2024年山西省晋中市榆次区中考二模数学试题（含答案）

榆次区2024年九年级第二次模拟测试题（卷）

数学

注意事项：

1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置.

3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.有理数的相反数是（）

2

A.——B.-C.-2D.2

22

2.近年来，全球新能源汽车发展如火如荼，我国新能源汽车产业异军突起，2024年1至2月，我国新能源汽

车销量占世界新能源汽车销量的62%.下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形又是中心

对称图形的是（）

C><®

3.下列运算正确的是（）CD

A.4?+/=々5B.（-/）=—a5C.\/5—>/3=>/2D.\/6x>/3=3>/2

4.小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计

量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征.其

示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（）

5.某城市湿地公园的湖中有两个小岛A,B,湖边有一观景台C（如图），其中观景台C在小岛A的南偏东30。

方向，在小岛5的南偏西50。方向，则N4c8的度数是（）

1

A.20°B.50°C.80°D.90°

6.随着科技发展，人工智能已经悄然运用在各行各业.某款国产人工智能软件包含文学创作、数理逻辑推算、

中文理解、多模态生成等多种功能.截至今年3月，该软件的用户已突破2.13亿，数据2.13亿用科学记数法可

以表示为()

A.2.13xl07B.21.3xl07C.21.3x10sD.2.13xl08

2x>4

7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是()

--1<1

12

-J—1~~11」__।__I~•~~«-—«~>1・-*—।~~1»

A.012345B,012345C.012345D,012345V

8.近几年青少年近视的现象越来越多，为保护视力，某公司推出一款亮度可调节的台灯.我们知道，导体中的

电流/,与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式t/=〃?，所以台灯灯光亮度的改变，可以通过

调节总电阻来控制电流的变化实现.如图是该台灯的电流/(A)与电阻R(。)成反比例函数的图象根据图象

R

B.当R=500时，1=2

C.当电阻R(C)越大时，该台灯的电流/(A)也越大

D.当500<R<880时，/的取值范围是0.25</<0.44

9.某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出100件，每件获利30元.为了尽快减少库存，商

场决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这款文创产品的售价每降低1元，那么平均每天可多售出10件.

商场要想平均每天获利3640元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价1元，根据题意

可列方程为()

A.(30+力(100-10x)=3640B.(30+x)(100+10x)=3640

2

C.(30-x)(100+10x)=3640D.(30-A:)(100-10x)=3640

10.如图.正六功形ABCQE"的功长为2,以点B为圆心,以B尸长为半徉作瓠，连接/?凡AD,则图中阴影

部分的面积为（）

B.4>/3—2KC.2\/3—itD.2y/3-2n

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

X2—4-x+4

11.化简二士一的结果是____.

2x-4

12.如图，AA30的顶点A的坐标是（一1,2）,将△A8O先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长

度，则平移之后点4的对应点坐标为.

（第12题图）

13.某校计划对高一新生采用随机摇号的方式分班，一共分为1班，2班，3班，4班四个班，若甲，乙两人是

该校高一新生，则他们被分在班号不同的两个班级的概率为.

14.如图，已知足△A8C的外接圆，AB=5,AC=3.按照如下尺视作图的步骤进行操作：①以点A

为圆心，以AC的长为半径作弧，交边BC于点。；②连接4。：③分别以点C。为圆心，以大于』CO的长

2

为半径作弧，两弧交于点E,连接4E,交于点F；④连接AO,并延长A。交0。于点G,连接8G.若设

y,则y与4的函数关系式为.

3

15.如图，在菱形A8CO中，ZB=60°,AE//CF,且AE=12,EF=CF=\0,若cosE=±,则菱形

5

3

（第15题图）

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本题共2个小题，第1小题4分，第二小题6分，共10分）

（1）计算：卜5|+"—[-；）；（2）解方程：=肩•—1.

17.（本题6分）全面推进乡村振兴是实现中华民族伟大复兴的重大任务，而产业振兴是乡村振兴的重中之重.

我省某村发现该村盐碱地的水质与海水成分十分相近，便因地制宜发展特色水产养殖业，变废为宝，盐碱地上

养出了“致富虾”，2023年养虾产业不仅让该村村集体增收，而且带动农民就业，帮助劳务增收，两项增收合

计180万元.下一步，该村将继续开发建设养殖基地，预估项目建成后每年村集体增收将提高60%,劳务增收

将提高50%,两项增收共提高100万元，请问2023年该村村集体增收和劳务博收分别是多少万元？

18.（本题10分）2024年是五四运动胜利105周年和中国共产主义青年团成立102周年，为坚定团员和青年听

党话、跟党走的理想信念，激励其继承和发扬爱国、进步、民主、科学的五四精神，某校开展了以“青春跟党

走”为主题的知识竞赛活动.当日九（1）班的班主任王老师对本班参加竞赛的同学的竞赛成绩进行了统计，绘

制了如图所示的统计图（均不完整）.

