2025年湖北省孝感市七校教学联盟高三第一次高考模拟统一考试（数学试题理）试题含解析

2025年湖北省孝感市七校教学联盟高三第一次高考模拟统一考试（数学试题理）试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数（）的图象的大致形状是（）A． B． C． D．2．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（）A． B． C． D．3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：实施项目种植业养殖业工厂就业服务业参加用户比脱贫率那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍4．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（）A． B．C． D．5．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知向量，，当时，（）A． B． C． D．7．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（）A． B． C． D．8．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件9．函数的大致图象为（）A． B．C． D．10．已知函数的图象如图所示，则可以为（）A． B． C． D．11．已知集合，，则集合子集的个数为（）A． B． C． D．12．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中，含项的系数为______.14．展开式中的系数为_________.15．某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是________（填序号）．①；②这名学生中数学成绩在分以下的人数为；③这名学生数学成绩的中位数约为；④这名学生数学成绩的平均数为．16．在中，角，，的对边长分别为，，，满足，，则的面积为__．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆：和抛物线：，为坐标原点．（1）已知直线和圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程；（2）过抛物线上一点作两直线和圆相切，且分别交抛物线于两点，若直线的斜率为，求点的坐标．18．（12分）已知函数（为常数）（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若为增函数，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.（1）求a；（2）讨论函数和的单调性；（3）设，求证：.20．（12分）在如图所示的多面体中，四边形是矩形，梯形为直角梯形，平面平面，且，，.（1）求证：平面.（2）求二面角的大小.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点、分别为，的中点，且平面平面.（1）求证：平面.（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）在△ABC中，分别为三个内角A、B、C的对边，且(1)求角A；(2)若且求△ABC的面积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】故选C．识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．2．A【解析】

根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.【详解】如图所示：设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.故选：A.本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.3．B【解析】

设贫困户总数为，利用表中数据可得脱贫率，进而可求解.【详解】设贫困户总数为，脱贫率，所以.故年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍.故选：B本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.4．D【解析】

当时，函数周期为，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数和有图像两个交点，计算，，根据图像得到答案.【详解】当时，，故函数周期为，画出函数图像，如图所示：方程，即，即函数和有两个交点.，，故，，，，.根据图像知：.故选：.本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.5．C【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．【详解】①当时，，满足题意，②当时，，，，，故不恒成立，③当时，设，，令，得，，得，下面考查方程的解的个数，设（a），则（a）由导数的应用可得：（a）在为减函数，在，为增函数，则（a），即有一解，又，均为增函数，所以存在1个使得成立，综合①②③得：满足条件的的个数是2个，故选：．本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.6．A【解析】

根据向量的坐标运算，求出，，即可求解.【详解】，.故选:A.本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.7．D【解析】

利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】将将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数又由函数为偶函数，所以，解得，因为，当时，，故选D．本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．C【解析】

根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．【详解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选C．本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．9．A【解析】

利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确.【详解】，排除掉C，D；，，，.故选：A．本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.10．A【解析】

根据图象可知，函数为奇函数，以及函数在上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；其次，在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断,在上无零点,不符合题意，排除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断,在上单调递减,不符合题意，排除C.故选：A．本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．11．B【解析】

首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得.【详解】解：，，，子集的个数为.故选：.考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．12．D【解析】

根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值.【详解】由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以.故选：D本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2【解析】

变换得到，展开式的通项为，计算得到答案.【详解】，的展开式的通项为：.含项的系数为：.故答案为：.本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.14．【解析】

变换，根据二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，，取和，计算得到系数为：.故答案为：.本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.15．②③【解析】

由频率分布直方图可知，解得，故①不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故②正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故③正确；④这名学生数学成绩的平均数为，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③．16．．【解析】

由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求，进而可求，然后结合余弦定理可求，代入，计算可得所求．【详解】解：把看成关于的二次方程，则，即，即为，化为，而，则，由于，可得，可得，即，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解得：（负的舍去），．故答案为．本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）;（2）或．【解析】试题分析:直线与圆相切只需圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与曲线相交于两点，且满足，只需数量积为0，要联立方程组设而不求，利用坐标关系及根与系数关系解题，这是解析几何常用解题方法，第二步利用直线的斜率找出坐标满足的要求，再利用两直线与圆相切，求出点的坐标.试题解析：（1）解：设，，，由和圆相切，得．∴．由消去，并整理得，∴，．由，得，即．∴．∴，∴，∴．∴．∴或（舍）．当时，，故直线的方程为．（2）设，，，则．∴．设，由直线和圆相切，得，即．设，同理可得：．故是方程的两根，故．由得，故．同理，则，即．∴，解或．当时，；当时，．故或．18．（Ⅰ）单调递增区间为，；单调递减区间为；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）对函数进行求导，由题意知,为增函数等价于在区间恒成立，利用分离参数法和基本不等式求最值即可求出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）由题意知，函数的定义域为，当时，，令，得，或，所以，随的变化情况如下表：递增递减递增的单调递增区间为，，单调递减区间为.（Ⅱ）由题意得在区间恒成立，即在区间恒成立.，当且仅当，即时等号成立.所以，所以的取值范围是.本题考查利用导数求函数的单调区间、利用分离参数法和基本不等式求最值求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑推理能力；利用导数把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.19．（1）（2）为减函数，为增函数.（3）证明见解析【解析】

（1）求出导函数，求出切线方程，令得切线的纵截距，可得（必须利用函数的单调性求解）；（2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性；（3）不等式变形为，由递减，得()，即，即，依次放缩，．不等式，递增得()，,,,先证，然后同样放缩得出结论．【详解】解：（1）对求导，得.因此.又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.由题意，.显然，适合上式.令，求导得，因此为增函数：故是唯一解.（2）由（1）可知，，因为，所以为减函数.因为，所以为增函数.（3）证明：由，易得.由（2）可知，在上为减函数.因此，当时，，即.令，得，即.因此，当时，.所以成立.下面证明：.由（2）可知，在上为增函数.因此，当时，，即.因此，即.令，得，即.当时，.因为，所以，所以.所以，当时，.所以，当时，成立.综上所述，当时，成立.本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明，考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第（2）小题函数的单调性得出数列的不等关系：，．这是最关键的一步．然后一步一步放缩即可证明．本题属于困难题．20．（1）见解析；（2）【解析】

（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明，进而由线面垂直的判定定理证明平面.（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形