2024九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系达标检测卷新版北师大版

Page1第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．已知cosA＝eq\f(\r(3),2)，则锐角A的度数为()A．30° B．45° C．50° D．60°2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝eq\f(\r(3),2)，BC＝2eq\r(3)，则AC等于()A．3 B．4 C．4eq\r(3) D．63．在锐角三角形ABC中，若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－cosB))＝0，则∠C等于()A．60° B．45° C．75° D．105°4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(3,4) C.eq\f(\r(10),5) D．15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值为()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)

6．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，依据实际状况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能依据所测数据，求出A，B两点之间距离的有()A．1组B．2组C．3组D．4组7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)

8．如图所示，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，假如此时热气球的高度CD为100m，点A，D，B在同始终线上，则A，B两点之间的距离是()A．200mB．200eq\r(3)mC．220eq\r(3)mD．100(eq\r(3)＋1)m9．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A．S1＝eq\f(1,2)S2B．S1＝eq\f(7,2)S2C．S1＝eq\f(8,5)S2D．S1＝S210．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A.eq\f(\r(3)＋3,18)B.eq\f(\r(3)＋1,18)C.eq\f(\r(3)＋3,6)D.eq\f(\r(3)＋1,6)二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：cos245°＋tan30°·sin60°＝________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为eq\f(50,3)eq\r(3)，则∠A＝________度．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.14．已知锐角A的正弦sinA是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sinA＝________．15．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.16．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3m，cos∠BAC＝eq\f(3,4)，则墙高BC＝________.17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，假如将线段BD围着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.18．如图，甲、乙两渔船同时从港口O动身外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以10nmile/h的速度航行，甲沿南偏西75°方向以10eq\r(2)nmile/h的速度航行，当航行1h后，甲在A处发觉自己的渔具掉在了乙船上，于是快速变更航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追逐乙船，正好在B处追上．则甲船追逐乙船的速度为________nmile/h.三、解答题(19题12分，20题10分，21，22题每题14分，23题16分，共66分)19．计算：(1)eq\r(3)sin60°－eq\r(2)cos45°＋eq\r(3,8)；(2)eq\f(1,\r(2)－\r(3))＋4cos60°·sin45°－eq\r(（tan60°－2）2).

20．a，b，c是△ABC的三边，且满意等式b2＝c2－a2，5a－3c＝0，求sinA＋sinB的值．21．如图，已知▱ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形．(2)若AB＝13，DF＝14，tanA＝eq\f(12,5)，求CF的长．

22．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，工作人员正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200m，求该河段的宽度(结果保留根号)．

23．某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB长为22m，坡角∠BAD＝68°.为了防止山体滑坡，保障平安，学校确定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离(精确到0.1m)．(2)为了确保平安，学校安排改造时保持坡的根部A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？(精确到0.1m)(参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.4751，sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918)

