高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理

1基础却织妥打牢强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

1.正弦定理

分类内容

定理sin「sin歹sin广2班是△胸外接圆的半径）

①w=27fein/,b-27fcinB、c-2AsinC，

变形

②sinA:sinB.，sinC-a'-bcy

公式abc

③sin=—sin夕二砺sinC=—

解决的①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，

问题②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角

2.余弦定理

分类内容

在△Z8C中，有才=4+3-2bcco»_A；

定理

廿-#—ZaccosB；c-3+4-2abcos_C

t)+c-aac-1J

cosA-门i\cosB-八；

变形2.beLac

公式a+IJ-c

cos.C-cZa7b

解决的①已知三边，求各角；

问题②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

3.三角形中常用的面积公式

⑴s二1•劭（力表示边女上的高）；

..111

（2）S=~bcsix\A=~acsixiB=~absin.C；

（3）S=（r（a+6+c）（r为三角形的内切圆半径）.

［小题能否全取］

1.（•广东高考）在中，若4/=60°,48=45°,BC=3p则/C=()

A.4-73

由正弦定理得：系=系

解析：选B

2.在△加「中，a=，5,b=1,c=2,则/等于()

A.30°B.45°

C.60°D,75°

一—„!j+c-a1+4-31

解析：选C'.'cos'二一——=2X1X2=》

Xv00〈/<180°,.•.4=60°.

3.（教材习题改编）在△/欧中，若a=18,6=24,4=45°,则此三角形有（）

A.无解B.两.解

C.一解D.解的个数不确定

ab

解析：选B

sinAsinB

b24。

/.sin6二-sin=777sin45

a18

sinB=3.

又〈4J.8有两个.

4.（•陕西高考）在△板'中，角4B,。所对边的长分别为a,b,c.若a=2,B=/c=2事,则6

解析：由余弦定理得=a：+c2-2accosB=4+12-2X2X2-^3X^^=4,所以6=2.

答案：2

5.中，5=120°,AC=7,AB=5,则△/回的面积为.

解析：设欧=x,由余弦定理得49=25+f-10xcos120°,

整理得3+5x-24=0,即x=3.

11y[315J3

因此SxABC二~ABXBCXsinB=~X3X^X^-=—.

~15m

答案：一f-

(1)在三角形中，大角对大边，大边对大.角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即

在△/a1中，给50力仪in给sinB.

⑵在△/回中，已知a、6和4时，解的情况如下：

A为钝角

月为锐角

或直角

Ccc

ZL—

图形、/\

AB4、、、—“A/B

a-6sin

关系式bsinA<a<ba^ba>b

A

解的个

一解两解一解一解

数

视I福频考点要通卡八―抓考点I学技法I得拔高分I掌握程度

利用正弦、余弦定理解三角形

典题导入

［例1］(•浙江高考)在△/回中，内角4B、C的对边分别为a,b,c,且加in/=/zcosB

(1)求角6的大小；

(2)若6=3,sinC-2sinA,求a,c的值.

［自主解答］⑴由6sin/=/acos夕及正弦定理

「二二b得sin^=A/3COSB,

sinZsin6eY'

所以tan8=G所以

o

(2)由sinC-2sinA及「1仆得c=2a

sinAsinC

由6=3及余弦定理I)-ac-2乃ccosB,

得9=才+•-ac.

所以a=十，c=2y[3.

>>>一题多变

在本例⑵的条件下，试求角A的大小.

jab

角W'■•----------=-----------

用牛''sinAsinB

asinB小，Si41

••.sinA=~^=-g—=?

JI

由题悟法

1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应

注意用哪一个定理更方便、简捷.

2.已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不

唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

以题试法

「△/氏7的三个内角4B,。所对的边分别为a,b,c,asin^sinB+bcos2A^y[2a.

⑴求?

