.①②C.③④D.②④

解析：选A①不正确.AB所在的直线与CD所在的直线可能重合；②正确.；AB=

DC,：.\AB|=|DC|XAB//DC,又A,B,C,。是不共线的四点，,四边形ABC。为

平行四边形；反之，若四边形48。为平行四边形，则|7亍|=|京\nN〃衣?且瓦甫,

0c方向相同，因此AB=OC;③正确.Va=b,：.a,b的长度相等且方向相同，又b=

c,Ab,c的长度相等且方向相同，...a,c的长度相等且方向相同，故@=与④不正确.当

a〃b且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a〃b不是a=b的充要条件,

而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③，故选A.

3.如图，等腰梯形ABC。中，对角线AC与50交于点P,点E,尸分别穴

在两腰4。，8c上，EF过点P,MEF//AB,则下列等式中成立的是()7/KV

A.N3B.~A^=^BDDc

C.PE-PFD.EP-PF

解析：选D根据相等向量的定义，分析可得40与5C不平行，AC与50不平行,

所以选项A、B均错误，PE与PF平行，但方向相反，故不相等，只有EP与PF方向相

同，且长度都等于线段E尸长度的一半，所以EP=P歹.

L"点”就过］

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不栗把它与函数图象移

动混为一谈.

(4)非零向量a与含的关系：言是a方向上的单位向量.

层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)

重难点(一)平面向量的线性运算

［典例］(D如图，在△A5C中，点M为AC的中点，点N在A3上，

~AN=3NB,点尸在MN上，~MP=2PN,那么N?=()

ANB

2——>1—>1—>1—>

A.TAB—7ACB.~^ABAC

JoJZ

C3AB-6ACD-+6AC

(2)在△ABC中，A。为BC边上的中线，E为4。的中点，若W亍则

［解析］(1)♦在=AM+MP—AM+^MN=AM+|(AN—AM)=1AM=

1—>,1―>

7AC+iAB.

oZ

(2)由A。为3c边上的中线，E为A。的中点，得了了=下1+7^=i

-1(AB+AC)+AB=|ABAd,所以m=|,«=-1,所以々=

［答案］(DD(2)-3

［方法技巧］

向量线性运算的解题策略

(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法

则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则.

(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形

或三角形中求解.

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的

三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

［针对训练］

1.在△A3C中，满足浮，~CE=^CA-^BC,贝!J()

-----A-----A-----41-----A

A.DE=2EBB.DE=TAB

乙

C.AD=1EBD.~AE^DB

解析：选C在△ABC中，满足B=|CA+1CB9CECA—BCCA+&

~CB,

----->----->----->1----->,3----->2----->1----->5----->.5----->5----->___

DE=CE—CD=TCA+彳CB—TCA—TCB=一行CA+行CBAB,B不

正确；

-----»-----»-----»-----»1-----a3----->1----->----->5----->__

EB=CB-CE=CB一^CA一4CB=^AB,DEEBfA不正确；

----->----->----->2----->.1----->----->1----->4----->.

AD=CD-CA=§CA+§CB-CA=3AB=§EB,C正确；

-----AA»3AAAA2A»9A.一»

AE=AB-EB=4AB,DB=AB-AD=§AB,AE=^DB,D不正确.

2.已知平行四边形A5CD中，A5=CZ>=3,5c=04=2,边A5,BC,CD,ZM上的

点E,F,G,H分别使得第=器=*=瑞=2,则|才+了1+R+市|=()

A.3B.小C.2D.0

解析：选D由题意，<AB=3EB,BC=3FC,CD=3>GD,DA=3>HA.

设4片=a,AD=b,则4P=4片+BS=a+1b,BG=BC+CG=—1a+b,

----->----->।----->2,----->----->,----->2,

CH=CD+DH=-a—gb,DE=DA+AE=§a—b,

所以所+BG+CH+DE=(a+勒+(一；“+9+(_。_劲+自一方)=0,

所以+了了|=。・

重难点(二)共线向量定理及其应用

［典例］设两个非零向量a与b不共线，

⑴若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3a—3b,

求证：A,B,。三点共线；

⑵试确定实数鼠使4a+b和a+砧同向.

［解］(1)证明：'：^B=a+b,"BC=2a+8b,~CD=3a~3b,

：.BD=~^C+CD=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5^I?,AB,3'共线.

