2024年高考数学模拟卷（新高考II卷专用）

2024年高考数学模拟卷（新高考H卷专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.已知集合4={-1,0,1,2},8=[-41},则AB=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2）

2.（2-i）（l+3i）=（）

A.5+5iB.5-5i

C.-l+5iD.-l-5i

3.斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1,这是一座斜

拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2,已知拉索上端相邻两个锚的间距

山耳=1,2,3,…,9）约为4m,拉索下端相邻两个锚的间距|A6/（i=L2,3,…,9）均为18m.最短拉索的锚片，

A满足用=84m,|Q4,|=78m,以岛/所在直线为x轴，所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的

图2

4.己知平面向量帆=（4,3）,“=（2,0）,t=m+kn>若，）=„,贝（U=（）

25

A.—B.5C.2D.一

52

5.2023年杭州亚运会期间,甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不

排在两端，则不同的排法种数有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

6.已知角兀)，且sin(a—/7)+cos(c+/7)=0,sinasin/7=3cosccos£,则tan(a-/?)=()

A.—2B.—C."D.2

22

7.已知正三棱锥P-ASC的外接球的表面积为3万，若以，平面P8C,则三棱锥P-A5c的体积为()

A.-B.-C.—D.—

634824

8.函数“尤)和g(无)的定义域均为R,已知y=/(l+3x)为偶函数，y=g(x+l)+l为奇函数，对于WxeR,

均有/(x)+g(x)=f+3,则〃4)g(4)=()

A.66B.70C.124D.144

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.对于函数/(x)=-2sinpx+：］+；(xeR),有以下四种说法正确的是：()

A.函数的最小值是

B.图象的对称轴是直线尤若-展次”)

7T

C.图象的振幅为2,初相为了

4

7717T

D.函数在区间一五，一耳上单调递增

10.(多选题)“堑堵”“阳马”和“鳖膈”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术・商功》：“斜解立方,

得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖席”.一个长方体沿对角面斜解(图1),得到一模一样的两个

堑堵(图2),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2),得一个四棱锥称为阳马(图3),一个三棱

锥称为鳖腌(图4).若长方体的体积为V,由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖席的体积分别为匕，旷2,

%，则下列选项正确的是()

图1图2

A.K+K+%=VB.V,=2V2C.

11.已知。为坐标原点，点A(-2,-1)在抛物线C:尤2=_2pyS>0)上，过点2(0,1)的直线交抛物线C于P,Q

两点，则下列结论正确的是()

A,抛物线C的准线方程为y=lB.直线A3与抛物线C相切

C.0尸。0为定值3D.忸叶忸Q|>忸A「

12.若实数x,y满足4/+6冲+9/=3,贝lj（）

A.4x+3yW20B.4x+3y>-l

C.4%2-6xy+9y2<8D.4%2-6xy+9y1>1

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知随机变量J服从正态分布N（4,〃），且尸偌>6）=02,贝i]P（2<J<4）=.

14.已知函数/（尤）=lnx+无，过原点作曲线y=的切线/,则切线/的斜率为.

15.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0,直线+l）y+4—4〃?=0,若在/上总存在点跖使得

过M点作的圆C的两条切线互相垂直，则实数机的取值范围是.

22

16.已知椭圆C：，+4=1（。>1）的左，右焦点分别为耳，6,过点耳且垂直于无轴的直线与椭圆交于

A、8两点，AB、班;分别交y轴于尸、。两点，尸。居的周长为4.过尸2作/鸟A4外角平分线的垂线与

直线54交于点N,则|ON|=.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.（（10分））已知数列｛%｝为等差数列，｛么｝是公比为2的等比数列，且%-4=%-

（1）证明：％=仇；

（2）若集合M=｛无|4=+4,14m450｝,求集合〃中的元素个数.

18.（12分）在①sinB=6sinA;②6cosC+ccos3=2cos3这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并

解答.

问题：设，ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且51114+5111（3-4）=5111。，b=y/3,.

