练习18 函数与方程

第2页,共2页练习18函数与方程一、单项选择题（每小题5分，共25分）1．已知函数有唯一的零点，则实数a的值为（

）A．1 B．－1 C．0 D．－22．函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)的零点所在的区间是()A.B．(1，e－1)C．(e－1,2)D．(2，e)3．若函数f(x)＝x2－2x＋a在(0,2)内有两个零点，则a的取值范围是()A．(0,2)B．(0,1)C．(1,2)D．(－∞，1)4．已知方程lnx＝11－2x的实数解为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈N＋，则k＝()A．1B．2C．3D．45.已知函数，若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题（每小题5分，共10分）6．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．简单来说，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的有()A．f(x)＝lnx B．f(x)＝x2＋2x－3C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－1，x≤1，,|2－x|，x>1)) D．f(x)＝x＋eq\f(1,x)7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x－2)ex，则下列结论正确的是()A．f(x)>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)B．当x<0时，f(x)＝(x＋2)e－xC．f(x)有且只有两个零点D．∀x1，x2∈[1,2]，|f(x1)－f(x2)|≤e恒成立三、填空题（每小题5分，共15分）8．函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是______.9．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N＋，则a＝________，b＝________.10.函数f(x)＝x2－2x－1－|x－1|的所有零点之和为__________．四、解答题（第11题满分10分，第12题满分15分）11．已知定义域为R的偶函数f(x)有4个零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，且当x≥0时，f(x)＝x2－ax＋1.求：（1）求实数a的取值范围；（2）求x1＋2x2＋3x3＋4x4的取值范围.12.已知函数是偶函数.(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.练习18函数与方程1.B【解析】函数定义域为R，函数，即函数为偶函数，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，则当时，，因函数有唯一的零点，于是得，解得，所以实数a的值为.故选B.2.C【解析】因为函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上单调递增且连续．又f(e－1)＝ln(e－1＋1)－eq\f(2,e－1)＝1－eq\f(2,e－1)＜0，f(2)＝ln(2＋1)－eq\f(2,2)＝ln3－1＞0，即f(e－1)f(2)＜0，所以函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)的零点所在的区间是(e－1,2)．故选C.3.B【解析】易知函数f(x)的对称轴方程为x＝1，要使函数f(x)＝x2－2x＋a在(0,2)内有两个零点，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＞0，,f1＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,a－1＜0，))解得0＜a＜1.故选B.4.D【解析】令f(x)＝lnx＋2x－11，由f(1)f(2)＝－9(ln2－7)＞0，f(2)f(3)＝(ln2－7)(ln3－5)＞0，f(3)f(4)＝(ln3－5)(ln4－3)＞0，f(4)f(5)＝(ln4－3)(ln5－1)＜0，可知k＝4.故选D.5.B【解析】根据已知画出函数图象，不妨设，（a）（b）（c），，，解得，，．故选B.6.BC【解析】对于A，由于x>x－1≥lnx，所以lnx＝x无解，因而该函数不是“不动点”函数；对于B，令x2＋2x－3＝x，得x2＋x－3＝0，因为Δ＝1－4×(－3)>0，所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数；对于C，当x≤1时，令2x2－1＝x，得x＝－eq\f(1,2)或x＝1，从而该函数为“不动点”函数；对于D，令x＋eq\f(1,x)＝x，得eq\f(1,x)＝0，无解，因而该函数不是“不动点”函数．故选BC.7.ABD【解析】当x>0时，f(x)<0的解集为(0,2)，f(x)>0的解集为(2，＋∞)，由f(x)为奇函数可知A正确；当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－x－2)e－x＝(x＋2)·e－x，B正确；当x>0时，x＝2为f(x)的零点，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(－2)＝0，故f(x)有且只有三个零点，C错误；当x>0时，f′(x)＝(x－1)ex，故f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝－e，f(x)max＝f(2)＝0，所以|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝e，D正确．故选ABD.8.0<a<3【解析】因为函数y＝2x，y＝－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内得，f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0<a<3.9.1;2【解析】∵函数f(x)＝3x＋x－5，∴f(1)＝31＋1－5＝－1＜0，f(2)＝32＋2－5＝6＞0，∴f(1)f(2)＜0，且函数f(x)在R上单调递增，∴f(x)的零点x0在区间(1,2)内，∴a＝1，b＝2.10.2【解析】f(x)＝x2－2x－1－|x－1|＝|x－1|2－|x－1|－2.令t＝|x－1|(t≥0)，g(t)＝t2－t－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2－eq\f(9,4).若g(t)＝0，则t＝2，所以|x－1|＝2，所以x＝3或x＝－1，故所有零点之和为2.11.【解】（1）因为f(x)为偶函数且有4个零点，则当x>0时f(x)有2个零点，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4>0，,－\f(－a,2)>0，))解得a>2，所以实数a的取值范围是(2，＋∞).（2）因为当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝x2＋ax＋1.因为偶函数f(x)的4个零点满足：x1<x2<x3<x4，则x3，x4是方程x2－ax＋1＝0的两个根，则有x3>0，x3x4＝1且x1＝－x4，x2＝－x3，所以x1＋2x2＋3x3＋4x4＝x3＋3x4＝x3＋eq\f(3,x3)，且0<x3<1，而函数y＝x＋eq\f(3,x)在(0,1)上单调递减，从而得x3＋eq\f(3,x3)的取值范围是(4，＋∞)，即x1＋2x2＋3x3＋4x4的取值范围是(4，＋∞)．12.【解】(1)是偶函数，，即对任意