请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：

（1）九（1）班本次参加竞赛的同学共有人；

（2）补全条形统计图；

（3）九（1）班同学本次竞赛成绩的平均分是分；

（4）九（1）班的小红同学因病未参加竞赛，返校后参加了补测，成绩为80分加入她的成绩后，请你对九（1）

班总体成绩的变化情况进行评价.（请从“众数”“中位数”“平均数”“方差”中任选两方面进行具体说明）

19.（本题8分）小贝和小亮住在同一个居民楼里，他俩发现对面商场外墙上新安装了一面大型电子屏，他们

想测量其高度.如图，小贝在居民楼的点A处测得电子屏顶端E的仰角/£钻=20。，小明在此居民楼的点C

处测得电子屏底端厂的仰角NPCO=25。（已知图中各点都在同一竖直平面，且AC,E尸都与水平面垂直）.

他俩调查了解到，AC=9m,居民楼AC与电子屏七尸的水平距离为50m.请你根据以上信息帮助小贝和小亮

求出该电子屏律的高度（结果精确到0.1m.参考数据：sin20°«0.34,cos20°«0.94,tan20°«0.36,

4

sin25°«0.42,cos25°«0.91,tan25°«0.47).

20.（本题9分）如图，抛物线丁=一/一2刀+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点

C.点。为点。关于抛物线对称轴的对称点，作直线。8,点尸为直线。8上方弛物线上的一个动点.

（1）直接写出A,B,C三点的坐标；

（2）连接尸。，尸B.求当△电）8面积最大时，点尸的坐标.

21.（本题9分）阅读与思考

下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读内容并完成相应的任务.

*年*月*日星期六

三角形的重心

如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，那么如何确定这个点的位置呢?

根据相关内容的学习，我知道了这个点是三角形的重心.三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的

重心.三角形的重心有什么性质呢？

【问题探究】如图，已知八48。中，中线AE,BF,CD交于点0,我发现4?=2石O,BO=2FO,

CO=2DO.

A

5

证明：延长AE至点G,使EG=OE,连接8G,CG.

•JAE是△A5C的中线，

BE=CE.

・•・四边形8GC0是平行四边形(依据).

：.CD!/BG.

【结论应用】如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1(每个小正方形的顶点叫做格点)，AABC

的顶点都在格点上.

(1)用无刻度的直尺找到的重心。：

(2)4408的面积为

任务：

(1)上述日记中的“依据”是指；

(2)请将上述日记中的证明过程补充完整(只求证AO=2EO)；

(3)完成“结论应用”中的两个问题.

22.(本题11分)学科实践

设计“抛物线型”花边

花边历史悠久，最早出现于14世纪，工艺种类不胜枚举.某美术社团小组在学习了抛物线的

驱动任务

相关知识后，计划设计“抛物线型”花边.

(1)认识模具，建立模型.

社团小组的同学们首先制作了一个“抛物线型”的模具，该模具的高度为24cm,并将其模具

放置在了平面直角坐标系中(如图1),准备利用该模具设计“抛物线型”花边.

小

|B、

叶

研究步骤

A

HI

(2)提:放模具，制定方案.

同学们，尝试在长为120cm,宽为24cm的矩形纸片上摆放该模具，经过讨论交流形成了以下

两个方:票.

方案一:如图2,将该模具完全放入矩形纸片中，发现恰好能绘制出一幅有5个连续花边组

成的图:慈

6

120cm

24cm

图2

方案二：如图3,将模具的一部分放入矩形纸片中，绘制出上下两排各含有若干个连续花边

的图案，每个花边(即每条抛物线)的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为/?.

120cm

•一＞VyVAV・・

24cm垃

图3

(3)实施方案，展示作品.

请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务；

任务一：求出图1的平面史角坐标系中抛物线模具的函数表达式；

问题解决

任务二：若采用研究步骤中的方案二进行设计，请你通过计算确定当〃=12cm时一排中最

多可摆放的花边个数.

23.(本题12分)综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论.如图1,正方

形ABCD中，AB=4,点E,尸分别是边AB,4。的中点，连接石尸，点G是线段E尸上的一个动点，连接

AG,将线段4G绕点A逆时针方向旋转90。，得到连接HQ,GB.

猜想证明：

(1)针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现GB=HD,请你证明这一结论；

操作探究：

(2)“善思小组”提出问题：如图2,当点G为线段E尸的中点时，连接尸”，试判断四边形AG尸H的形状，

并说明理由；

深入探究：

(3)“创新小组”在认真分析了旋转到不同位置时的情形后，提出问题：若直线BG与直线O”交于点M,当

△A/7D为直角三角形时，请直接写出四边形AGMH的面积.

7

榆次区2024年九年级第二次模拟测试题

数学参考答案

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）

题号12345678910

答案BBDACDCDCB

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.土匚12.（2,1）13,-14.y=—15.8>/5

2''4x

备注：15题解法分析：

方法一：

由菱形A8CO中，NB=60。想到连接4C,求菱形边长转化为求AC长

由cosE=三，M=10想到构建以NE为内角的RtZ\,过点尸作EMJ_AE.

5

求出M£=6,FM=8,AM=6.

求线段想到常用方法相似，AAMNsACFN,求得MV=3.