⑴求B;

（2）求一ABC的周长.

注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.

19.（12分）据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水

定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准X（单位：吨），月用水量不超过X的部分按平价收费，超出X

的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了〃户居民某年的月均用水量（单

位：吨），其中月均用水量在（9,12］内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图.

（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准尤吨，试估计x的值；

⑶在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x吨时，按3元/吨计算，超出尤吨的部分，按5

元/吨计算.现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少

吨？

20.（12分）如图，在四棱锥P—A3CD中，底面ABC。是正方形，底面ABC。，E,尸分别是PC,

AD中点.

⑴求证：DE//平面PFB；

（2）若AD=1,PB与平面ABC。所成角为45。，求平面与平面EFO夹角的余弦值.

22

21.（12分）已知双曲线C：夕-}=1（。＞0力＞0）经过点网4,6）,且浙近线方程为、=土氐.

（1）求C的方程；

⑵过点尸作y轴的垂线，交直线/：兀=1于点河，交y轴于点N.不过点夕的直线交双曲线。于A、5两点,

s

直线P4,PB的斜率分别为尤，k2,若《+匕=2,求—.

3NAB

22.(12分)已知函数〃x)=ln(x+l)-合］

⑴当a=I时,求〃％)的极值;

(2)若〃上0,求。的值；

、、1.11/*

(3)求证：sin-------bsin-------F+sin——<ln2(nGN

n+1n+22n'

2024年高考数学模拟卷（新高考II卷专用）

参考答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

9101112

ADACDABDAD

第口卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

31

13.0.3/—14.-+115.-2<m<1016.717

10e

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.（10分）

%+d—2Z?]=%+2d—4bl

【详解】（1）证明：设数列｛4｝的公差为d,则

q+d—2仄=8Z?]—(〃]+3d)

\d=2b

即4}，

[“I+2d-5b1=0

解得所以原命题得证.

(2)由(1)知所以％=%“+/o%x2J=%+0-1)4+4,

因为°产0,所以m=2"?€[1,50],解得2WKVlog250+2=3+log225,

由24=15,25=32,故4<log225<5,gp7<3+log225<8,

所以满足等式的解4=2,3,4,5,6,7.

故集合M中的元素个数为6.

18.（12分）

【详解】（1）在-ABC中，C=n-A-B,

.,.sinC=sin（A+B）,

sinA+sin（B-A）=sinC,

/.sinA+sin（B-A）=sin（A+B）,

贝!JsinA+sinBcosA—cosBsinA=sinBcosA+cosBsinA,

化简得sinA=2sinAcosB.

在.ABC中，sinAwO,

,cosB=—.

2

又0<B<71,

3

22

（2）由余弦定理，得Z?2=片+。2—2〃ccos5,a+c-ac=3-

若选①，

sinB=百sinA,艮0=Ca,^a2+c2—ac=3

..a=l,c=2,

此时一ABC的周长为3+

若选②，

bcosC+ccosB=2cosB,

1a2+b2-c2a2+C1-b2。1.

/.bx----------------hex--------------=2cos5D，BHPnfl=2ocosnD=2ox—=1,

lablac2

a?+c~-etc—3，

c=2,

此时—ABC的周长为3+VL

19.（12分）

【详解】（1）（0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+0.005+a）x3=1,

1

/.Q---------.

300

39

用水量在（9,12］的频率为0.065x3=0.195,；.〃=而函=200（户）

(2)(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085)x3=0.72<0.8,

(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050)x3=0.87>0.8,

0.80—0.72

/.15+3x=16.6(吨)

0.87-0.72

(3)设该市居民月用水量最多为加吨，因为16.6x3=49.8<70,所以

则w=16.6x3+(m-16.6)x5<70,解得mW20.64,

答：该市居民月用水量最多为20.64吨.

