《概率》全册配套课件

《概率》全册配套课件§1随机事件与随机变量一.随机试验和随机事件试验是对自然现象进行的观察和各种科学实验.随机试验的特点:

随机试验是对随机现象所进行的观察和实验.常见随机试验(1)可在相同条件下重复进行;

(2)可以弄清试验的全部可能结果;(3)试验前不能预言将出现哪一个结果。电话呼叫试验抛硬币其它试验随机事件就是在随机试验中可能发生也可能不发生的事情,简称事件。必然事件：随机试验中肯定发生的事件,记为

。不可能事件：随机试验中肯定不发生的事件，记为

。在概率统计中用大写字母A,B,C

以及A1,A2,

…An,···

等表示事件。基本事件:在一次试验中必发生一个且仅发生一个的最简单事件.注意:基本事件具有相对性。复合事件：由若干基本事件组合而成的事件。基本事件可理解为“不能再分解”的事件。抛硬币测量身高电话呼叫试验纸牌试验二.样本空间基本事件A1单点集{ω1}基本事件A2单点集{ω2}············一一对应 将联系于试验的每一个基本事件，可以用一个包含一个元素ω的单点集来表示。所有基本事件对应元素的全体所组成的集合,称为试验的样本空间（Ω）。摸球试验抛硬币样本空间的元素称为样本点（ω）。

复合事件是样本空间的一个子集。一次试验之后,必定出现基本事件中的一个,假定它对应的样本点是ω,对任意事件A,若ω∈A,称事件A发生,否则称A没有发生。样本空间Ω对应的事件是必然事件,空集Ø对应的事件是不可能事件。摸球试验为了能运用数学的手段研究随机现象,需进一步将所有的元素(即样本点)ω数量化。即例子()vXRn陈hendie@三、随机事件的关系及运算随机事件的关系及运算实际上就是集合的关系及运算。(1)包含关系A

B，即事件A发生，必然导致事件B发生,称事件B包含事件A，或A是B的子事件。从集合的角度：若ω∈Aω∈B 如果两个事件互相包含,称为事件相等。对任意事件A,有

A。(2)和事件事件A与B的和事件记为A∪B从集合的角度:A∪B={ω|ω∈A或ω∈B}。例子从随机事件角度：A∪B是事件{A与B至少有一个发生}参见例子(3)积事件事件A与B的积事件记为A∩B或AB。从集合的角度:A∩B={ω|ω∈A且ω∈B}。从随机事件角度:A∩B是事件{A与B同时发生}。参见例子(4)互不相容事件若AB=

,称A、B为互不相容或互斥事件,即事件A、B不可能同时发生。显然,

与任何事件互不相容。

A1,A2,···,An中任意两个互不相容,称n个事件A1,A2,···,An互不相容（两两互斥）。事件列A1,A2,···互不相容是指其中任意有限个事件互不相容。性质：同一试验的基本事件互不相容。参见例子(5)对立事件（逆事件）若AB=

,且A∪B=

,称A、B互为对立事件（逆事件）,记为B=从随机事件角度:事件{A不发生}。显然,在一次试验中,与A必发生且仅发生一个,非此即彼。从集合的角度:参见例子(6)差事件事件A与B之差A－B从随机事件角度:A－B是事件{事件A发生且B不发生}。参见例子从集合的角度:显然有

甲乙两人向同一目标射击:设A={甲命中目标,乙未命中目标},则其对立事件

(d):{甲未命中或乙命中}A=()(c):{甲未命中}(b):{甲乙均命中}(a):{甲未命中且乙命中}

(7)随机事件（集合）运算律德·摩根律:交换律:A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C）;(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。分配律:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C)吸收律:参见例子例题E1

从10个标有号码1,2,…,10的小球中任取一个,记录所得小球的号码.12310987654?随机试验E2

抛一枚硬币，将会出现正面还是反面？随机试验E5检验出N件产品中的次品。E6测量某团体人员的身高。E4测量某零件长度x和直径y所产生的误差。E3仪器上某种型号的电子元件使用时间已达300小时，检测该元件还能使用多少小时？随机试验

