2025届高三暑假培优讲义-第10讲　圆周运动（学生版）

第10讲圆周运动1.掌握描述圆周运动的物理量及它们之间的关系2.理解向心力公式并能应用，圆周运动的动力学分析3.了解物体做离心运动的条件考点一圆周运动中的运动学分析1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T).2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T).3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．T＝eq\f(2πr,v)，T＝eq\f(1,f).4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．an＝rω2＝eq\f(v2,r)＝ωv＝eq\f(4π2,T2)r.5．相互关系：(1)v＝ωr＝eq\f(2π,T)r＝2πrf. (2)an＝eq\f(v2,r)＝rω2＝ωv＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2f2r.（2024•齐齐哈尔一模）机动车检测站进行车辆尾气检测的原理如下：车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚筒上，可使车轮在原地转动，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员将车轮加速一段时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数，现有如下简化图：车内轮A的半径为rA，车外轮B的半径为rB，滚筒C的半径为rC，车轮与滚筒间不打滑，当车轮以恒定速度运行时，下列说法正确的是（）A．A、B轮的角速度大小之比为rA：rB B．A、B轮边缘的线速度大小之比为rA：rB C．B、C的角速度之比为rB：rC D．B、C轮边缘的向心加速度大小之比为rB：rC（2024•重庆模拟）小明同学站在原地，将圆形雨伞绕竖直伞柄以角速度ω匀速转动，使附在雨伞表面的雨滴均沿雨伞边缘的切线方向水平飞出，最终落至地面成一圆形区域，已知雨伞边缘距地面的高度为h，到伞柄的垂直距离为R。忽略空气阻力，以下关于圆形区域半径的表达式正确的是（）A．R2ℎω2g+1 B．ωR（2024•乌鲁木齐模拟）如图所示，轮O1、O3固定在一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑。在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径比r1：r2：r3＝2：1：1，求：（1）A、B、C三点的线速度大小之比vA：vB：vC。（2）A、B、C三点的角速度之比ωA：ωB：ωC。（3）A、B、C三点的向心加速度大小之比aA：aB：aC。考点二圆周运动中的动力学分析1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力．3．向心力的公式Fn＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝mreq\f(4π2,T2)＝mr4π2f2（2024•新郑市校级三模）如图甲所示，一艘正在进行顺时针急转弯训练的航母，运动轨迹可视作半径为R的水平圆周。航母在圆周运动中，船身发生了向外侧倾斜，且甲板法线与竖直方向夹角为θ，船体后视简图如图乙所示。一质量为m的小物块放在甲板上，与甲板始终保持相对静止，两者之间的动摩擦因数为μ（μ＞tanθ）。假设航母的运动半径R、夹角θ不随航速改变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（）A．航母对小物块的支持力FN＝mgcosθ B．小物块可能只受重力、支持力两个力作用 C．航母的航速越大，则小物块受到的摩擦力越大 D．航母的最大航速v=（2024•西城区校级模拟）如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点。当该自行车在平直的道路上行驶时，下列说法中正确的是（）A．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为kd+mgmRB．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为kd−mgmRC．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为kd+2mgmRD．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为kd+mg（2023•温州三模）在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图。假设泼水过程中杯子做匀速圆周运动，在0.4s内杯子旋转了6π5A．P位置的小水珠速度方向沿a方向 B．P、Q两位置，杯子的向心加速度相同 C．杯子在旋转时的线速度大小约为6πm/s D．杯子在旋转时的向心加速度大小约为9π2m/s2考点三圆周运动的临界问题1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．（多选）（2024•南明区校级一模）如图所示，质量均为m的甲、乙、丙三个小物块（均可看作质点）水平转盘一起以角速度ω绕OO′轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物块乙的上面，所有接触面间的动摩擦因数均为μ。已知甲、乙到转轴的距离为r1，丙到转轴的距离为r2，且r2＞r1。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（）A．甲受到的摩擦力一定为μmg B．乙受到转盘的摩擦力一定为2mω2r1 C．若角速度增大，丙先达到滑动的临界点 D．