20.(12分)

【详解】(1)设G为尸3中点，连接GEIG,

又瓦尸分别是PC、AD中点，

所以尸O=GEIIBC,

22

又底面A8CD是正方形，

所以FD=GE,GE//FD,故四边形FDEG为平行四边形，则DE〃FG,

由DEZ平面PFB,FGu平面尸/方，则。£7/平面尸FB.

(2)因为PB与平面ABCQ所成角为45。，所以NPBZ)=45,以。为原点，构建空间直角坐标系,

由于AD=1,则尸

所以8(1,1,0),0(0,0,0),E0；与/已,。,。］,尸(0,0,0),

0；与，。尸=g,0,0；PB=(l,l,-=

所以。E=

m•DE=—yH———z=0

令机=（%,y,z）为平面E尸。的一个法向量，贝!22,

m-DF=—x=0

I2

令户夜，即加=（0,忘,-1）,

n•PB=a+b-0c=0

令〃=（a,b,c）为平面尸的一个法向量，则<1,，

n•FB=—a+b=O

I2

.（五、

令a=2,即〃=2,-1,--,

12）

述

所以H叫卜砚「居点=55，

即平面PFB与平面瓦切夹角的余弦值上医

55

21.（12分）

【详解】（1）由m-《=°=〉=土3,即

—=A/3=>〃=3/,

abaa

将P（4,6）代入双曲线方程得与-==4万=12=>£—亡=1；

ab412

^\。过7\也p

—

当直线A8的斜率存在时，不妨设直线AB：y二丘+加，人(%,%)](%2，%)，

联立双曲线方程]]2_9_12=0=（3/1r2—Ikmx—ni1-12=0,

其中/w3,A=4k2nli-4（3-^2）（-m2-12）＞On>+12—4左2>o,

2km-m2-12

X1+x2=3_k2,Xlx2=3_H,

易知勺+右=』■一f+丛］=2=2kxlx2+（加一6—4左）（苔+x2）-8（m-6）

%—4x2-4玉/-4（x,+X2）+16

（2左一2）菁％2+（%+2—4左）（玉+x2）-8m+16=0,

化简得"+2Am—8左之-12（^+m）+36=（m-2^-6）（m+4^-6）=0

所以机=2左+6或根=-Ak+6,

当加=7k+6时，直线AB过尸，不符题意舍去，

故根=2左+6,贝!J止匕时直线AB:y=k（x+2）+6,过定点。（一2,6）.

如图所示，易知M（L6）,N（0,6）,

则”=士上业，幽工

'SNABL\yB_yA\.\DN\IM2,

当直线A3的斜率不存在时，可设AB:x=r,

22_________

与双曲线方程联立，则C-E=lny=±j3/-12,

412

可令A，,J3』-12"”,-也广_12）,

小加，,431-12-6--3产-12-6\\

此时左+匕=----------+—---------=2=>/=-2,

1-f-4Z-4

此时A,3重合，不符题意舍去.