(2)若/=4+十才，求8

解：(1)由正弦定理得，

sin2^sinB+sinBcosA=qsinA,即

sinB(sinA+cos2^)=y[^sinA.

故sinB=镉sinA,所以J二丑

1+^3a

(2)由余弦定理和c=ID+/才，得cosB=

2c.

由⑴知bz=2a,

故d=(2+小)次可得cos5=

又cosB>0,故cos^=2'所以6=45°.

利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

典题导入

［例2］在△/8C中a,b,。分别为内角4B,C的对边，且2asin/=(2力+c)sin8+(2c+0sinC

(1)求A的大小；

⑵若sin6+sinC=l,试判断△/6C的形状.

［自主解答］(1)由已知，根据正弦定理得2J=(26+c)•6+(2c+6)c,即J=万+1+6c.

由余弦定理得冒二片+c-2方ccosA,

1

s--

co20<A180Q,/.J=120°.

3

(2)由⑴得sin，=sir?8+sin2C+sin6sinC=4-

又sinB+sinC-1,

解得sinB-sin。二

v0°<^<60°,0°<6<60°,故方二C

△/8C是等腰的钝角三角形.

由题悟法

依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：

(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而

判断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内

角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用4+6+"这个结论.

［注意］在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.

以题试法

2.(•安徽名校模拟)已知△/a1的三个内角4B,。所对的边分别为a,b,c,向量卬=(4,-1),Z7

,2力、7

coscos2A,且必•〃=].

(1)求角A的大小；

⑵若6+c=2a=2唾,试判断△/a'的形状.

解：(1)-：m=(4,-1),z?=^cos21,cos2/),

2/1+cos

.•.力•n-4cos~一cos22=4•--------(2cosA-1)=-2cosA+2cosZ+3.

7

-

加•“=

X-.->

一2'+

7

颗22/2

X2-

s-

s1

co/-

2*

JI

,「0〈水兀，

(2)在△/回中，a=IJ+c2-2Z?ccosA,_3_a=yf3,

-*•(A/3)2=Z?2+c-2bc•~=Z?2+c2-be.(J)

又,：b+c=2小,

8=24-c,代入①式整理得1-240+3=0,解得c=十，b=小,于是a=Z?=c=45,即

△/回为等边三角形.

2与三角形面积有关的问题

典题导入

［例3］(•新课标全国卷)已知a,b,c分别为△/回三个内角4B,。的对边，acosC+y［3asinC

-b-c=0.

⑴求A;

(2)若a=2,△/回的面积为十，求6,c

［自主解答］(1)由acosC+，§asin。-6-。二0及正弦定理得sinAcosC+y/SsinAsinC-sinB

-sinC-0.

因为B=Ji-A-C,

所以，5sinZsinC-cos/sinC-sinC-0.

由于sin今0,所以5也。-石］='1.

JI

又0</<Jt,故/二7.

(2)的面积S=]6csin/=/,故6c=4.

而a=b'+c-2Z?ccosA,故6'+d=8.

解得b=c=2.

由题悟法

1,正弦定理和余弦定理并不是孤立的.解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用.

1

常

最

•6用

2.在解决三角形问题中，面积公式S=ga6sinC=^bcsw2-a1n

CS因为公式中既有边

也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用.

以题试法

3.(•江西重点中学联考)在△45C中，5cos2J=cos2/1-cosA.

(1)求角A的大小；

⑵若a=3,sin8=2sinC,求SA的.

解：(1)由已知得］(2cos2/-1)=cos2J-cosA,

解得c=班，b=2p

所以SA放='16csin/=/xZ/x/x坐

用।解题Ml练要高吗―抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

4级全员必做题

1•在△/阿中，a、6分别是角/、8所对的边，条件“a〈b”是使"cos冷cosB”成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选C水排力〈庆，cos4>cosB.