E1:某电话总台一天接到的呼叫次数.A={呼叫次数为偶数}；B={呼叫次数为奇数}；C={呼叫次数大于3}；Ai={呼叫次数为i},i=0,1,2,···

等等;都是随机事件。W={呼叫次数不小于0}是必然事件,f={呼叫次数小于0}是不可能事件。随机事件

E2抛一枚硬币，观察其出现正面H和反面T的情况。 在试验中，若根据硬币出现正面或反面来决定球赛的首发权，把硬币“出现正面H”和“出现反面T”这两个可能结果看成随机事件。故有：A={出现正面}，

B={出现反面}。

由于试验的目的，硬币沿什么方向滚动等结果将不被看成随机试验。随机事件

E3检验出N件产品中的次品。E4测量某团体人员的身高。随机事件有：A={检验到正品}；

B={检验到次品}，等等。 用X表示人的身高，{X=x}表示“人的身高为x

m”则有：{X=x}x>0，{X>0}，{X<1.5}，{X>1.70}等等都是随机事件。随机事件

基本事件}复合事件复合事件E1:某电话总台一天接到的呼叫次数.A={呼叫次数为偶数}；B={呼叫次数为奇数}；C={呼叫次数大于3}；Ai={呼叫次数为i},i=0,1,2,···W={呼叫次数不小于0}是必然事件,f={呼叫次数为1.2}是不可能事件。

基本事件例2抛一枚硬币，观察其出现正面H和反面T的情况。 在试验中，若根据硬币出现正面或反面来决定球赛的首发权，把硬币“出现正面H”和“出现反面T”这两个可能结果看成随机事件。故有：A={出现正面}，

B={出现反面}。}基本事件

基本事件例4测量某团体人员的身高。用X表示人的身高，{X=x}表示“人的身高为xm

”则有：{X=x}x>0，{X>0}，{X<1.5}，{X>1.70}等等都是随机事件。基本事件若测量人的身高是为了判断乘车购票与否，则仅有三个基本事件：A={购全票}，B={购半票}，C={免票}。复合事件

基本事件的相对性例：从52张扑克中任意抽取一张。2）不考虑花色其基本事件集合为：3）考虑花色但不考虑点数其基本事件集合为：基本事件的相对性1）考虑其点数及其花色。基本事件集合为：

E1从10个标有号码1,2,…,10的小球中任取一个,记录所得小球的号码,这就是一个随机试验。A={取得的小球号码为偶数}，B={号码为奇数},C={号码大于3}；Ai

={号码为i},i=1,2,···,10等等;都是随机事件。基本事件：Ai

={号码为i}={ωi}={i},i=1,2,···,10。复合事件：A={号码为偶数}={2,4,6,8,10}B={号码为奇数}={1,3,5,7,9}；C={号码大于3}={4,5,6,7,8,9,10}。

事件的集合表示

Ω={号码不超过10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}此即为样本空间，是一个必然事件。

f={号码等于0}，它不包含任何基本事件，从而不包含任何样本点，是不可能事件。.0}{2,4,6,8,1}{

AW∪==号码为偶数.}{1,3,5,7,9}{

BW∪==号码为奇数事件的集合表示

E2抛一枚硬币，观察其出现正面H和反面T的情况。A={出现正面}，B={出现反面}。基本事件我们可以令A={出现正面}={H}，B={出现反面}={T}。而样本空间Ω={H，T}。

事件的集合表示E5检验N件产品中的次品数。E4测量某零件长度x和直径y所产生的误差。E2抛一枚硬币，观察其出现正面H和反面T的情况。 若用X表示抛一次硬币时出现正面的次数，则X(H)=1，X(T)=0。 若用Y表示检查N件产品中的次品数，我们有Y(k)=k。则生的误差和直径所产分别表示测量零件长度和用,yxee},),{(+∞<<-∞+∞<<-∞=Wyxyxeeee