综上可知

JNAB2

22.（12分）

【详解】（1）当。=1时，/（%）=In（X+1）--------,x>—lf

则13=之一湍厂屋产

当xe（—1,0）时,r（x）<0,〃x）单调递减，

当xe（O,网时,f\x）>0,〃x）单调递增,

所以/（x）在x=0处取得极小值0,无极大值；

（2）由题意得尸（x）=<j-/7二，"；）,

X+1（x+1）（x+1）

①当a40时，/^)>0,所以f(x)在(一1,«®)上单调递增，

所以当x«T,O)时，/(x)</(O)=O,与矛盾；

②当a>0时，当xe(―l,a—1)时，/'(x)<。，/(x)单调递减,

当xe(a-L")时，/^)>O,/(x)单调递增，

所以〃x)min='(aT)Tna-(aT)，

因为〃x)zo恒成立，所以Ina-(a-l)NO,

iBg(a)=lna-(a-l),g,(67)=--l=^—

当ae(O,l)时，g<a)>0,g(a)单调递增，

当。e(l,+co)时，g,(a)<0,g(a)单调递减，

所以且⑷皿=86=°，所以Ina-(a-1)40,

又lna-(a-l)N0,

所以lna_(a_f)=O,

所以a=l；

(3)证明：先证sin尤<x(x>。)，

设/z(无)=sinx—x(x>0),贝U/zr(j;)=cosx—1<0,

所以/l(x)在区间(o,+8)上单调递减，

所以Mx)</i(o)=o,即sin%<%,

叱…•・

所以sm---1---Fsin---1--+-+sin,—1<----1---F----1---F-•+——1,

n+1〃+22nn+1n+22n

,、〒1]n+1

再证——-<ln-----,

n+1n

由(2)可知ln(x+l)N——,当％=0时等号成立，

1

则Inl+lR十，

J1+1

n

即一--<In"I=In(n+1)-Inn,

n+1n

所以一^<ln（n+2）-ln（n+l）,,--—<ln（2n）-ln（2n-l）,

累加可得----1---------HH-----<In（2H）—InH=In2,

n+1n+22n

所以sin」一+sin--——b+sin—<In2.

n+1n+22n

2024年高考数学模拟卷（新高考II卷专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.已知集合人={-1,0,1,2},匹卜-利，则AB=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2）

【答案】B

【详解】B={X|X2<1}={X|-1<X<1）,

又人={-1,0,1,2},则A5={-1,0,1）.

故选：B.

2.（2-i）（l+3i）=（）

A.5+5iB.5-5i

C.-l+5iD.-l-5i

【答案】A

【详解】（2-i）（l+3i）=2+6i-i+3=5+5i.

故选：A

3.斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1,这是一座斜

拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2,已知拉索上端相邻两个锚的间距

|学工|。=1,2,3,…,9）约为4m,拉索下端相邻两个锚的间距=…,9）均为18m.最短拉索的锚A,

A满足制=84m,|OA|=78m,以稣所在直线为x轴，所在直线为>轴，则最长拉索所在直线的

斜率为（）

Pio索塔

B\O桥面4

图1图2

62

AB.D.±----

-4129

【答案】B

【详解】由题意知｛。片｝,｛。6｝（，=1,2,3,「10）分别是公差为4和18的等差数列,

所以=31+9x4=84+9x4=120,侬（）|=|。叫+9*18=78+9*18=240,

所以%岛=/=；,鼠阎=*=-1即最长拉索所在直线的斜率为土;.

故选：B.

4.已知平面向量根二（4,3）,n=（2,0）,t=m+kn,若（私则k=（）

25

A.—B.5C.2D.一

52

【答案】D

【详解】/=加+左〃=（4,3）+（2左,0）=（4+2左,3）,

m-t4(4+24)+9_25+8-

cos(m,t)=।||,=

H-H415H

/\ri't2(4+2左)4+2左

cos(=iiii

liM41

因为（也，=,所以cos（九，=cos",

25+844+2左解得左=|.

所以书=方,

故选：D

5.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不

排在两端，则不同的排法种数有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

【答案】B

【详解】甲与乙相邻有A；种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有A：种不同的

排法，

再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有C；种不同的排法，

所以共有A；A：C；=7200种不同的排法.

故选：B.

6.已知角?兀)，且sin(a—/7)+cos(e+/?)=。，sinosin/?=3cosacos/,则tan(a-/7)=()

A.—2B.—C.—D.2

22

【答案】c

【详解】因为sin((z-£)+cos(a+/7)=0,

所以sinacos/?-cosasm)3+cosacos/7一sinasin/?=0,

所以sinacos-cosasinp_1

cosacos/3-sinasin§

tancr-tan/71

贝I--------------二-1,

1-tancrtanf3

又sinasin(3=3cos6rcos/?,贝|tanatari#=3,

贝Utana-tan/3=2,

~/c、tana-tanB21

所以tan(a-B)=----------------=------=-

1+tancrtan/71+32,

故选：C.

