圆的方程-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第3课时圆的方程

［考试要求］i.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准

方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

［链接教材•夯基固本】落实主干•激活技能

€＞梳理•必备知识

1.圆的定义及方程

定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准方程（%一—）2+。—力2=户（尸＞0）圆心(访b),半径尸

圆心(二号

一般方程222

x+/+JDx+£>+F=0（D+£-4F>0）半径

京评土蜉"

提醒：当D2+E2~4F=0时，方程x2+y2+Qx+£y+/7=0表示一个点(―弓，—匀；

当。2+印—4/〈0时，方程》2+产+9+4+/=。没有意义，不表示任何图形.

2.点与圆的位置关系

点M(xo,/)与圆(X—。)2+。-5)2=八&＞0)的位置关系：

(1)^M(xo,yo)在圆外，则(X0—02+(V0—6)2＞F2.

(2)若M(XO,)0)在圆上，则(X0—a)2+(V0—6)2=F2.

(3)若M(xo,yo)在圆内，则(xo—aF+廿。一＜r2.

［常用结论］

1.圆的三个性质

(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

⑵圆心在任一弦的中垂线上；

(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线.

2.以Z(xi,yi),5(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(％—X2)+(y—V2)

=0.

©激活,基本技能

一、易错易混辨析(正确的打，错误的打“X”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.

(2)方程(%+。)2+。+6)2=修。弓2表示圆心为(口，b),半径为力的一个圆.()

⑶方程//+%+0?+9+4+尸=0表示圆的充要条件是/=cwo,8=0,

D2+E^-4AF>0.

(4)若点M(xo,yo)在圆/+产+£)/+砂+E=0外，则就+%+Dxo+gyo+77>

［答案］(1)V(2)X(3)V(4)V

二、教材经典衍生

1.(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点Z(l,-1),5(-1,1),

则以线段43为直径的圆的方程是()一■一>

A.x2+y2=2B.x2+y2=y/2

C.x2+j,2=1D.x2+y2=4

A［法一：4B的中点坐标为(0,0),

\AB\=7(1-(-1))2+(-1-l)2=2V2,所以圆的方程为炉+产=2.

法二(应用常用结论)：以4B为直径的圆的方程为(x—l)•(x+l)+(y+1)任一1)

=0,即/+了2=2.］

2.(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点Z(l,-1),5(-1,1),且圆

心在直线x+v-2=0上的圆的方程是()、-------)

A.(x-3)2+(y+1)2=4

B.(x+3)2+(y-l)2=4

C.(x-l)2+(y-l)2=4

D.(x+l)2+(y+1)2=4

C［法一：设圆心C的坐标为(a,b),半径为兀因为圆心C在直线x+y—2=0

上，所以6=2—a.又|G4|2=QB|2,所以g—j+Q—a+i)2=(a+i)2+(2一口一I)2,

所以a=l,b=l.所以r=2.所以方程为(x—Ip+Q—1>=4.

法二：由已知条件得4B的垂直平分线方程。：y=x,

由解得『〜

1%+y—2=0,ly=1,

...圆心坐标为(1,1),

.,.^=(1-1)2+[1-(-1)]2=4,

.•.圆的方程为(x—l)2+(y—1/=4.]

3.(人教A版选择性必修第一册P88练习T2改编)若点尸(1,1)在圆C：x2+j2+x

—左=0的外部，则实数上的取值范围是()

A.(-2,+8)B.[-2,

C.(—2,0D.(-2,2)

C[由题意得户1+1-1+解得-2〈左<3故选C.]

il+l-4k>0,2

4.(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0,

0),(L1),(2,0)的圆的方程为.

x2+j;2—2x=0[设圆的方程为好+产+£)丫+4+/=0.，.,圆经过点(0,0),(1,

1),(2,0),

r=0,(D=-2,

.,.<2+£)+E+F=0,解得(E=0,

(4+2D+F=0,=0.

圆的方程为x2+v2-2x=0.]

[典例精研•核心考点]重难解惑•直击高考

考点一圆的方程

[典例1]⑴(多选)(2023•辽宁葫芦岛二模)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,

2)中的三点的圆的方程为()

A.(x-2)2+(y-l)2=5

B.(x-2)2+(y-3)2=13

C酸)+(广丁=22

D.(x-1)2+(y-l)2=|

(2)(2022•全国甲卷)设点M在直线2x+y—1=0上，点(3,0)和(0,1)均在。M

上，则。〃的方程为.