由勾股定理求得AM利用相似比求得AC.

由菱形ABC。中，NB=60。想到连接A&求菱形边长转化为求AC长

由所=CF=10,想到作平行构造菱形EFCM

3

由85后=当想到过点C作。VJ.EM,求得CMMN,

最后利用勾股定理求得AC.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.）

16.（本题共2个小题，第I小题4分，第二小题6分，共10分）

-5+2-9・・・・•・3分

8

-2……4分

⑵含

2xX

解：原方程可化为5分

(x+l)(l)7+T

方程两边同时乘（x+l）（x—1）得,

2x=x(x-l)-(x+l)(x-l)...7分

解，得x=L……9分

3

检验：当x=g时，=0.

所以原方程的解是x=L……10分

3

17.（本题6分）

解：设2023年该村村集体增收为x万元，劳务增收为y万元.……1分

x+y=180

根据题意，得《3分

60%x+50%y=100

x=100

答：2023年该村村集体增收为100万元,劳务增收为80万元.……6分

18.（本题10分）

（3）80；……6分

（4）答案不唯一，选择两个方面言之有理即可.（每个方面2分）

例如：从平均分看，因为小红同学的成绩为80分，等于现在总体成绩的平均分，所以加入小红的成绩后，九

（1）班总体成绩的平均分不变.

从众数看，因为加入小红成绩之前，九（1）班总体成绩的众数为80分，小红同学的成绩也为80分，所以加

入小红的成绩后，九（1）班总体成绩的众数不变.

从中位数看，因为加入小红成绩之前，九（1）班总体成绩的中位数为80分，加入小红的成绩后，九（1）班

总体成绩的中位数仍为80分，所以加入小红同学的成绩后，九（1）班的总体成绩的中位数不会发生变化.

9

从方差看，因为小红同学的成绩为80分，等于现在总体成绩的平均分，加入小红成绩之后，根据方差公式,

九（1）班总体成绩的方差会变小.

19.（小题8分）

解：如图，延长破，与直线48,CO分别交于点G,H.……1分

由题可得四边形AC"G为矩形，GH=AC=9m,AG=CH=50m.

在Rtac”/中，ZC7/F=90°,ZFC/7=25°,C7/=50m.

，tan乙FCH=—.

CH

・•・FH=CHtan乙FCH工23.5(m),……4分

在Rt^EAG中，ZAGE=90°,NE4G=20。，AG=50m.

.,EG

••tanZ.EAG-.

AG

・•・EG=AG•tanNEAG«18(m).……7分

:.EF=EG+GH—FHx3.5(m).

・••该电子屏EF的高度约为3.5m.……8分

20.（本题9分）

解：（1）4（-3,0）,8（1,0）,C（0,3）：……3分

（2）如图，过点尸作轴，交DB干点F,交x轴于点E.过点。作OQ_LPE于点Q.

•・•点力为点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0,3）,

抛物线对称轴为直线1=一1.

・•・D（-2,3）.……4分

设直线BD的函数表达式为y=kx+b.

将8（1,0）,。（一2,3）分别代入y="+b,

0=k+bk=-l

得V3解'得

b=\.

:.直线BD的函数表达式为y=1.……5分

10

设点尸的坐标为（八一"/一2根+3）,

・••点尸的坐标为（〃?,一加十1）.

,：点P为直线DB上方抛物线上一动点，J一2V”<1.

PF=(一裙-2/n+3)-(-/w+l)=-/n2-/n+2...6分

,*S&PDB=S&PFD+S&PFB=—■PFx(DQ+BE)

，（一疗一加十

2)X(X-X)

21FD

3127

m+—+一.

228

31

—<0,・,•当m=—时，/\PDB的皿积最大.8分

22

（115、

此时点P的坐标为-上,'.……9分

I24）

21.（本题9分）

解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；2分

,AOAD

（2）••------=-------.3TJ

OGDB

「CO是AABC中AB边上的中线，・・・AO=OB.

：.OA=OG.……4分

-：OE=EG,：,OG=2OE.

方法二:

11

・・・ZADO=ZABG,ZAOD=ZAGB：./XADO^/XABG.

.AOAD

・・---=...............3分

AGAB

「CO是八钻。中AB边上的中线，・・.A5=2AD

・•・AG=2AO：.OA=OG.……4分

•：OE=EG,：.OG=2OE.

：.OA=2OE.……5分

2.……9分

22.(本题11分)

解：任务一：

120+5=24,24+2=12,

工顶点A的坐标为(12,-24),5(24,0).……2分

工设抛物线模具的函数表达式为y=a(x-12)2-24,……4分

将8(24,0)代入y=.(工一12『一24,解得〃=L……5分

所以抛物线模具的函数表达式为y=L(x-12)2-24,即y=4d-4x.……6分

66

方法二：

120-5=24,24+2=12,

・,・顶点4的坐标为(12,-24),8(24,0).……2分

・••设抛物线模具的函数表达式为丁=依2+坂，……3分

将4(12,-24),8(24,0)代入丁=62+笈，

6.……5分