中考数学一轮复习第三讲反比例函数（原卷版）

模块三函数

第三讲反比例函数

知识梳理夯实基础

知识点1:反比例函数的概念

定义：一般地，函数y=A(左是常数，肚0)叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写

X

成>=左/或移=左的形式.自变量X的取值范围是XHO的一切实数，函数的取值范围也是一

切非零实数.

知识点2:反比例函数的图象与性质

(1)图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，

或第二、四象限.由于反比例函数中自变量；#0,函数/0,所以，它的图象与X轴、y轴都没

有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.

(2)性质：

当Q0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.

当N0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.

表达式y=-(左是常数，物0)

kk>0R0

大致图象

所在象限第一、三象限第二、四象限

在每个象限内，y随x的增大而减在每个象限内，y随x的增大而增

增减性

小大

L反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x；

对称性2.反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点.

反比例函数比例系数闷越大，图象离原点越远。

注意：

(1)画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲

线连接各点.

(2)随着国的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数y=-

中存0且月0.

（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内

的增减情况.当左＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地

说当左＞0时，y随x的增大而减小.同样，当N0时，也不能笼统地说丁随x的增大而增大.

知识点3:反比例函数解析式的确定

1.待定系数法

确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y=（中，只有一个待定系数，因

X

此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出左的值，从而确定其解析式.

2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤

（1）设反比例函数解析式为y=-（后0）；

X

（2）把已知一对x,y的值代入解析式，得到一个关于待定系数左的方程;

（3）解这个方程求出待定系数左；

（4）将所求得的待定系数上的值代回所设的函数解析式.

知识点4：反比例函数中|k|的几何意义

1.反比例函数图象中有关图形的面积

2.涉及三角形的面积型

当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解.

（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S^ABC=2SAACO=\k\-,

①②③

（2）如图②，已知一次函数与反比例函数y=&交于A、3两点，且一次函数与x轴交于

X

点C,则S^AOB=S^AOC+S^BOC=—OC-\yA\+-OC-\yB|=—0c•（|%|+1%I）；

（3）如图③，已知反比例函数y=七的图象上的两点，其坐标分别为（5，％），

x

（乙，力），C为AB延长线与x轴的交点，则S»OB=SYOC-SABOC=1<9C-|yJ-|OC|yB|

=^OC-（\yA\-\yB\）.

知识点5:反比例函数与一次函数的综合

1.涉及自变量取值范围型

当一次函数%=%x+6与反比例函数%=占相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后

X

求出交点坐标.针对％〉％时自变量X的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例

函数图象的部分所对应的X的范围.例如，如下图，当%〉%时，X的取值范围为或

XB<X<Q.同理，当为<为时，X的取值范围为0<x<%4或X<%B.

2.求一次函数与反比例函数的交点坐标

（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.

①左值同号，两个函数必有两个交点；

②左值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；

（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解

的情况.

知识点6:反比例函数的实际应用

解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特

别注意自变量的取值范围.

直击中考胜券在握

1.已知点A（1,-3）关于x轴的对称点A，在反比例函数y=K的图像上，则实数k的值为（

X

1]_

A.3B.C.-3D.

33

2.（2023•连云港中考）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征.

甲：函数图像经过点（—1,1）;

乙：函数图像经过第四象限；

丙：当%＞0时，y随x的增大而增大.

则这个函数表达式可能是（）

A.y=—xB.y=~C.y=x2D.y=--

3.己知点尸（2,祖）在反比例函数y=-:的图象上，则点尸关于原点对称的点的坐标是（）

A.（-2,1）B.（1,-2）C.（2,-1）D.（2,1）

4.（2023•山西中考）已知反比例函数＞则下列描述不正确的是（）

A.图象位于第一，第三象限B.图象必经过点（4,

C.图象不可能与坐标轴相交D.＞随x的增大而减小

5.（2023•天津中考）若点4（-5,%）,3（1,%）,。（5,%）都在反比例函数丁=-《的图象上，则%，%，%的大小

关系是（）

AB当<%<%%<%<必

.yt<y2<%.c.D.%<%<%

6.（2023•大庆中考）已知反比例函数y=B，当久＜0时，y随x的增大而减小，那么一次的数y=-"+k

的图像经过第（）

A.一，二，三象限B.—,二，四象限

C.一，三，四象限D.二，三，四象限

7.（2023•自贡中考）已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单位：Q）

是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是（）

B,蓄电池的电压是18V

C.当/<10A时，R>3.6nD.当火=6。时，1=4A

，一k

8.（2023•荆门中考）在同一直角坐标系中，函数丁二丘-左与>=正j伏#0）的大致图象是（）

;二,

0x0X

/

①②

y八

H

⑤④

A.①②B.②③C.②④D.③④

9.（2023•温州中考）如图，点A,3在反比例函数y="（左〉0,

x>0）的图象上，AC_Lx轴于点C,

X

轴于点。，BELLy轴于点石，连结AE.若O£=l,OC=-OD,AC=AE,则上的值为

（）

o\CDT

A.2B.C.-D.2及

24

k

10.（2023・长春中考）如图，在平面直角坐标系中，点A、8在函数y=-。c>0,x>0）的图象上，x过点A作

X

k

无轴的垂线，与函数>=--（彳>0）的图象交于点C,连结8C交x轴于点D若点A的横坐标为1,

X

BC=3BD,则点B的横坐标为（)