又,它们有公共点5,：.A,B,。三点共线.

(2)Vfea+b与a+Ab同向，

・,•存在实数，2>0),使ka+b=，a+Ab),

A:a+b=ia+^Ab./.(A:—i)a=(iA：—l)b.

Va,b是不共线的非零向量，

k—2=0f仅=1,,［k=—lf

又・.・；＞0,：.k=l.

［方法技巧］利用共线向量定理解题的策略

当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.即A,B,C三点共线

证明三点共线

^TAB,共线

含参共线问题利用a〃b台a=7b(bW0)台工陋一x»i=0构造含有参数的方程(组)，解方程

（组）得到参数的值.若a与b不共线且ia="b,则2="=0

三点共线的应用~OA=AOB+fi~OC(2,〃为实数),若A,B,C三点共线，则：.+"=1

［针对训练］

1.已知a,b是不共线的非零向量，若(2a-Ab)〃(a+2b),则实数k=()

A.-4B.1C.-1D.2

解析：选A由(2a-他)〃(a+2b)可知存在实数九使得2a一世=，a+2b)=瓶+2北，

f2

所以‘解得"=一4.

［~k=2A,

2.(2023•侬沂模拟)已知向量a,b且NN=a+2b,-BC=-5a+6b,~CD=7a~2b,

则一定共线的三点是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

解析：选A由NH=a+2b,万式=-5a+6b,~CD=7a-2b,可得2万=1日+0?

=2a+4b=2(a+2b)=2工亍，所以A,B,。三点共线，所以A正确.

3.在△A5C中，O在线段BC上，S^BD=2DC,~AM=1AC,~AN=LTAB,7,u

21

则7+-

均为非零常数，若N,D,M三点共线,4

.―-----A-----A-----A2-----A-----A-----A-----»-----A2-----»-----»2

解析：•:BD=2DC,:.BD=3BC,AD=AB+BD=AB+§BC=AB+?

----A-----A1-----A2-----A-----A-----A-----A-----A-----A1-----A-----»1-----A

(AC-AB)=TAB+TAC,VAM=AAC,AN=//AB,AAC=TAM,AB=~AN,

2121

一

而

前

十1-3

+册=

AD+-4

3131

答案：3

层级三/细微点——优化完善（扫盲点）

1.（忽视零向量及参数为0致误）已知山，”是实数，a,b是向量，有下列命题：

®m（a—Y＞）—ma—mb；®（in-n）a—ma—/za；③若ma—mb,贝Ua=b；④若ma=na,

则m—n.

其中正确命题的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B③错误，例如m=0;④错误，例如a=0;①②是数乘运算的分配律，正

确.

2.（不能灵活应用常用结论致误）在△4BC所在平面中，点。满足OA+OB+OC=0,

则60=()

2—>,1->2—>1—>

A.2BAACB.AC

1----->2----->4----->2----->

C.^BA+~^ACD.BAAC

A

解析：选A如图，由亍+3日=0,易知。为△A5C的重心，/\f)

ABO=|BD=|(BA+~AD)=^C^A+^AC)=^BA+|AC.

3.(忽视向量共线的方向性)已知向量a,b不共线，且c=2a+b,d=a+(22—l)b,若c

与d反向共线，则实数4=()

A.1B.-T

乙

C.1或一；D.—1或一；

解析：选B由于c与d反向共线，则存在实数无使得c=«d(AY)),则有4a+b=Aa+

[2.=k,1

(2^-l)fcb,所以((2，_1)衣_[整理得2〃一;1-1=0,因为4<0,所以；1<0,故；1=一,

4.(借助数学文化)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副

“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个

全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在

"赵爽弦图"中，若"^=a,~BA=b,~BE=3EF,则2/=()

「16J129

C-25a+25bD・及a+#

解析：选C由题得了F=~BC+~CF=^BC+^EA=^C+^(EB+^A)=^C+1

HBF+3A>),解得b万BCBA,即BS=^a+痣b,故选C.

5,(创新命题形式)已知向量04=a,OB=b,Pi,P2,…，Pw-i(nGN,〃>1)是线段

AB上依次从A到3排列的n等分点，若0』5=xa+yb,则x+y=,OP1+OP2

+…+OPn-i—(a+b).