若角速度增大，甲先达到滑动的临界点（2023•山东模拟）如图所示，水平机械臂BC固定在竖直转轴CD上，B处固定一与BC垂直的光滑水平转轴，轻杆AB套在转轴上。轻杆可在竖直面内转动，其下端固定质量为m的小球，轻杆和机械臂的长度均为L，开始小球静止，缓慢增大竖直轴转动的角速度，直至杆与竖直方向的夹角为37°，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g，则（）A．此时小球的角速度大小为5g4LB．此时小球的线速度大小为3gL2C．此过程中杆对小球做的功为45D．此过程中杆对小球做的功为3（多选）（2023•河南模拟）一个可以转动的玩具装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球及一小环通过铰链连接，轻杆长均为L，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上。套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L。装置静止时，弹簧长为32A．弹簧的劲度系数k=4mgB．弹簧的劲度系数为k=2mgC．装置转动的角速度为8g5L时，AB杆中弹力为零D．装置转动的角速度为6g5L考点四竖直平面内圆周运动绳、杆模型1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．2．绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg＝meq\f(v2,r)得v临＝eq\r(gr)由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥eq\r(gr)，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，绳、圆轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点时，v<eq\r(gr)，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<eq\r(gr)时，－FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝eq\r(gr)时，FN＝0(4)当v>eq\r(gr)时，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大（2024•石景山区一模）如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点、C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正确的是（）A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下 B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向 C．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力不做功 D．从A点到C点的过程，小球重力的功率先增大后减小（多选）（2024•绵阳模拟）如图甲所示，质量为0.2kg的小球套在竖直固定的光滑圆环上，并在圆环最高点保持静止。受到轻微扰动后，小球由静止开始沿着圆环运动，一段时间后，小球与圆心的连线转过θ角度时，小球的速度大小为v，v2与cosθ的关系如乙图所示，g取10m/s2。则（）A．圆环半径为0.6m B．θ=π2C．0≤θ≤π过程中，圆环对小球的作用力一直增大 D．0≤θ≤π过程中，圆环对小球的作用力先减小后增大（2024•雨花区校级模拟）如图所示，半径R＝1m的光滑圆环形滑杆MNP竖直固定放置，左侧端点M和圆心O1的连线与竖直方向夹角的余弦值cosθ＝0.15，右侧端点P和圆心O1、O2在同一水平线上，P点的切线沿竖直方向。现有一质量m1＝0.2kg的小橡胶环A以v0＝1.2m/s的初速度水平抛出，恰好沿滑杆左侧端点M的切线套入滑杆，在滑杆的最高点静止着质量m2＝0.2kg的小橡胶环B。在右侧端点P的正下方h＝4.15m处，有一质量m3＝0.1kg、长度L＝3m的长直木杆C竖直静止在水平面上，但跟水平面并不黏合。已知小橡胶环B与长直木杆C之间的滑动摩擦力大小f＝2N，最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，小橡胶环A、B均可视为质点，两小橡胶环之间和小橡胶环与水平面间的碰撞都是弹性碰撞；小橡胶环B套入长直木杆C后，长直木杆C不倾倒，且每次与水平面碰撞瞬间都会立即停下而不反弹、不倾倒。不计空气阻力，取g＝10m/s2。（1）小橡胶环A到达滑杆最低点Q时所受弹力大小；（2）小橡胶环B在长直木杆C上上滑的最大距离；（3）长直木杆C跟水平面第一次碰撞瞬间损失的机械能；（4）小橡胶环B在长直木杆C上运动的总路程。题型1圆周运动基本物理量的关系（2023•漳州模拟）如图为明代出版的《天工开物》中记录的“牛转翻车”，该设备利用畜力转动不同半径齿轮来改变水车的转速，从而将水运送到高处。图中a、b分别为两个齿轮边缘上的点，齿轮半径之比为ra：rb＝4：3；a、c在同一齿轮上且a、c到转轴的距离之比为ra：rc＝2：1，则在齿轮转动过程中（）A．a、b的角速度相等 B．b的线速度比c的线速度小 C．b、c的周期之比为3：4 D．a、b的向心加速度大小之比为4：3（2023•绵阳模拟）如图，带车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为2.3s，自动识别系统的反应时间为0.3s；汽车可看成高1.6m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为（）A．π6rad/s B．3π8rad/s C．