(1)AB(2)(x-l)2+(y+l)2=5[(1)对于A,点(0,0),(4,0),(4,2)在圆(x—

2)2+(y—1)2=5上，故A正确；

对于B,点(0,0),(4,0),(-1,1)在圆(x—2)2+(y—3)2=13上，故B正确；

对于C,点(0,0),(-1,1)都不在圆(％—qj+Q_g2=22上，故c错误；

对于D,点(4,0),(-1,1)都不在圆(X-芋+。一.上，故D错误.故选

AB.

⑵法一(三点共圆)：

•点〃在直线2x+y~1=0上，

设点〃为Q1—2°),又因为点(3,0)和(0,1)均在。河上，

...点M到两点的距离相等且为半径七

J(a—3)2+(1—2a2=Ja2+(—2a)2=R,

a2—6a+9+4a2—4a+1=5a2,解得a=l,

-1),R=店,

QM的方程为(x—l)2+(y+1)2=5.

法二(圆的几何性质)：

由题意可知，/是以(3,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线了=3》-4与直线

2x+y—l=0的交点(1,-1).又圆的半径火=花，所以。〃的方程为(x—1)2+。

+1)2=5.］

名师点评求圆的方程的两种方法

(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.

(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a,6)和半径r有关，则设圆的标准方程，

求出a,6r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,F的

方程组，进而求出。，E,尸的值.

［跟进训练］

1.(1)若一圆的圆心坐标为(2,—3),一条直径的端点分别在x轴和了轴上，则

此圆的方程是()

A.(x—2)2+0+3)2=13

B.(x+2)2+(y-3)2=13

C.(x-2)2+(y+3)2=52

D.(x+2)2+(y—3)2=52

(2)已知aGR,方程a?/+(q+2)俨+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是

,半径是.

(1)A(2)(-2,-4)5[⑴易得该直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,—6),

可得直径长为2m,则半径长为g,所以所求圆的方程是(X—2)2+(J+3)2=

13.

(2)由已知方程表示圆，得屋=。+2,

解得a=2或a—1.

当。=2时，原方程不满足表示圆的条件，故舍去.

当a=-1时，原方程为》2+了2+4%+8了-5=0,

化为标准方程为(x+2A+(y+4>=25,

表示以(一2,—4)为圆心，半径为5的圆.]

【教师备选资源】

1.(多选)设有一组圆G：(x—左)2+(y—左)2=4(左©R),下列命题正确的是()

A.不论上如何变化，圆心C始终在一条直线上

B.所有圆a均不经过点(3,0)

C.经过点(2,2)的圆J有且只有一个

D.所有圆的面积均为4兀

ABD[圆心坐标为(左，k),在直线y=x上，A正确；

令(3—£)2+(0—左)2=4,化简得2R—6左+5=0,=36-40=-4<0,：.2吩一

6左+5=0无实数根，...B正确；

由(2—£)2+(2—£)2=4,化简得上2—4左+2=0,

VJ=16-8=8>0,此方程有两个不相等实根，

...经过点(2,2)的圆Q有两个，C错误；

由圆的半径为2,得圆的面积为4兀，D正确.故选ABD.]

2.如图，点2(0,8),8(0,2),那么在x轴正半轴上存在点C,使得NZC8最

大，这就是著名的米勒问题.那么当NZC5取得最大时，AZ5c外接圆的标准

方程是.

(x—4)2+(y—5)2=25［因为点Z,5是了轴正半轴上的两个定点，点C是x轴正

半轴上的一个动点，根据米勒定理及圆的几何性质可知，当△48C的外接圆与x

轴相切时，/ACB最大.由垂径定理可知，弦45的垂直平分线必过△4SC外接

圆的圆心，所以弦48的中点G的纵坐标，即为△48C外接圆半径的大小，即r

=5,依题意，设△ZBC的外接圆圆心为(a,5),a>0,可得△NBC的外接圆的

方程为(x—a)2+(y—5)2=25,把点2(0,8)代入圆的方程，求得a=4(负值舍去)，

所以LABC的外接圆的方程为(x—4)2+。-5)2=25.］

口考点二与圆有关的最值问题

考向1斜率型、截距型、距离型最值问题

［典例2］已知实数x,y满足方程炉十俨―以+1=0.求：

(里的最大值和最小值；

(2)v-x的最大值和最小值；

(3)x2+y2的最大值和最小值.

［解］原方程可化为(x—2>+产=3,表示以(2,0)为圆心，百为半径的圆.