7.已知正三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为3»,若24,平面尸5C,则三棱锥P-ABC的体积为()

11-11

A.-B.-C.—D.—

634824

【答案】A

【详解】设外接球半径为R,则4万我=3万，所以R=t

2

设P3=PC=R4=a,因为PAJL平面P2C,所以外,9，PALPC

所以A2=AC=0a，又因为AABC为正三角形，BC=J5a，:.PBLPC

即E4,PB,PC两两垂直.

将三棱锥补成以B4,PB,PC为邻边的正方体，则尺=立=且〃，得。=1,

22

所以三棱锥的体积为y=1x]xixi=J.

326

故选：A.

8.函数〃尤)和g(尤)的定义域均为R,已知y=/(l+3x)为偶函数，y=g(x+l)+l为奇函数，对于WxeR,

均有〃x)+g(x)=f+3,则〃4)g(4)=()

A.66B.70C.124D.144

【答案】B

【详解】y=〃l+3x)为偶函数，即/(l+3x)=〃l-3x),

\/(x)的图像关于x=l对称，

-y=g(x+l)+l为奇函数，即g(x+l)+l=-g(-x+l)-l,

，g(尤)的图像关于点(1,-1)对称，

「对于VxeR,均有/(x)+g(x)=x2+3,

.•./(-2)+g(-2)=4+3=7,

/(x)的图像关于x=l对称，2)=〃4),

g(x)的图像关于点(1,-1)对称，，g(-2)=-g(4)—2

.-./(4)-g(4)=9

又〃4)+g(4)=42+3=19

解得〃4)=14,g(4)=5,

“(4)g(4)=70.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.对于函数〃x)=-2sin[3x+5]+g(xeR),有以下四种说法正确的是：()

3

A.函数的最小值是

B.图象的对称轴是直线尤等-专（左eZ）

7T

C.图象的振幅为2,初相为了

4

77r7T

D.函数在区间-五，一§上单调递增

【答案】AD

【详解】因为函数〃x）=-2sin，x+£|+g（xeR）,则有：

JTTT7T2

对于选项A：当3x+—=—+2E,左EZ,BPx=一+—E,左EZ时，

42123

ia

函数”X）取得最小值为-2X1+；=-；,故A正确；

对于选项B：令3x+^=^+E,AeZ,解得尤='+之,左eZ,

42123

函数的图象的对称轴是直线龙=^+g,keZ,故B错误；

对于选项C：因为/（尤）=-2sin[3x+t）+g=-2sin[3X-，+2E）+TT+；=2sin13x-1+eZ,

所以图象的振幅为2,

TT37c1

令一二---+2k7i,keZ,角星得k=—住Z,

442

jr

所以:不为初相，故c错误；

4

对于选项D：4--+2far<3x+-<—+2fat^eZ,^—+—<x<—+—,k&Z,

242123123

即函数〃x）的递增区间为白空净等，丘Z,

77Tjr

当人=T时，〃x）的递增区间为-丘，-4，故D正确.

故选：AD.

10.（多选题）“堑堵”“阳马”和“鳖膈”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术•商功》：“斜解立方,

得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖腌”.一个长方体沿对角面斜解（图1）,得到一模一样的两个

堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2）,得一个四棱锥称为阳马（图3）,一个三棱

锥称为鳖牌（图4）.若长方体的体积为V,由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖席的体积分别为匕，匕，

匕，则下列选项正确的是（）

【答案】ACD

【详解】设长方体的长宽高分别为。涉,c,V=abc,

贝乂=—=—abc,K=—xabc=—abc,K=—x-xabc=-abc,

1222333326

故%+%+匕="c=V，K==3K，匕=2%,1则B错误，ACD正确;

26

故选：ACD.