事件的数字化BA从集合的角度参见示图例从10个标有号码1,2,…,10的小球中任取一个,记录所得小球的号码。A={球的号码为4的倍数}={4，8},B={球号码为偶数}={2，4，6，8，10}。则：

包含关系BA从集合的角度参见示图例从10个标有号码1,2,…,10的小球中任取一个,记录所得小球的号码。A={球的号码是不大于3的奇数}={1，3},B={球的号码是不大于4的偶数}={2，4}C={球的号码不超过4}={1，2，3，4}。则：和事件例对某一目标进行射击，直至命中为止。设：A={击中目标}；B={前k次击中目标}。则

和事件从集合的角度参见示图例从10个标有号码1,2,…,10的小球中任取一个,记录所得小球的号码。A={球的号码是奇数}={1，3，5，7，9},B={球的号码大于5}={6，7，8，9，10}C={球的号码是7或9}={7，9}。则：BA积事件例对某一目标进行射击，直至命中为止。设：D={进行了k次射击}；Ai={第i次射击命中目标}，i=1,2…Bi

={第i次射击未命中目标},i=1,2…则D=B1B2…Bk-1Ak

积事件事件的互斥从集合的角度参见示图AB例从10个标有号码1,2,…,10的小球中任取一个,记录所得小球的号码。A={球的号码是奇数}={1，3，5，7，9},B={球的号码是不大于4的偶数}={2，4}。则：A与B是互不相容的事件。例对某一目标进行射击，直至命中为止。设：Dk

={进行了k次射击}，k=1,2…Ai={第i次射击命中目标}，i=1,2…Bj

={第j次射击未命中目标},j=1,2…则：Dk，k=1,2…是互不相容的事件列。Ai、Bi，i=1,2…是互不相容的事件列。

事件的互斥对立事件从集合的角度参见示图A例从10个标有号码1,2,…,10的小球中任取一个,记录所得小球的号码。A={球的号码是奇数}={1，3，5，7，9},B={球的号码是偶数}={2，4，6，8，10}。则：A与B是对立事件。

从集合的角度参见示图例从10个标有号码1,2,…,10的小球中任取一个,记录所得小球的号码。A={球的号码是奇数}={1，3，5，7，9},B={球的号码不大于4}={1，2，3，4}。则：A-B={5，7，9}。AB差事件例测量某团体人员的身高。 用X表示人的身高，{X=x}表示“人的身高为x米”

事件{X≤1.7}-{X≤1.5}={1.5<X≤1.7}表示事件“人的身高介于1.5与1.7之间”。

差事件例证明(A-AB)∪B=A∪B证明:差事件性质对偶律分配律吸收律吸收律分配律事件的运算

设ABC为三个随机事件,试用A,B,C的运算关系表示下列事件.A发生,B,C都不发生.A,B,C中恰有两个发生.A,B,C中不多于一个发生.A,B,C中至少有一个发生.解:1)

一、概率概率是刻划随机事件发生可能性大小的数量指标。事件A的概率记为P(A)常规定0

P(A)1

P(Ω)=1P(Ø)=0它不依主观变化而变化例如如何计算概率?摸球试验抛骰子试验

§1.2概率二、古典概率赌徒分赌金问题定义:设E是一个随机试验,若它满足以下两个条件： (1)仅有有限多个基本事件； (2)每个基本事件发生的可能性相等。则称E

古典概型的试验。古典概率的起源

掷骰子试验例如：定义：设试验E为古典概型试验，Ai，i=1,2,…,n是基本事件,则由样本空间的样本点总数所含样本点的数目基本事件总数所含基本事件个数AAAP==)(所确定的概率称为事件A的古典概率.鸽笼问题摸彩试验注：在古典概率的计算中常用到排列组合的知识，如乘法原理、加法原理等等。用样本空间求概率古典概率具有如下三个性质： (1)对任意事件A，有0≤P(A)≤1； (2)P(W)=1； (3)若A1，A2，…，An互不相容，则