D.3

11.如图，点A在双曲线y=：上，点B在双曲线y=g上,且人8〃乂轴，点C、D在x轴上，若四边形

ABCD为矩形，则它的面积为（）

A.4B.6C.8D.12

12.（2023•无锡中考）一次函数丫=x+几的图象与x轴交于点8,与反比例函数y=>0）的图象交

于点4（1,m）,且A40B的面积为1,则优的值是（）

A.1B.2C.3D.4

13.（2023•兰州中考）如图，点4在反比例函数y=>0）图象上，481%轴于点8,C是。B的中点，连

接A。，AC,若AAOC的面积为2,贝批=（）

C.12D.16

14.（2023•十堰中考）如图，反比例函数y=/（x>0）的图象经过点4（2,1）,过A作ABly轴于点2,连

0A,直线CD1Q4,交x轴于点C,交y轴于点。，若点8关于直线CD的对称点才恰好落在该反比例函数

图像上，则。点纵坐标为（）

c.7D5V5+1

3•4

15.（2023•辽宁朝阳中考）如图，。是坐标原点,点8在x轴上，在AOAB中，AO=AB=5,。8=6,点A

在反比例函数y=：（麻0）图象上，则左的值（

A.-12B.-15C.-20D.-30

16.（2023•四川内江中考）如图，菱形4BCD的顶点分别在反比例函数y=，和y=B的图象上，若LBCD=

60。，则郁值为（）

A.gB.|C.D.

17.（2023•西藏中考）如图.在平面直角坐标系中，她。2的面积为多，8A垂直x轴于点A,与双曲线

O

y=V相交于点c,且Baaoc=i回2,则上的值为（）

X

99

A--3B.--C.3D,-

18.（2023•江苏南通中考）平面直角坐标系久Oy中，直线y=2x与双曲线y=£（k>2）相交于A,B两点,

其中点A在第一象限.设M（m,2）为双曲线y=g（k〉2）上一点，直线力M,BM分别交y轴于C,。两点,

则。C—。。的值为（）

A.2B.4C.6D.8

19.如图，点C在反比例函数y（（x>0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A,B,且

AB=BC,0AOB的面积为1,贝Ijk的值为（）

A.1B.2C.3D.4

20.（2023•陕西中考）若4（1,%）,3（3/2）是反比例函数丫=等（爪<9图象上的两点，贝丹1、%的大

小关系是小y2（填">"、"="或"<"）

2L（2023•山东青岛中考）列车从甲地驶往乙地.行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度"（km/h）之间

的反比例函数关系如图所示.若列车要在2瓦内到达，则速度至少需要提高到km/b

22.（2023•山东枣庄中考）如图，正比例函数月=自k应力0）与反比例函数）/2=宗七力0）的图象相交于

4B两点，其中点力的横坐标为1.当丘若时，久的取值范围是——.

23.（2023•辽宁鞍山中考）如图，△48。的顶点8在反比例函数丫=2。>0）的图象上，顶点C在x轴负半

轴上，28〃无轴，AB,BC分别交y轴于点Q,E.若等=果=|,S^ABC=13,贝味=.

24.（2023・广州中考）一元二次方程/一4%+爪=0有两个相等的实数根，点a。1,当）、BO^,为）是反比

例函数y=?上的两个点，若%1<%2<0-则％________y2（填或">"或

25.（2023•贵州毕节中考）如图，直线AB与反比例函数y=£（k>0,x>0）的图象交于A,B两点，与x轴

交于点C,且4B=BC,连接。4.已知△04C的面积为12,则上的值为.

26.(2023•内蒙古通辽中考)如图，△O4/i，LArA2B2,△①①殳…，△4r_i4r当都是斜边在无轴上的

等腰直角三角形，点4，42，/，・•・，4i者B在X轴上，点当，B?,B3,&都在反比例函数y=

：(x>0)的图象上，则点场的坐标为.(用含有正整数〃的式子表示)

27.(2023•广西柳州中考)如图，一次函数y=2x与反比例数y=；(k>0)的图像交于A,B两点，点M在

以C(2,0)为圆心，半径为1的OC上，N是4M的中点，已知。N长的最大值为|,则上的值是.

28.（2023•山东荷泽中考）如图，一次函数y=久与反比例函数y=（（%>0）的图象交于点力，过点4作

AB1OA,交x轴于点B；作B4〃04交反比例函数图象于点4；过点儿作4212/交x轴于点8；再

作当出〃8&,交反比例函数图象于点人2,依次进行下去，……，则点人2021的横坐标为.

29.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生

兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y随时间》（分钟）

变化的函数图象如图所示，当0Wx<10和10Wx<20时，图象是线段；当20WXW45时，图象是反比

例函数的一部分.

（1）求点力对应的指标值；

（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合

题的讲解时，注意力指标都不低于36?请说明理由.

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