2.（泉州模拟）在△/勿中，a,b,c分别是角力,B,C所对的边.若/=刀，6=1,△/回的面积

•0

则a的值为（

A.1B,2

c.乎D.小

11兀\[3-9

解析：选D由已知得/sin^=-XlXcXsiny=^-,解得c=2、则由余弦定理可得才=4+1-

2X2X1Xcos—=3=a-小.

o

3.（•“江南十校”联考）在中，角4B,。所对的边分别为2b,已知石=24，c=2y[2,

tanA2c/、

1+-_

tanBb贝।L

A.30°B.45°

C.45°或135°D.60°

+otnAQz0

解析：选B由1和正弦定理得

tanDo

cos/sinB+sinAcosB-2sinCeosA,

即sinC-2sinCeosA,

1

-贝H

2u=60

2^/3_2^/2

由正弦定理得

sinAsinC

,亚

贝IJsinC=2"

又c〈a,则以60°,故C=45°.

4.（•陕西高考）在中，角4瓦。所对边的长分别为a,b,c,若旨+炉=23,则cos。的

最小值为（）

乎¥

艮

l1

A.±

axD-_

l'O

解析：选C由余弦定理得#+9一/二2己6coscXc--^a+Z?2）,得2aZ?cos。=万（3+层），即cos

*3」

4ab，akT2

.5.（,上海高考）在△46C中，若sin?/+sir?乐sit?"则的形状是（）

A.锐角三角形B,直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

解析：选c由正弦定理得一+次所以cosC=-r--<0,所以C是钝角，故是钝角三

乙a。

角形.

6.在△上中,角力、B、C所对的边分别是a、b、c.若6=22sin及则角力的大小为.

解析：由正弦定理得sin8=2sin/sinB,vsinB#0,

.'.sinJ=1,.".J=30°或4=150°.

答案：30°或150°

7.在△板中，若a=3,bf,4=2，则。的大小为.

O

,../sinY

Z?sinAo1兀5兀

解析：由正弦定理可知sinB=------=---------=~,所以6=不"或7-（舍去），所以C=n-A-B

aO1600

JIJIJI

二JI--------..........=-------

362,

JI

答案：y

8.（•北京西城期末）在△板中，三个内角4B,C的对边分别为a,b,c.若6=2噂，6=5，sin

C=坐,贝Uc=；a=.

解析：根据正弦定理得;^=£三、贝IJc="注=2$,再由余弦定理得B=a+c-2accosB,

S.L11DSJL11（_/S_LIID

即#-4a-12=0,（a+2）（a-6）=0,解得a=6或-2（舍去）.

答案：2班6

1

贝

6+c-7cos夕--n6-

9.（•北京高考）在△/回中，若a=2,-,-4J-

解析：根据余弦定理代入4=4+（7-6）2-2X2X（7-.6）x[-；）解得6=4.

答案：4

10.的内角4B,C的对边分别为a,b,c,asinA+csinC-yf^asinC-AsinB.

⑴求6；

(2)若A=75°,6=2,求a,c.

解：（1）由正弦定理得a+c-y[2ac=6.

由余弦定理得廿-ac-2accosB.

故cosB二号,因此夕二45。.

(2)sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°

4

,sinA乖+#

故女二bX-..----------

sinB

sinCsin60°

乖.

11.（•北京朝阳统考）在锐角三角形/况■中，a,b,。分别为内角4B,。所对的边，且满足筋且-

26sinA=0.

（1）求角8的大小；

⑵若a+c=5,且a>c,6二巾，求4月・AC?的值.

解：⑴因为（a-26sinA=0,

所以sin力-2sin咫inA=0,

因为sinZWO,所以sinB=%.

ji

又方为锐角，所以6=彳.

J

__JII—

⑵由⑴可知，8=刀.因为6=y]7.

o

JI

根据余弦定理，得7-aQ+cQ-2accos—,

整理,得理+c)2-3ac=7.

由已知a+c=5,得HC=6.

又於G故a=3,c=2.