答案一、1.A2．A点拨：由tanB＝eq\f(AC,BC)知AC＝BC·tanB＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.3．C点拨：由题意，得sinA－eq\f(\r(3),2)＝0，eq\f(\r(2),2)－cosB＝0.所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(\r(2),2).所以∠A＝60°，∠B＝45°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.4．B5.C6．C点拨：对于①，可由AB＝BC·tan∠ACB求出AB的长；对于②，由BC＝eq\f(AB,tan∠ACB)，BD＝eq\f(AB,tan∠ADB)，BD－BC＝CD，可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则eq\f(DE,EF)＝eq\f(BD,AB)，可求出AB的长；对于④，无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.7．D8．D点拨：由题意可知，∠A＝30°，∠B＝45°，tanA＝eq\f(CD,AD)，tanB＝eq\f(CD,DB)，又CD＝100m，因此AB＝AD＋DB＝eq\f(CD,tanA)＋eq\f(CD,tanB)＝eq\f(100,tan30°)＋eq\f(100,tan45°)＝100eq\r(3)＋100＝100(eq\r(3)＋1)(m)．9．D点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥EF，交FE的延长线于点N.在Rt△ABM中，∵sinB＝eq\f(AM,AB)，∴AM＝3×sin50°，∴S1＝eq\f(1,2)BC·AM＝eq\f(1,2)×7×3×sin50°＝eq\f(21,2)sin50°.在Rt△DEN中，∠DEN＝180°－130°＝50°.∵sin∠DEN＝eq\f(DN,DE)，∴DN＝7×sin50°，∴S2＝eq\f(1,2)EF·DN＝eq\f(1,2)×3×7×sin50°＝eq\f(21,2)sin50°，∴S1＝S2.故选D.10．D点拨：连接A3C3，依题意知：D1E1＝eq\f(1,2)，B2C2＝eq\f(\r(3),3)，B3E4＝eq\f(\r(3),6)，B3C3＝eq\f(1,3)，A3C3＝eq\f(\r(2),3)，sin∠A3C3x＝sin(30°＋45°)＝sin75°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，∴A3到x轴的距离是eq\f(\r(3)＋1,6).二、11.1点拨：cos245°＋tan30°·sin60°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝1.12．60点拨：∵BC＝10，∴S△ABC＝eq\f(BC·AC,2)＝eq\f(10·AC,2)＝eq\f(50\r(3),3)，则AC＝eq\f(10\r(3),3)，∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(10,\f(10\r(3),3))＝eq\r(3)，∴∠A＝60°.13.eq\f(4,3)14.eq\f(1,2)15.eq\f(1,3)点拨：如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，则B′D＝x，BC＝2x，BD＝3x.∴tan∠A′BC′＝eq\f(A′D,BD)＝eq\f(x,3x)＝eq\f(1,3).16.eq\r(7)m点拨：由cos∠BAC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,4)，知eq\f(3,AB)＝eq\f(3,4)，∴AB＝4m.在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)(m)．17.eq\r(2)点拨：由题意知BD′＝BD＝2eq\r(2).在Rt△ABD′中，tan∠BAD′＝eq\f(BD′,AB)＝eq\f(2\r(2),2)＝eq\r(2).18．(10＋10eq\r(3))点拨：如图，由题意可知，∠DOB＝30°，∠AOD＝75°，∠2＝90°－60°＝30°.∵∠3＝∠AOD＝75°，∴∠1＝90°－75°＝15°，故∠1＋∠2＝15°＋30°＝45°.过点O作OC⊥AB于点C，则∠AOC＝90°－∠1－∠2＝90°－45°＝45°.易知OA＝10eq\r(2)nmile，∠OAB＝∠AOC＝45°，∴OC＝AC＝OA·sin45°＝10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝10(nmile)．在Rt△OBC中，∠BOC＝∠AOD＋∠BOD－∠AOC＝75°＋30°－45°＝60°，∴BC＝OC·tan60°＝10eq\r(3)nmile，∴AB＝AC＋BC＝(10＋10eq\r(3))nmile.∵OC＝10nmile，∠B＝30°，∴OB＝2OC＝2×10＝20(nmile)，乙船从O到B所用时间为20÷10＝2(h)．∵甲船从O到A所用时间为1h，∴甲船从A到B所用时间为2－1＝1(h)，故甲船追逐乙船的速度为(10＋10eq\r(3))nmile/h.三、19.解：(1)原式＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)－eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＋2＝eq\f(3,2)－1＋2＝eq\f(5,2).(2)原式＝－(eq\r(2)＋eq\r(3))＋4×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)－eq\r(（\r(3)－2）2)＝－eq\r(2)－eq\r(3)＋eq\r(2)－(2－eq\r(3))＝－2.20．解：由b2＝c2－a2，得a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°.∵5a－3c＝0，∴eq\f(a,c)＝eq\f(3,5)，即sinA＝eq\f(3,5).设a＝3k，则c＝5k，∴b＝eq\r(（5k）2－（3k）2)＝4k.∴sinB＝eq\f(b,c)＝eq\f(4,5)，∴sinA＋sinB＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(7,5).21．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BC.∴∠ADE＝∠DEC.又∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE.∴DE∥FC.∴四边形DECF是平行四边形．(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13.又∵tanA＝eq