解析：由三点共线的结论知x+y=l;由题知。户i+。广2T------FOPn-i=a+^(b—a)

2n~~Xn~~1H-1

+a+-(b-a)+•,,+a+------(b-a)=(n-l)a+-~(b-a)="-(a+b).

答案：1r-

［课时验收评价］

一、点全面广强基训练

1.设a是非零向量，7是非零实数，下列结论正确的是（）

A.a与瓶的方向相反B.a与22a的方向相同

C.|-7a|2|a|D.|一2a|》l2|a

解析：选B对于A,当4＞0时，a与4a的方向相同，当4V0时，a与痴的方向相反,

A错误；对于B,由方＞0可知B正确；对于C,|一瓶|=|一川叫由于|一川的大小不确定，

故|一瓶|与|a|的大小关系不确定，C错误；对于D,M|a是向量，而|一瓶|表示长度，两者不能

比较大小，D错误.

2.设O,E,歹分别为△ABC的三边3C,CA,A5的中点，贝!J+尸C=（）

A.~ADB.C^CD.~BC

解析：选A由题意得须＞+不^=；（7^+■'）+3（1^+了才）=3（方＞+^^）=

AD.

3.设平面向量a,b不共线，若N^=a+5b,-^=-2a+8b,-CD=3(a-b),贝！］()

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,D三点共线

解析：选AV^4^=a+5b,-B^=-2a+8b,~CD=3(a-b),：.^J)=^B+^C+

"CD=(a+5b)+(-2a+8b)+3(a-b)=2(a+5b)=2-A?,与共线，即A,B,D

三点共线.

4.设向量a,b不共线，~AB=2a+pb,~B?=a+b,~CD=a-2b,若A,B,。三点

共线，则实数p的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

解析：选B因为万式=a+b,~CD=a-2b,所以京T=~^C+~CD=2a-b.又因为A,

B,。三点共线，所以京？共线.设N才=7而方，所以2a+pb=2(2a-b),所以2=2九

P=-19即2=1,P=­1.

5.(2023•成都一模)如图，在△A5C中，D为线段BC上异于B,C/

的任意一点，E为AO的中点，若五，则7+"=()

21^11130°

A.§B.2c3D-6

解析：选B在△A5C中，AB,AC不共线，点。在5c上，则50〃5C,所以存

在唯一实数t使2万=tBC=>AD~AB=t(AC-AB)=^~AD=tAC+(1-/)AB,因为

E为4。的中点，所以A户=不4方'=f-4缶+弓4。，而4户=143'+"，所以7=f-,

"=三所以幺+"=1.

6.若向量a,b满足|a|=3,|b|=8,则|a+b|的最小值为.

解析：当a与b共线且反向时|a+b|的最小值为5.

答案：5

7.设M是△A5C所在平面上的一点，~MB+^MA+^MC=0,。是AC的中点，商加

=DM,则实数f的值为.

解析：因为。是AC的中点，所以位T+诟才=2五万，又因为无/+不位于+不就=0,

所以;而才+\(4玄+下记)=2拓亍+]j^=0,即：至亍=而7,又因为tMB=^DM,所以

1

z=3-

答案：1

"A

8.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A,B,C三点满足碇+1OB，则丝21

\AC\

解析：因为万4=3^一万声=泞T+，方一下亍=("瓦甲，^AC=1)C~~OA

~OA+^OB~~OA=^AB,所以陛^=3.

UC\

答案：3

9.已知两个非零向量a和b不共线，P[=2a-3b,P#=a+2b,~OC=ka+12b.

(1)若2pZ-33^+0^=O,求笈的值；

(2)若A,B,C三点共线，求左的值.

解：(1)V2OA-3OB+~OC=0,

.,.2(2a-3b)-3(a+2b)+Jta+12b=(l+Jt)a=0,

又aWO,*.k+l=09J.k=-1.

(2)VA,B9。三点共线，・••设下守=了亚，

即OC-OB=，OB-OA),

/.(k—l)a+10b=—2a+52b,

k-1=­A,

又a,b不共线，.I消去九得k=-l.

[10=57,

10.已知点G是△A50的重心，M是45边的中点.

⑴求GA+GB+GO；

⑵若PQ过△A50的重心G,且&T=a,~OB=b,~OP=ma,7)Q=n\),求证：—+

解：⑴连接GM(图略)，因为GA+G8=2GM,2GM=-GO,

(2)证明：易知。就=;(a+b),

因为G是△AbO的重心，

___>2___>1

所以OG=§OM=§(a+b).