11.已知。为坐标原点，点A（-2,-L）在抛物线C:x2=_2pyCp>0）上，过点2（0,1）的直线交抛物线C于P,Q

两点，则下列结论正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为y=lB.直线A3与抛物线C相切

C.OPOQ为定值3D.忸尸卜忸Q|>忸A「

【答案】ABD

【分析】选项A,由点4-2,-1）在抛物线上，代入方程待定系数，求出抛物线C方程，则得到准线方程；

选项B,利用导数求出切线斜率，与直线AB斜率相同即可说明相切；选项C,设出直线A3方程，联立抛

物线方程，将。尸坐标化韦达定理代入可证；选项D,利用弦长公式用（1+左2）卜当|表示，再代入韦达定

理，结合判别式A>0得出的Y的范围，即可判断得出答案.

【详解】对于A：因为点在抛物线C：丁=_2/（0>0）上，

则4=2p,解得p=2,

所以抛物线C：Y=-4y,

其准线为>=1,故A正确；

对于B：令y（x）=-；,

贝Ur（x）=-；x，可得「（一2）=1，心=白昌=1,

即抛物线在A点处切线斜率与直线斜率相同,

所以直线AB与抛物线C相切，故B正确；

对于C：由题意可知，直线P。斜率存在，

设直线尸。的方程为>=h+1,2（石,％）,。（々,1），

,、［

y=kx+l2

联乂方程｛2A，消去y得：X+4Ax+4=0,

［龙=-4y

可得A=16S—16>0,得左2>1,

且!石+尤2=-4k

［王马=4

uunuum(V入2\

因为OPOQ=%%2+=叱2+卜;)一1I

=%々+让=4+1=5,故C错误；

对于D：由题意可知忸=(_2_0y+(_]_l)2=8,

2

因为忸斗忸Q|=J1+山|占-0卜y/1+k昆-0|=(1+阴跖21=4(1+左2),

则怛斗忸。=4(1+8>8,

所以忸斗忸°|>忸呢，故D正确.

2=3,则（)

A.4x+3y<2\/3B.4x+3y>-l

C.4x2-6xy+9y2<SD.4x2-6xy+9y2>1

【答案】AD

【分析】对于AB,4x2+6xy+9y2=^-(4x+3y)297i

+—y2=3,则7（4尤+3»43,从而可求出4x+3y的范围

进行判断，对于c,利用2(2x+3y)2zo,化简变形结合已知条件可判断，对于D,禾！]用2(2x-3420,化

简变形结合已知条件可判断.

1271

【详解】对于AB,因为4f+6盯+9y2=w(4x+3y)2+]y2=3,所以1(4尤+3y)243,当且仅当y=0时取

等号，

所以(4x+3y)2V12,所以-2若V4x+3yW2g,所以A正确，B错误，

对于C,因为2(2x+3y)、0,所以2(4尤2+12节+9冷20,当且仅当2x=-3y时取等号，

所以8尤2+24孙+18y2zo,tZ12x2+18^+27j2>4x2-6xy+9y2,

所以3(4尤2+6AV+9y2)>4x2-6xy+9y2,

所以4d一6孙+9y2<9,当且仅当2x=-3y时取等号，所以C错误，

对于D,因为2(2x-3y)2N0,所以2(4--12孙+9/)20,当且仅当2元=3y时取等号，

所以8尤2-24孙+18y220,所以12尤之一18孙+27〉？之4无？+6冲+9;/,

所以416盯+9小4八6；+”=],当且仅当2尤=3y时取等号，所以D正确，

故选：AD

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知随机变量4服从正态分布N(4,〃)，且尸偌>6)=02,贝iJP(2<J<4)=.

3

【答案】0.3/—

10

【详解】随机变量4服从正态分布N(4,〃)，且尸偌>6)=0.2,

所以尸(4<q<6)=0.5—尸(q>6)=0.3,

所以P(2<J<4)=尸(4<J<6)=0.3,

故答案为：0.3

14.己知函数〃x)=lnx+x,过原点作曲线y=的切线/,则切线/的斜率为.