(1年的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设：=左，即3；=丘.

当直线,v=Ax与圆相切时，斜率左取最大值或最小值(如图1),此时|2fc-0|=V3,

Vfc2+i

解得k=±y/3.

所以，勺最大值为旧，最小值为-

X

图1图2图3

(2»—x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵

截距b取得最大值或最小值(如图2),此时与沪=8,解得Z)=-2±V6.

所以y—x的最大值为一2+n，最小值为一2—V6.

(3)%2+72表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，/+产在原点

和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).

又圆心到原点的距离为J(2—0)2+(0—0)2=2,

所以x2+v2的最大值是(2+V3)2=7+4V3,最小值是(2—V3)2=7-4g.

〉考向2建立函数关系求最值

［典例3］设点尸(x,仍是圆：/+Q—3)2=1上的动点，定点2(2,0),8(—2,

0),贝伊力•尸8的最大值为.、-------'

12［法一：由题意，知刀=(2—x,~y),PB=(-2~x,~y),所以成•丽=

X2+J2.4；由于点尸(x,仍是圆上的点，故其坐标满足方程/+。-3)2=1,故/

=-(y-3)2+l,所以成•而=一。-3)2+1+B一4=6y一12.由圆的方程/十

。一3>=1,易知2WyW4,所以当y=4时，刀•丽的值最大，最大值为6X4

-12=12.

法二：由向量的极化恒等式，得方•丽=而2—前2=而2-4,

由于点尸在圆：炉+任一3)2=1上，则

当点尸坐标为(0,4)时，而2取得最大值16,

...方•丽的最大值为16-4=12.］

考向3利用对称性求最值

22

［典例4］已知M,N分别是曲线G：必+/_以一4y+7=0,C2：x+j；-2x=0

上的两个动点，尸为直线x+y+l=0上的一个动点，则PM+FW的最小值为

()

A.V2B.V3

C.2D.3

D［曲线C：/+产一以一4y+7=0是以Ci(2,2)为圆心，半径为1的圆，。2：

3+廿一2%=0是以。2(1,0)为圆心，半径为1的圆.由圆的对称性可得的最

小值为|PC|—i,1PM的最小值为|尸。2|一i.

过。2作直线x+y+l=O的对称点设坐标为(加，n),

f,曰n1m+1,n।,八

可得一

m-1;=12,-2+-+1=0,

解得加=-1,n=-2,即5(—1,12).

连接5Ci,交直线于点尸，连接尸C2,可得|PCI|十『C2|=|PG|+|P5|，|5C]|=

V(2+l)2+(2+2)2=5.当且仅当8,P,Ci三点共线可得|PCi|十|PC2怕勺最小

值为5,则尸M+FM的最小值为5—2=3.故选D.]

名师点评

1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法

(1)斜率型：形如〃=?形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.

(2)截距型：形如/="+勿形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.

(3)距离型：形如机=(x—a)2+(y—6)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距

离的平方的最值问题.

2.建立函数关系式求最值问题的解题策略

根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用

参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值.

3.求解形如(其中河，N均为动点)且与圆c有关的折线段的最值问题

的基本思路：

(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即

将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

[跟进训练]

2.(1)(2023•全国乙卷)已知实数x,y满足/+俨一4_¥—2y一4=0,则x~y的最

大值是()

C.1+3V2D.7

(2)已知点P(x,y)为圆C：/+y2—以+3=0上一点，。为圆心，则丽•丽(0为

坐标原点)的取值范围是()

A.[-3,1]B.[-1,1]

C.[-1,3]D.[1,3]

⑶(2024•广东惠州模拟)已知圆G：(%—2)2+(y—3)2=1,圆Q：(%—3)2+(y—

4)2=9,M,N分别是圆C,C2上动点，尸是x轴上动点，则『川一的最大

值是.

⑴C(2)C(3)4+V2[⑴法一(判别式法)：令x—y=k,贝|》=上十了，

代入原式化简得2产+(2左一6).v+砂一4左一4=0,

因为存在实数y,则/20,

即(2k—6)2-4X2/2—4左一4)三0,

化简得层一2左一17W0,解得1-3A/2^^＜1+3V2,

故x-y的最大值是3e+1.故选C.

法二(换元法)：x2+v2—4x—2j—4=0,

整理得(x—2)2+(y—1)2=9,

令x=3cos6+2,j?=3sin0+\,其中。©[0,2K],

贝Ux—j=3cos3sin0+1=3V2cos(6+：)+l,

因为e©[o,2K],所以当，则。+：=2兀，即。=:时，x—y取得最大

4L44J44

值3或+1.故选C.