===miimiiAPAP11)()(U思考：古典概率能否解决所有的随机问题？抛硬币试验仪器寿命试验例如：三、频率定义：在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生了m次，称比值为事件A发生的频率。nmAfn=)(频率从一定程度上反映了事件发生可能性的大小。它随着试验的次数、试验者的不同会有所不同。抛硬币试验频率的应用例如：注：频率不是概率，但在某种意义下，频率稳定于概率。四、概率的公理化定义定义：设E的样本空间为W，对于E的每个事件A，均对应于唯一一个实数，记为P(A)，其对应规则为1.(非负性)对任一事件A,有0≤P(A)≤1; 2.(规范性)P(W)=1; 3.(可列可加性)E的事件列A1,A2,…,互不相容,则

∞=∞==11)()(iiiiAPAPU由公理化定义可以得到如下重要性质:基本性质:1.不可能事件的概率为0,即P(f)=0;2.(有限可加性)若试验E的事件组A1,A2,…,Am互不相容,则有

===miimiiAPAP11)()(U3.对立事件概率和为1,即P(A

)+P(A)=1;成立.则有满足和若事件概率单调性

)()()(

),()(

,

)(

.4APBPABPBPAPBABA-=-≤∩概率加法定理:对试验E的任意两个事件A和B有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)BAAB概率的公理化定义及性质，为概率的计算提供了更完善的理论依据.古典概率是公理化定义的特例.抽检试验例如：补充例题多除少补例1抛一颗均匀的骰子，观察其出现的点数情况。我们通过实践与分析可得：出现的点数为1,2,3,4,5,6的可能性都是相等的。概率的客观性

例2从10个标有号码1,2,…,10的小球中任取一个,记录所得小球的号码。12310987654?我们可得：摸出任一号码的小球的可能性是相同的，这是客观存在的事实。概率的客观性

例3抛一枚硬币，观察其出现正面H和反面T的情况。通过实践与分析可得：硬币出现正面的可能性等于它出现反面的可能性。历史上几位著名科学家的试验结果:实验者抛掷次数出现正面次数m/n德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998频率

例4圆周率p

的计算。刘徽(公元263年，割圆术)p

=3927/1250=3.1416。祖冲之(429~500)3.1415926<p

<3.1415927。威廉.向克斯：用20年时间于1872年将p算到小数后707位。法格逊怀疑向克斯的结果，用了一年的时间，发现向克斯p只有前527位是正确的。法格逊猜想：在p的数值中各数码0,1,…9出现的可能性大小应当相等。1973年，法国学者让·盖尤对p的前100万位小数中各数码的频率统计结果表明，尽管各数字出现也有起伏，但频率都稳定于1/10。频率的应用

有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局(a<s)，而赌徒B赢b局(b<s)时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？在三年後，即1657年，荷兰的另一数学家Higgins

亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论著，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望﹝mathematicalexpectation﹞这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。而且他们给出了该问题的正确解法。古典概率

这是一个古典概型的随机试验。因为该试验的基本事件有6个：{wi}={出现的点数为i}i=1,2,..,6而且基本事件{w1}、{w2},...{w6}发生的可能性相等。古典概率

例1抛一颗均匀的骰子，观察其出现的点数情况。例7一个鸽场养了n只鸽子，每只鸽子都等可能的飞入N个鸽笼中的任意一个去住(n≤N)，求下事件发生的概率。（1）指定的n个鸽笼各有一只鸽子去住；（2）恰好有n个鸽笼，每个各有一只鸽子。分析：在解决这类问题时，当样本点很少时，我们可以把它全部写出来，再来计算所求事件包含的样本点数。当样本点很多时，我们可以利用排列组合的知识求出样本点总数和所求事件包含的样本点数。古典概率解：设A={指定的n个鸽笼各有一只鸽子}