π8rad/s题型2三种传动方式及特点（2023•台州二模）某款机械表中有两个相互咬合的齿轮A、B，如图所示，齿轮A、B的齿数之比为1：2，齿轮匀速转动时，则A、B齿轮的（）A．周期之比T1：T2＝2：1 B．角速度之比为ω1：ω2＝2：1 C．边缘各点的线速度大小之比v1：v2＝1：2 D．转速之比为n1：n2＝1：2（2023•崇明区二模）如图为车库出入口采用的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平，则在抬起过程中P和Q两点（）A．线速度相同，角速度相同 B．线速度相同，角速度不同 C．线速度不同，角速度相同 D．线速度不同，角速度不同（多选）（2024•鹿城区校级模拟）如图甲所示，光电编码器由码盘和光电检测装置组成，电动机转动时，码盘与电动机旋转轴同速旋转，发光二极管发出的光经凸透镜转化为平行光，若通过码盘镂空的明道照在光敏管上，信号端输出高电位，反之输出低电位，两个光敏管分布在同一半径上。根据输出两路信号可以测量电动机的转速和判断旋转方向。从左往右看，内、外都均匀分布20个明道的码盘如图乙所示，电动机转动时两信号的图像如图丙所示，则（）A．从左往右看，电动机顺时针转动 B．从左往右看，电动机逆时针转动 C．电动机转动的转速为50r/s D．电动机转动的转速为125r/s题型3锥摆模型（多选）（2024•东莞市一模）如图（a）为游乐场中的“空中飞椅”项目。“空中飞椅”结构示意图如图（b），转动轴带动顶部圆盘转动，悬绳一端系在圆盘边缘，另一端系着椅子。若所有椅子质量相等，悬绳长短不一定相等，忽略悬绳质量与空气阻力，则坐在椅子上的游客与椅子整体随圆盘匀速转动的过程中（）A．任一时刻，所有游客的线速度都相同 B．所有游客做圆周运动的周期都相同 C．悬绳越长，悬绳与竖直方向的夹角就越大 D．悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关（2023•龙华区校级四模）如图所示，小球甲在竖直面内摆动的周期为T0，悬线长为L；小球乙在水平面内做匀速圆周运动，悬点为O1、轨迹圆圆心为O2，甲、乙两小球都能视为质点。下列说法正确的是（）A．小球甲的向心力由合力来充当 B．小球乙的向心力由拉力来充当 C．若小球乙运动的周期为T0，则与小球乙连接的悬线长度为L D．若O1、O2两点间的距离为L，则小球乙运动的周期为T0（2023•江苏一模）如图所示，一轻支架由水平段ON和竖直段OO'组成。轻弹簧一端固定于O点，另一端与套在水平杆ON上的A球相连，一根长为L＝10cm的轻绳连接A、B两球。A球质量mA＝1kg，B球质量mB＝4kg，A球与水平杆的动摩擦因数μ＝0.36，弹簧原长l＝20cm，劲度系数k＝450N/m。初始时使A球尽量压缩弹簧并恰好处于静止状态。现使系统绕OO'轴缓慢转动起来，转动过程中保持A、B两球始终与OO'在同一竖直平面内。当系统以某角速度稳定转动时，细绳与竖直方向成37°角，此时弹簧的弹力大小恰好与初始时相同。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2，求：（1）初始时弹簧的长度；（2）细绳与竖直方向成37°角时，系统转动的角速度；（3）整个过程中驱动力对系统所做的总功。题型4转弯模型（2023•昆明一模）图甲是市区中心的环岛路，A、B两车正在绕环岛做速度大小相等的匀速圆周运动，如图乙所示。下列说法正确的是（）A．A、B两车的向心加速度大小相等 B．A车的角速度比B车的角速度大 C．A、B两车所受的合力大小一定相等 D．A车所受的合力大小一定比B车的大（2024•济南模拟）如图所示，MN为半径为r的14圆弧路线，NP为长度13.5r的直线路线，MN'为半径为4r的14圆弧路线，N'P'为长度10.5r的直线路线。赛车从M点以最大安全速度通过圆弧路段后立即以最大加速度沿直线加速至最大速度vm并保持vm匀速行驶。已知赛车匀速转弯时径向最大静摩擦力和加速时的最大合外力均为车重的n倍，最大速度vm＝5A．(π2−13C．(π−23（2024•成都模拟）图甲是正在水平面内工作的送餐机器人，该机器人沿图乙中ABCD曲线给16号桌送餐，已知弧长和半径均为4m的圆弧BC与直线路径AB、CD相切，AB段长度也为4m，CD段长度为12m，机器人从A点由静止匀加速出发，到B点时速率恰好为1m/s，接着以1m/s的速率匀速通过BC，通过C点后以1m/s的速率匀速运动到某位置后开始做匀减速直线运动，最终停在16号桌旁的D点。已知餐盘与托盘间的动摩擦因数μ＝0.1，关于该运动的说法正确的是（）A．B到C过程中机器人的向心加速度a＝0.2m/s2 B．餐盘和水平托盘不发生相对滑动的情况下，机器人从C点到D点的最短时间t＝12.5s C．A到B过程中餐盘和水平托盘会发生相对滑动 D．若重新设置机器人，使其在BC段以3m/s匀速率通过，餐盘与水平托盘间不会发生相对滑动题型5圆盘模型（多选）（2023•上饶模拟）如图所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根细铁钉，将可视为质点的小球C用长为L0的轻绳拴在铁钉B上，轻绳能承受足够大的拉力，t＝0时刻，A、B、C在同一直线上，给小球C一个垂直于轻绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动，每次轻绳碰到铁钉时小球的速度大小不变。在第5s末时轻绳第一次碰到铁钉A，轻绳的拉力由4N突变为5N，小球碰到铁钉时立即停止运动，下列说法正确的是（）A．A、B间的距离为25B．A、B间的距离为15C．在t＝13s时轻绳第二次碰到铁钉 D．在t＝9s时轻绳第二次碰到铁钉（多选）（2023•郴州模拟）如图所示。在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r，RB＝3r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速从零开始逐渐加快到两物体刚好要发生但还未发生滑动时，下列说法正确的是（）A．绳子的最大张力为FT＝2μmg B．