法三(几何意义)：由炉+产―4x—2y—4=0可得

(x-2)2+(v-l)2=9,

设》一＞=左，则圆心到直线》一＞=左的距离解得1—3/W左W1+

3V2.

故选C.

⑵将圆C的方程9+/一纸+3=0化为(x—2)2+V=i,所以圆心。的坐标为(2,

0).所以而=(2—x,-j),而而=(—x,-y),所以丽•丽=炉+了2—2%.因为

x2+y2—4x+3=0,所以N+y2=4x—3,所以尸C•尸。=41一3—2x=2x—3.因为

(x-2)2+v2=l,所以1WXW3.因此一lW2x—3W3,从而而•而(O为坐标原

点)的取值范围为[-1,3].故选C.

(3)由题设，Ci(2,3)且半径为=1,。2(3,4)且半径功=3,

所以|CIC2|=J(3—2>+(4-3)2=&<劣一7=2,即圆。2包含圆G.

又N分别是圆Ci,。2上动点，尸是x轴上动点，

要使平川一的最大，P，M,N,Ci,G共线且N在Ci,G的两侧，所

以

(|P^-|P^)max=|CiC2|+r2+ri=4+V2.]

【教师备选资源】

(2018,全国HI卷)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于Z,B两点，点P在圆(x

—2)2+/=2上，则AAB0面积的取值范围是()

A.[2,6]B.[4,8]

C.[V2,3V2]D.[2V2,3V2]

A[圆心(2,0网直线的距离d=缺罗=2/，所以点尸到直线的距离力@[鱼，

3/].根据直线的方程可知Z,8两点的坐标分别为2(—2,0),8(0,-2),所以

|^|=2V2,所以△AB0的面积S=^AB\d\=^2d\.因为力弓[V2,3V2]，所以S©[2,

6],即423尸面积的取值范围是[2,6].]

口考点三与圆有关的轨迹问题

[典例5]已知直角三角形48c的斜边为48,且Z(—1,0),8(3,0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边8c的中点M的轨迹方程.

[解](1)法一(直接法)：设C(x,y),因为幺，B,C三点不共线，所以yWO.

因为ZCL5C,所以kac，kBc=—l.

又左/c=97，kc=^~,

x+1Bx—3

所以二Y•七■=—1,化简得％2+产—2x—3=0.

I_LD

因此，直角顶点C的轨迹方程为/十72-2%一3=0(yW0).

法二(定义法)：设45的中点为。，由中点坐标公式得。(1,0),由直角三角形的

性质知|。。=孑48|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以。(1,0)为圆心，2为

半径的圆(由于Z,B,C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为(x—1>+产=4。W0).

(2)(相关点法)设M(x,j),C(xo,jo),因为8(3,0),/是线段8c的中点，由中

点坐标公式得x=生产，所以xo=2x—3,yo=2y.由⑴知，点C的轨迹

方程为(x—l)2+y2=4(yW0),将xo=2x—3,yo=2y代入得(2x—4)2+(2y)2=4,即

(X—2)2+v2=l.因此动点M的轨迹方程为0—2)2+俨=l(y7^0).

名师点评求与圆有关的轨迹问题的四种方法

(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.

(2)定义法：根据圆的定义列方程求解.

(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.

(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式

求解.

提醒：注意特殊点的取舍.

［跟进训练］

3.如图所示，两根杆分别绕着定点/和5(48=2。)在平面内转动，并且转动时

两杆保持互相垂直，求杆的交点尸的轨迹方程.

［解］如图，以4B所在直线为x轴，以线段45的垂直平分线为y轴，建立平面

直角坐标系，则2(一%0),B(a,0).

设尸(x,j),因为08,

化简得X2+俨=a\x^±a).

当x=±a时，点尸与Z或8重合，此时了=0,满足上式.故点尸的轨迹方程是

x2+^2=a2.

拓展视野2阿波罗尼斯圆

如图，点Z,5为两定点，动点尸满足|我|=4?却

AB

当4=1时，动点尸的轨迹为直线；当丸＞0且丸W1时，动点尸的轨迹为圆，后世

称之为阿波罗尼斯圆.

证明：设|48|=2侬优＞0),|E4|=7|尸引，以48的中点为原点，直线48为x轴建

立平面直角坐标系(图略)，则/(一加0),B(m,0).