由P,G,。三点共线，设◎兀

所以0^一下底=一衣■),

即万守=西广+(1一。衣\

即ga+；b=3a+(l-r)〃b.

1

mt=y

由a,b不共线，得«

(1-£)〃=；・

所以5+5=3・

二、重点难点培优训练

1.如图，在平行四边形ABC。中，M,N分别为A3,AO上的点，且

~AM=-^AB,~AN=^AD,AC,MN交于点P.若N户则；•的

值为()

A5B,7C16D,17

____q________.____

解析：选DVAMAB,AN=~^ADf

AP=2AC=2(AB+AD)+.AN)=$+.AN.

•・•点M,P,N三点共线，

436

.•・泰+力=1,贝1J7=行.故选D.

2.点P是△ABC所在平面内一点，且满足|亍耳一而|一|了亍+/一2"|=0,则

△A5C是________三角形.

解析：因为点尸是△ABC所在平面内一点，

且|P5,-pd|-|PH+PC-2^1=0,

所以fz?i—ic^一^r)+o,

^\~CB\=\AB+~^c\,

所以

等式两边平方并化简得=o,

所以ZBAC=9Q°,则△△3c为直角三角形.

答案：直角

3.在△A3C中，ZA=60°,NA的平分线交BC于点O,若43=4,且N3=本记+

AAB(A^R),则；1=,40=.

13

解析：K,D,C三点共线，.••4+3=1,解得4=不

如图，过。分别作AC,A3的平行线分别交AB,AC于点M,N,«

,—>1—>—>3

贝寸AN=wAC,AM=4AB,\

*N'C

•.•在△ABC中，ZA=60°,NA的平分线交BC于O,二四边形AMON是菱形，

'：AB=4,：.AN=AM=3,；.AD=3小.

答案：13小

4.在直角梯形A5C£)中，ZA=90°,ZB=30°,AB=2yf3,BC=2,点E在线段CZ>

上，若次方，则〃的取值范围是.

解析：由题意，得AO=1,CD=小,：.~AB=21jc.

•点E在线段C。上，：JDE=^-DC(O^^l).

•/AE=40+OE,又AE=AO+fiAB=AD+2fiDC=ADDE，二手=1,

即

•rowKi,.,.oW/W即"的取值范围是|'o,1.

2

r

答案：0,2.

第二节平面向量基本定理及坐标表示

1.了解平面向量的基本定理及其意义.

明知

课标教考2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

要求导向

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

/课前——教材温顾学习”2方案

%1主干知识回顾一遍

1.平面向量基本定理

如果ei,e?是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且

只有一对实数九，彩，使a=丸红JR晅.其中，不共线的向量e“e?叫做表示这一平面内所有

向量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算

⑴平面向量运算的坐标表示

坐标表示

已知a=(xi,ji),b=(“2,yi)^贝!1a+b=(xi+x2,山+力),a—b=(xi—X2,n

和(差)、数乘

-V2)>2a=(2ri,—i)M为实数)

任一向量的

已知A(X1,J1),B(X2,J2),则=(X2一黑,也一h)，1ABI='由一x"+(也一段产

坐标

⑵平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,ji),b=(*2,力)，其中b#0,则向量a,b共线的充要条件为也返二亚三冬

二级结论与微点提醒

(1)若a与b不共线，且&i+〃b=0,贝!]2=〃=0.

(2)已知P为线段A8的中点，若A(xi,ji),B(X2,yi),则尸点坐标为(刃空，工学)

(3)已知△ABC的顶点A(xi,yi),B(X2,力)，C(x3,%)，则△ABC的重心G的坐标为

、1+%2+%3，1+及+，3、

33

(4)a〃b的充要条件不能表示为乎=2因为*2,以有可能为0.

X2yi

(5)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,

无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

i2经典小题练悟一遍

1.已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b=()

A.(1,2)B.(-1,-2)

C.(-1,2)D.(1,-2)

答案：B

2.如图，AB=2CA,OA=a,OB=b,

的是()

31

A.c=]b—5aB.

C.c=2a—bD.c=2b-a

答案：B

3.已知平行四边形ABC。中，-AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线AC与5。交于点

O,则R的坐标为()

5'5)B.

C.佶，-5JD.