B={恰好有n个鸽笼，每个各有一只鸽子}由乘法原理可知，基本事件总数为Nn。指定的n个鸽笼各有一只鸽子，有n!个不同的住法。故n!)(NnAP=从N个鸽笼中任意选出n个，有种不同的方法，选出的n个鸽笼各有一只鸽子，有n!个不同的住法。故CnN)!(!!)(nNNNNnCBPnnnN-==古典概率

例8袋中有10个小球，4个红的，6个白的，求（1）有放回地从中依次取3球,取得“2红1白”的概率。（2）不放回地从中依次取3球,取得“2红1白”的概率。解:设想10个球依次编为1，2，3，…10。（1）有放回抽样。样本点总数为N=10×10×10=103642××23C数为r

=所求事件包含的样本点

是三次抽取中选出两次取到红球23C288.010643223=××=C)(

=NrAP所以古典概率（2）无放回抽样。解法一：N=10×9×8=P31034××23Cr

=6×r)(

=NAP=0.3r)(

=NAP=0.3×24Cr

=16C解法二：N=C310注意：例子中的基本事件的结构有什么变化。古典概率

例9抛一枚质量分布不均匀的硬币，观察其出现正面H和反面T的情况。这不是一个古典概型的随机试验。因为该试验的基本事件只有两个：{w1}={出现正面H},{w2}={出现反面T}。但基本事件{w1}、{w2}发生的可能性不相等。概率的公理化定义

例10

仪器上某种型号的电子元件使用时间已达30小时，测该元件还能使用多少小时？该试验不是古典概型的随机试验，因为它的样本空间有无数多个样本点。概率的公理化定义

例11设50件产品中有5件是次品，其余的是合格品，从中任取3件，求选到的3件产品中有次品的概率。解法一：设A={选到的3件产品中有次品}，Ai={选到的3件产品中有i件次品}，i=1,2,3。则A1，A2，A3互不相容。并且有A=A1∪A2∪

A3。所以有2761.0≈350353501452535024515++=CCCCCCCC)()()()(321++=APAPAPAP概率的公理化定义有解法二：考虑A的对立事件

A={选到的3件产品全是合格品}7239.0≈)(350345=CCAP从而2761.0=7239.01-≈)(1)(-=APAP概率的公理化定义

利用样本空间求P例:将两颗均匀骰子抛掷一次,求两颗骰子点数之和不为7,11的概率.解:设Ω={(1,1)(1,2)…(6,6)}A={两颗骰子点数之和为7,11}p(A)=8/36=2/9所求概率p=（36-8）/36=7/9能将样本空间定义为:Ω={2,….,12}吗?为什么?

例n个朋友随机地围绕圆桌而坐,求其中甲乙二人坐在一起(相邻)的概率.补充例题解法一:

n个朋友随机地围绕圆桌而坐,共有(n-1)!种不同坐法.甲乙二人坐在一起有2*(n-2)!种坐法.所求概率p=解法二:

设甲已经坐好,考虑乙的坐法.乙的每一种可能坐法对应一个基本事件,共有(n-1)种可能.甲乙坐在一起有2种坐法.所求概率p=2/(n-1)补充例题例:从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一对的概率.解:设A={4只鞋子中至少有两只鞋子配成一对}解法1:直接计算.A解法2:利用p(A)=1-p()补充例题

一、条件概率

在计算事件的概率时，一个事件与另一个事件有一定的联系。

我们把已知事件B发生的条件下,事件A发生的可能性的客观度量称为条件概率，记为P(A|B)。抽签试验例如：§3条件概率条件概率与无条件概率之间没有确定的大小关系。对条件概率P(A|B)的理解：

1)一般情况下，条件概率较原来概率发生了变化。P(A|B)P(A)

2)条件概率与积事件的概率有别。条件概率有先后次序之分,积事件无先后次序之分.3)条件概率可通过原来的概率计算得到。

定义：设A，B是随机试验E的两个随机事件,且P(B)>0，称)()()|(BPABPBAP=为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。条件概率的性质:

注意：由于条件概率易与概率混淆，故在应用中，不仅会算，还要会判断问题是否涉及条件概率。二、乘法公式

定理：设P(B)>0，则有P(AB)=P(B)P(A|B)若P(A)>0，有P(AB)=P(A)P(B|A).注：该公式是概率计算中的重要公式。关键是分清题目中的条件概率.