又设P(x,y),则由|口|=用尸引得J(%+m)2+y2=丸J(%-7n)2+y2,

两边平方并化简整理得(下一1)x2—2m(A2+1)x+(A2—l)j2=m2(l—A2).

当7=1时，x=0,轨迹为线段Z5的垂直平分线；

当丸＞0且7W1时，(久一看2m)+y=(：；：尸轨迹为以点(芫|g，0)为圆心，

[典例](1)(多选)(2024•海南中学模拟)已知在平面直角坐标系。町中，4—2,

0),8(4,0).点尸满足黑=g设点尸所构成的曲线为C,下列结论正确的是

()

A.C的方程为(x+4)2+y2=16

B.在C上存在点。，使得。到点(1,1)的距离为10

C.在C上存在点使得|M0|=2|M4|

D.C上的点到直线3x—4y—13=0的最大距离为9

(2)在平面直角坐标系。町中，设点2(1,0),8(3,0),C(0,a),。(0,a+2),

若存在点P,使得阿=鱼|05|,|PC|=『0,则实数。的取值范围是.

(1)AD(2)[-2V2-L2V2-1][⑴由题意可设点P(x,y),由2(—2,0),5(4,

0)l^l-1得J(x+2)2+y2=」

1，|PB|-2'寸J(x_4)2+y2-2,

化简得—+廿+8x=0,即(》+4)2+廿=16,A正确;

点(1,1)到圆上的点的最大距离为J(—4—1)2+(0—1)2+4＜10,故不存在点。

符合题意，B错误；

设M(xo,/)，由|M0|=2|M4|,得J焉+%=2j(%o+2)2+端又(%o+41+%

=16,

联立方程消去刈得xo=2,解得外无解，C错误；

C的圆心(一4,0)到直线3x-4j-13=0的距离为d=—(-：)-冏=5,且曲线C的

半径为4,则C上的点到直线3x—4卜一13=0的最大距离为d+r=5+4=9,D

正确.故选AD.

(2)设尸(x,y),则J(4-1)2+俨=鱼•J(%―3)2+*,

整理得(工-5)2+俨=8,即动点尸在以(5,0)为圆心，2声为半径的圆上运动.另

一方面，由|PC|=|P0知动点尸在线段CD的垂直平分线了=。+1上运动，因而

问题就转化为直线y=a+l与圆(x—5>+产=8有交点.所以|a+l|W2VI故实数

。的取值范围是[―2加-1,2V2-1].]

课时分层作业(五十二)圆的方程

[A组在基础中考查学科功底]

一'单项选择题

1.(2022•北京高考)若直线2x+yT=0是圆(x—4+/=1的一条对称轴，则

«=()

11

A.-B.--C.1D.-1

22

A[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a,0),所以由2a+0—1

1

=0,解得a=].]

2.设甲：实数a<3；乙：方程f+廿一%+3y+。=0是圆，则甲是乙的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

B[若方程炉+产-x+3.v+a=0表示圆，

贝可(-1)2+32—4。=10—4。>0,解得a<|.

"二a<3a<^-=>a<3,

2，2，

，甲是乙的必要不充分条件.故选B.]

3.(2023•广东湛江二模)若与y轴相切的圆C与直线/：也相切，且圆。

经过点尸(2,V3),则圆C的直径为()

A.2B.2或上

3

「7八7Txi6

C.-D.-34—

443

B[因为直线/:y=*的倾斜角为30。，

所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线上.

设圆心C(a,V3a),则圆C的方程为

(x-a)2+(y-V3a)2=a2,

将点尸(2,旧)的坐标代入，得(2—a>+(百一四°)2=屋，整理得3/-104+7=

,7

0,解得。=1或Q=]

所以圆C的直径为2或？.故选B.]

4.如果实数x,y满足(x—1)2+俨=不那么[的最大值是()

1

BV3-

-

A.23

C.yD.V3

D[显然xWO,令予=左，即^=丘，代入(x—l)2+y2=:得(1+左2)/—2x+[=0,

所以/=4—4X(l+左2)乂二三0,解得一百W左Wg.

所以上的最大值为旧,故选D.]

5.已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()

A.4B.5

C.6D.7

A[设圆心C(x,y),则JO—3>+(y—4)2=1,

化简得(x—3)2+(y—4/=1,

所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，

所以|OC|+lNQM=，32+42=5,所以。。|三5一1=4,当且仅当C在线段(W

上时取得等号，故选A.]