ID+c-a7+4-9J7

于是cos/=2bc=^T=14,

所以Aq•AC=|AB|-ACcosA=cbcosA

=2义77*t=1.

12.（•山东高考）在△/6C中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin6(tanA+tan6)

tanAanC.

（1）求证：落b、c成等比数列；

⑵若a=l,c=2,求△/比的面积S

解：⑴证明：在中，由于sin8（tan4+tan。=

tanJtanC,

sinAsin。sinAsinC

所以sin

cosAcosC)cosAcosC

因此sin8(sinAcosC+cos/sin6)=sinZsinC、

所以sin咫in(Z+0)-sin/sinC.

又Z+5+C=Ji

所以sin(/+0=sinB,

因此sir?8二sin/sinC.

由正弦定理得炉二四,

即况b,。成等比数列.

(2)因为a-1,c=2,所以6=镜，

a2+c2-1}12+22-23

由余弦定理得COSB=-2ac-=2X1X2=4)

因为0<B<兀，所以sinB=yjl-cos2^=

故△48。的面积5-pcsin^^-XlX2X^-=-Y，

B级重点选做题

1.（-湖北高考）设的内角4B,。所对的边分别为a,b,c若三边的长为连续的三个正整数,

且A>B>C,3b=20acosA,则sinA'sinB：sin。为()

A.4：3：2B.5：6：7

C.5：4：3D.6：5：4

解析：选D由题意可得a>b>c,且为连续正整数，设。二亿6二〃+1,3二刀+2(〃>1,且力GN*),贝IJ

〃+l2+772-77+22

由余弦定理可得3(〃+1)=205+2)-------2n刀+1---化---简---得-----13/7-60=0,“EN*,解得

77=4,由正弦定理可得sinA:sinB:sin。=a：6：c=6：5：4.

A+B7

2.（•长春调研）在△/欧中，角4B,。的对边分别为a,b,c,已知4sin92-^--cos2c二0且a

+b=5,c=®则△/8C的面积为

A+B7

解析：因为4si?nw—-cos2C=~,

7

所以2[1—cos(/+面]一2cos七+1=-,

c2「72n1

2+2cos。-2cosc+1=5，cosC-cosC+~=0,

_11al)-l

解得cos5.根据余弦定理有cosC=~=———,

ab-a2+ZJ2-7,Zab-a+Z?2+2ab-7=(a+Z?)2-7=25-7=18,ab-6,所以△/回的面积二/己左]]!

16呼答

茎案.3小

口木•2

3.在△板中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足(26-c)cos/-acosC=0.

(1)求角A的大小；

⑵若a=/,S”平,试判断△/肉的形状，并说明理由.

解：(1)法一：由(26-c)cosA-acos。=0及正弦定理，得

(2sinB-sin0)cosA-sinAcosC-0,

2sinBcos4-sin(/+0=0,

sin8(2cosA-1)=0.

兀,/.sin8W0,

1

cosA=

JI

*/0<J<n,.,.A=—

O

法二：由(2b-c)cosA-acosC-0,

2,222,j22

、b7+c-aa+b-c

及余弦定理，得(26-c)•———-a•———=0,

乙。。LaU

22

整

得

理+A

c-a-,COS

'：0<A<Ji,.,.A=—

/、13#

(2)•「5k板'=26csin/二甫-,

1兀3\[3

即/Asirry二寸

bc=3,(T

a-ID+c-2Z?ccosA,a=y[3,A=—,

o

:.甘+/=6,②

由①②得6=0=娟，

.•.△/6C为等边三角形.

|今师各选题|

1.已知a,b,c分别是△/回的三个内角4B,C所对的边.若a=l,b=pA+C=2B,则sinC

夕1

一

---o或1-

解析：在△/回中，A+C=2B,.-.5=60°.X-.-sinA=-2-30X50

90°,.-.sin（7=1.

答案：1

2.在△板中，a=26cosC,则这个三角形一定是（