【答案】-+1

e

【详解】由题意得，/，(x)=1+l,设切点为*%,111%+不)，

则切线方程为y=(x-x0)+Inx0+尤0,

因为切线过原点，

所以0=]H1](一毛)+Ln尤0+X。=Inx0—1,

解得x0=e,所以尸(无。)=尸(e)=Ll.

e

故答案为：-+1

e

15.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0,直线/：(m+2)x+(加-l)y+4—4〃z=0,若在/上总存在点使得

过M点作的圆C的两条切线互相垂直，则实数机的取值范围是.

【答案】-2<m<10

【详解】根据题意，圆C：Y+y2+2x-4y+3=。即(x+l『+(y-2)2=2,

其圆心为(-1,2),半径，=后,

如图，设切点分别为4区连接AC,BC,MC,

由zi4Affi=ZM4C=ZMBC=90。，又由AC=BC=r=应,

则四边形MACB为正方形且\MC\=yf2r=2,

若直线/上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直,

卜（"？+2）+2（机-1）+4-4/M|

只需圆心(-1,2)到直线/的距离1=<2,

+2）2+（〃LIp

BP/7z2-8m-20<0,

解可得：-2<m<10,

即m的取值范围为-2W»iW10；

故答案为：-2<m<10

22

16.已知椭圆C：=的左，右焦点分别为耳,过点片且垂直于X轴的直线与椭圆交于

aa—1

A、B两点，A居、8居分别交y轴于P、Q两点，尸。心的周长为4.过尼作/&A月外角平分线的垂线与

直线54交于点N,则|0N|=.

【答案】V17

【详解】因为尸。〃A3,所以乌=曰三=作^=’，

AB\\AF2\\BF2\2

因为尸。£的周长为4,所以△ABg的周长|明|+|隹|+忸用+|愿|=4a=8,

22

所以。=2,所以椭圆方程为\+1_=1,,2=4-3=1,所以£（-1,0）,

直线垂直尤轴，设A（-l,%）,%>0,代入；+?=1,求得

所以|%2=|A小叱「=%4=字，

因为/瑞Af；外角平分线AT的垂线与直线BA交于点N,

553

所以|A列=|4V|=],WH|=-+-=4,

则ION『=I『+忸of=42+1=]7,所以QN卜.

故答案为：后.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.己知数列｛4｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且

⑴证明：4=伉；

⑵若集合"=｛左14=册+%,"加450｝,求集合V中的元素个数.

【答案】（1）证明见解析

⑵6

2b2d_4b,

【详解】⑴证明：设数列｛.端的公差为d,则14++d八_24、=超6+-（「3」

即尸，

解得4=4='，所以原命题得证.

（2）由（1）知4=%=£,所以4=（/“,+/O%x2"i=q+0九一1）4+%,

因为4/0,所以m=2"?€0,50],解得24kWlog250+2=3+log225.

由24=15，2$=32,故4<log?25<5,gp7<3+log225<8,

所以满足等式的解A=2,3,4,5,6,7.

故集合M中的元素个数为6.

18.在①sin8=6sinA;②6cosC+ccos3=2cos3这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：设_ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且51114+$近（3-4）=5111。，b=拒,.

⑴求B；

（2）求ABC的周长.

注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】⑴B=W

(2)3+6

【详解】(1)在ABC中，C=7i-A—B,

.,.sinC=sin(A+B),

sinA+sin(B-A)=sinC,

/.sinA+sin(B-A)=sin(A+B),

则sinA+sinBcosA-cosBsinA=sinBcosA+cosBsinA,

化简得sinA=2sinAcosB.

在&ABC中，sinAw0,

cosB=—.

2

又・0<B<7T,

：.B=-.

3

(2)由余弦定理，得Z?2=a2+o2_2〃CCOS5,a2+c2—ac=3.

若选①，

sinB=\/3sinA,BPZ?=Ma，^a2+c2-ac=3

..a=l,c=2,

此时..ABC的周长为3+VL

若选②，

Z?cosC+ccosB=2cosB,

,a2+b2-c2a2+c2-b2_1

:.bx--------------+cx---------------=2cosBD,艮0|JnQ=2ocosBD=2ox—=11,

lablac2

又—cic—