6.(2024•湖南郴州模拟)已知Z,8是。C：(x—2)2+。-4>=25上的两个动点，

产是线段45的中点，若14sl=6,则点尸的轨迹方程为()

A.(x-4)2+(y-2)2=16

B.(x-2)2+(y-4)2=ll

C.(x-2)2+(y-4)2=16

D.(x―4)2+(y—2)2=11

C[N,8是。C:(x—2)2+。一4)2=25上的两个动点，尸是线段Z5的中点，

=6,圆的半径为5,可得1Pq=，25—9=4,所以点尸的轨迹方程为(X—2)2+0

-4>=16.故选C.]

7.一束光线从点2(—3,2)出发，经x轴反射到圆C：(x—2>+(y—3)2=1上的

最短路径的长度是()

A.4B.5

C.5V2-1D.2V6-1

C[根据题意，设⑷与Z关于X轴对称，且幺(一3,2),则©的坐标为(一3,-

2),又由M'C|=V25+25=5鱼,则4到圆C上的点的最短距离为5加—1.故这

束光线从点2(—3,2)出发，经x轴反射到圆C:(》一2)2+。-3)2=1上的最短路

径的长度是5四一1.故选C.]

8.(2024•北京海淀区模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知产是圆C：(x-3)2

+(y—4)2=1上的动点.若省一a,0),5(a,0),a#0,则|成+而|的最大值为()

A.16B.12

C.8D.6

B［因为|方+而|=2］而而1max=QC|+l=百+1=6,所以|方+而Imax

=12.故选B.]

二、多项选择题

9.(2024•辽宁沈阳模拟)若方程/+廿+9+4+厂=。表示以(2,—4)为圆心,

4为半径的圆，则下列结论正确的是()

A.F=4

B.圆关于直线y=—2x对称

C.圆与〉轴相切

D.-2)2+(y-1)2的最大值为9

ABD[由题意，以(2,—4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(》一2)2+。+4)2

=16,

化成圆的一般式为f+f—4x+8y+4=0,A正确；

因为圆心(2,—4)在直线y=-2x上，所以圆关于直线y=-2x对称，B正确；

圆心到y轴的距离d=2V4,则圆与y轴相交，C错误；

—2尸+(y—1)2的几何意义为圆上任意一点(x,y)到点(2,1)的距离，

从而J(%—2)2+(y—1)2的最大值为圆心Q,一4)到点(2,1)距离与半径之和，

故J(%—2)2+(y—l)2的最大值为J(2—2>+(—4—1)2

+4=9,D正确.故选ABD.]

10.(2024•山东邺城模拟)已知点幺(1,0),5(—2,0),动点尸满足翳=2,则

下面结论正确的为()

A.点尸的轨迹方程为(》+3)2+俨=4

B.点尸到原点。的距离的最大值为5

C.△P48面积的最大值为4

D.PA•丽的最大值为18

ABD［设动点尸(x,y),

则由1^1?

IP阴J(%+2)2+y2

即(x—1)2+y2=4[(%+2)2+y2],

化简得：x2+/+6x+5=0,即(、+3)2+俨=4,A正确;

因为点尸轨迹是圆心为(一3,0),半径为2的圆，

则点P到原点。的距离最大值为J(—3—0)2+(0—0)2+2=5,B正确；

又Z,8和点尸轨迹的圆心都在x轴上，且|48|=3,

所以当圆的半径垂直于x轴时，△K48面积取得最大值1X3X2=3,C错误；

又P4•PB=(1—x,—y),(—2—%,-j)=(l—x)(—2—x)+v2=x2+j2+x—2,

因为y2=-x2—6x—5(——1),

所以港•丽=—5x—7(—5WxW—l),

则两•而w—5X(—5)—7=18,D正确.

故选ABD.]

三、填空题

11.(2024•云南昆明模拟)已知点Z(—2,0),B(0,2),动点M满足俞•祈豆

=0,则点/到直线y=x+2的距离可以是.(写出一个符合题意的整数

值)

0或1(只写一个即可)[由题设知前，而瓦即〃在以48为直径的圆上，且圆

心为(-1,1),半径为四，

所以M的轨迹为(x+1)2+07—1)2=2,

而(-1,1)到直线y=x+2的距离为公亲=0,即直线过圆心，

所以河到直线y=x+2的距离范围[0,V2],

所以点〃到直线了=x+2的距离的整数值可以是0或1.]

12.已知等腰三角形Z8C,其中顶点Z的坐标为(0,0)