人教版七年级数学下册《不等式（第1课时）》示范教学设计

不等式（第1课时）教学目标1．了解不等式的概念，理解不等式的解、不等式的解集和解不等式的含义，会在数轴上表示不等式的解集．2．会用不等式表示简单的不等关系，经历由具体实例建立不等式模型的过程，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型．3．经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程，体会类比和数形结合的思想．教学重点正确理解不等式及其相关概念的含义．教学难点能准确运用不等式表示不等关系，会在数轴上表示不等式的解集．教学过程新课导入观察下图，圆形和三角形的数量之间存在着怎样的关系？【师生活动】学生独立观察、思考后回答：圆形有9个，三角形有7个．圆形的数量大于三角形的数量，即9＞7．教师引出本节课所学内容：数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系，现实世界和日常生活中存在大量涉及相等关系和不等关系的问题．我们常常用等式（包括方程）研究相等关系，那么，研究不等关系需要用什么？【设计意图】用简单的比较数量的题目，引出本节课学习的“不等式及其解集”，激发学生的学习兴趣．新知探究一、探究学习【问题】一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？【思考】汽车在12:00之前驶过A地的意思是什么？【师生活动】学生小组讨论，对实际问题进行分析，完成作答，教师总结．从时间上看，汽车行驶50km（驶过A地）所用时间，必须在11:20～12:00这40min之内，即所用的时间不到h．从路程上看，汽车在11:20～12:00这h之内行驶的路程必须超过50km．【追问】设车速是xkm/h，如何用式子表示上面的两个不等关系？【师生活动】教师提示：时间＝，路程＝时间×速度．学生根据提示思考作答．【答案】解：从时间上看，汽车要在12:00之前驶过A地，则以xkm/h行驶50km所用的时间小于h，即＜．从路程上看，汽车要在12:00之前驶过A地，则以xkm/h行驶h的路程要大于50km，即x＞50．【思考】观察下列式子：9＞7，＜，x＞50．它们有什么共同特点？【师生活动】学生自由发言，教师总结．【新知】用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．【追问】像a＋2≠a－2这样的式子是不等式吗？【新知】用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意：（1）“＜”是小于号，读作“小于”；“＞”是大于号，读作“大于”；“≠”是不等于号，读作“不等于”，表示“大于或小于”．这3个符号统称不等号．（2）不等式中可以不含未知数，如“5＞3”．【设计意图】通过一个具体的行程问题，引导学生从时间和路程两个不同的角度思考问题，学会从实际问题抽象出不等式模型，初步理解不等式的概念．【练习】下列式子中：①－1＞－2；②3x＜－1；③x－3；④s＝vt；⑤3x－4＜2y；⑥a2＋2＞0；⑦a2＋b2≠c．是不等式的有____________．（只填序号）【师生活动】学生独立思考作答，教师给出答案．【解析】③不是等式，也不是不等式；④用等号连接，是等式，不是不等式；①②⑤⑥⑦都是用不等号连接的式子，都是不等式．【答案】①②⑤⑥⑦【归纳】判断一个式子是否为不等式，要把握两点：（1）是否含有不等号；（2）是否表示不等关系．注意，一个式子是否为不等式与不等式是否成立无关．【设计意图】通过练习，加深学生对不等式的概念的理解．【问题】对于不等式x＞50而言，x可以取80吗？78呢？75呢？72呢？【师生活动】教师引导学生先求出x取80时x的值，再与50进行比较．学生独立思考完成作答．【答案】解：当x＝80时，x＝＞50；当x＝78时，x＝52＞50；当x＝75时，x＝50；当x＝72时，x＝48＜50；当x取80，78时，不等式成立；当x取75，72时，不等式不成立．【追问】类比方程的解，你能说出什么叫不等式的解吗？【师生活动】教师给出方程的解的定义：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．学生类比方程的解归纳出不等式的解．【新知】与方程的解类似，使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．例如80，78是不等式x＞50的解，而75，72不是不等式x＞50的解．【设计意图】结合具体例子，类比方程的解给出不等式的解的概念，让学生初步理解不等式的解的概念．【思考】除了80和78，不等式x＞50还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？【师生活动】教师给出表格，学生动手计算完成表格．x…84807875727066……5652504844…教师引导学生观察表格，可以发现，当x＞75时，不等式x＞50总成立；而当x＜75或x＝75时，不等式x＞50不成立．这就是说，任何一个大于75的数都是不等式x＞50的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于75的数都不是不等式x＞50的解．因此，当x＞75是使不等式x＞50成立的x的取值范围．我们称x＞75是不等式x＞50的解集．由上可知，在前面问题中，汽车要在12:00之前驶过A地，车速必须大于75km/h．【新知】一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．注意：（1）当不等式的解集只有一个解时，不等式的解集就是它的解；（2）一个不等式一般有无数个解，但这并不意味着任何一个实数都是它的解．【设计意图】结合具体例子，让学生利用表格比较发现不等式的解满足的条件，得出不等式的解集的概念．使学生认识到不等式的解集的概念是不等式的解的概念的发展，不等式的解集包括了不等式的全体解．【追问】除了用不等式x＞75表示不等式x＞50的解集，还有其他表示方法吗？【师生活动】学生小组讨论得到答案：还能用数轴表示．教师追问：回顾数轴的相关知识，并思考：如何在数轴上表示x＞75？学生自由发言，教师总结：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以在数轴上表示不等式的解集时应牢记“大于向右画，小于向左画”．注意：在表示75的点上画空心圆圈，表示不包含这一点．【设计意图】让学生知道不等式的解集的表示方法主要有两种：一种是用不等式表示，另一种是用数轴表示，体会数形结合的思想．二、典例精讲【例1】用不等式表示：（1）a的一半与3的和大于5；（2）x的3倍与1的差小于2；（3）a的一半与1的差是正数；（4）m与2的差是负数．【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师讲评．【分析】这是一道用不等式表示数量关系的题目，关键是抓住表示不等关系的词语．【答案】解：（1）＋3＞5；（2）3x－1＜2；（3）－1＞0；（4）m－2＜0．【归纳】解决此类问题要把握两点：一是要用式子表示其中的相关量，二是要把其中表示不等关系的关键词找出来，并用不等号表示出不等关系．【设计意图】借助例1，巩固学生对不等式的概念的理解．【例2】在3，0，2，π，－2中，是不等式3x－1＞2的解的有________个．【师生活动】学生独立思考完成，教师讲评．【答案】3【解析】把x＝3代入不等式3x－1＞2的左边，得3x－1＝8＞2，所以不等式成立，故x＝3是不等式3x－1＞2的解．同理可知，x＝2，x＝π也是不等式3x－1＞2的解．把x＝0代入不等式3x－1＞2的左边，得3x－1＝－1＜2，所以不等式不成立，故x＝0不是不等式3x－1＞2的解．同理可知，x＝－2也不是不等式3x－1＞2的解．【归纳】判断一个数是否为不等式的解的基本方法：判断一个数是否为不等式的解，只需用这个数代替不等式中的未知数，看能否使不等式成立．若不等式成立，则该数是不等式的解；若不等式不成立，则该数不是不等式的解．【设计意图】借助例2，巩固学生对不等式的解的理解．【例3】直接写出不等式2x＜6的解集，并在数轴上表示出来．【师生活动】学生独立完成，一名学生代表板演，教师