解析：选D,:AC=AB+AD=(-2,3)+(3,7)=(1,10),

OCAC=(2>5),:.c6=(--5).

4.(2021•全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(2,4),若a〃b,则4=.

答案：5

5.在平行四边形中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M为5c的中点，则MN

(用a,b表示).

___A___»___»3___»3___A1___〉

解析：因为AM=3N不,所以=7(a+b),又因为刀T=a+ib,所以=

JQ乙

AN—AM=^(a+b)—^a+1b.

答案：一；a+；b

/课堂----轮深化学习“3层级”

层级一/基础点——自练通关（省时间）

基础点平面向量的坐标运算

［题点全训］

1.在平行四边形ABC。中，AC为一条对角线.若A3=(2,4),AC=(1,3),则BD=

()

A.(—2,4)B.(一3，—5)

C.(3,5)D.(-3,-7)

解析：选B在平行四边形A5CD中，N亍=(2,4),N^=(1,3),所以下守=7^一下子

=(-1,-1),所以-5).

2.已知点A(O,1),3(3,2),向量N才=(一4,一3),则向量/=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

___x=-4

解析：选A设C(x,j),则Ad=(x,y—1)=(—4,—3),从而。(一4,

ly=-2.

-2),:.BC=(-4-3,-2-2)=(-7,-4).

3.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=2a+/b(2,〃

eR),则，=()

A.1B.2C.3D.4

解析：选D以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐

标系(设每个小正方形边长为1),贝IA(l,-1),5(6,2),C(5,-1),Aa

=AO=(—1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(—1,—3),Vc=^a+/zb,

-i+64=-1,

・・・(一1,-3)=A(-1,l)+"(6,2),即。℃.

，十2"=—3,

L，%

解得1.-4=4.

"=一］,M

4.已知向量a=(/n,2),b=(l,l),若|a+b|=|a|+|b|,则实数nt=.

解析：•.•向量a=(»i,2),b=(l,l),；.a+b=("2+l,3).；|a+b|=|a|+|b|,.\^(m+l)2+32

=y/m2+4+y/2,解得m=2.

答案:2

［一“点”就过］

利用向量的坐标运算解题时，首先利用加、减、数乘运算法则进行运算，然后根据“两

个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解.

层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)

重难点(一)平面向量基本定理及其应用

［典例］(1)(2022•新高考I卷)在△ABC中，点D在边AB上，5O=2ZM.记忆9=m,~CD

=n,则方=()

A.3m—2nB.—2m+3n

C.3m+2nD.2m+3n

(2)如图，在△△3c中，点。是边5c上任意一点，M是线段的中

点，若存在实数2和"，使得前记，贝!M+/,=()

A,2-2

C.2D.-2

［解析］(1)因为80=204,所以N方=33方，所以声=工1+3万子=

~CA+3CCD-~CA)=-2CA+3CD=-2m+3n.故选B.

(2)因为点。在边5C上，所以存在/GR,使得而不=£正=f(N3-NN)(OWfWl).因

为M是线段AD的中点，所以须1=：(石/+方^)=；(一工^+21^—/工才)=一；1+

1)ad.又BM=44片+/ad,所以4=—%+1),M=3，所以2+"=一去

［答案］(1)B(2)B

［方法技巧］

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向

量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间

的关系.

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件

和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解

是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.

［针对训练］

L如图，在△ABC中，~AN=^NC9P是5N上的一点，若H=

［m+fjAB+^BC,则实数机的值为()

A.§B.g

C.1D.3

解析：选A因为4嘲=(瓶+.A•BC=mA豆+§4瓦,设BF=tBN,而―偏

=~AB+~^P=~AB+t(BC+~CN)=~UB+^BC~^AC^=(l~t)AB+^AC,所以m

/281

=1-£且4=§,故/n=1_f=l_g=§.

2.在平行四边形ABC。中，AC与BO交于点。，F是线段。。上的点.若。C=3O尸,

设N^=a,WlT=b,则NF=()

A.1a+5bB.1a+|b

C.^a+^b

解析：选B如图所示，平行四边形A3CZ＞中，AC与50交于点

O,歹是线段。C上的点，XDC=3DF,：JDF=^D^=^O^-~OD)

=^AC~~BD),

-----»--------------1---------».1-----

AD=OD-OA=3BD+不AC.

则=AD+DF