更一般地有，若P(A1

A2…An-1

)>0，则P(A1A2…An-1An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)空战试验例如：三、全概率公式当事件的概率计算很复杂时,我们可以对基本事件进行分类计算.有朋自远方来引例:

定义：设W为随机试验E的样本空间，B1，B2,…，Bn为E的一组事件，若(1)Bi∩Bj

=f，i≠j；

(2)B1∪B2∪

…∪Bn=W。称B1，B2，…，Bn为W的一个有限划分.

定理（全概率公式）：设随机试验E的样本为W，A

W，B1，B2，…，Bn为W的一个有限划分，且P(Bi)>0,i=1,2,…,n;则有∪∑==niiiBAPBPAP1)|()()(证明：B1，B2，…，Bn为W的一个有限划分W=B1∪B2∪…∪

Bn从而有A=A∩W=A∩（B1∪B2∪…∪

Bn）吸收律Uni=1iAB)(=分配律注:该公式常用在预测推断中，又称为事前概率.抽检试验例如：抽签的公平性又因为(ABi)∩

(ABj)=A∩(BiBj)=Af=f,i≠j由概率的有限可加性∑====niiniiABPABPAP11)()()(U因为P(Bi)>0,i=1,2,…,n，利用乘法公式得∑==niiiBAPBPAP1)|()()(某仪器有三个灯泡，烧坏第一、二、三灯泡的概率分别为0.1,0.2,0.3，并且相互独立。当灯泡未被烧坏时仪器正常工作。当烧坏一个灯泡时仪器发生故障的概率为0.5，两个为0.6三个为0.9。求仪器发生故障的概率。对此问题我们给出的划分应为：思考：在应用中，我们常遇到：在已知结果已经发生的条件下，去找出最有可能导致它发生的原因。四、贝叶斯公式

定理（贝叶斯公式）：设随机试验E的样本为W，A

W，B1，B2，…，Bn为W的一个有限划分，且P(Bi)>0,i=1,2,…,n;则有∪∑==niiijjjBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(证明：P(Bj|A)=P(ABj)P(A)P(Bj)P(A|Bj)P(A)=贝叶斯公式用来计算事后概率。在实际应用中，如果把事件A看成“结果”，把事件B1，B2，…，Bn看成导致该结果的可能的“原因”。“结果”发生了，P(Bj|A)即为“原因”Bj导致该结果发生的概率。实际中的例子有很多：设备维修，计算机诊病等等。病情诊断试验例如：例1100件产品中有5件不合格，其中3件是次品，2件是废品，现从中任取一件，试求（1）抽得废品的概率p1;

（2）已知抽得不合格品，它是废品的概率p2。解：令A={抽得废品}，B={抽得不合格品}。有52)|(2==BAPp1002)(1==APp注意到1002)(,1005)(==ABPBP有)()(1005100252)|(BPABPBAP===条件概率

例2甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求它被甲射中的概率。解：令A={目标被甲击中}，B={目标被击乙中}，C={目标被击中}。有8.05.06.05.06.0)()()()()(=×-+=-+==ABPBPAPBAPCPU所求概率为75.08.06.0)()()()()|(=====CPAPCPACPCAPp条件概率

乘法公式例3两架飞机进行空战，甲机首先开火，击落乙机的概率为0.2，若乙机未被击落，进行还击，击落甲机的概率为0.3，若甲机又未被击落，它再次向乙机开火，并击落它的概率为0.4。试求这几个回合中（1）甲机被击落的概率p1；（2）乙机被击落的概率p2。解：设A={甲机首次攻击击落乙机}

B={乙机击落甲机}

C={甲机第二次攻击击落乙机}所以有P(A)=0.2,4.0)|(,3.0)|(==BACPABP（1）甲机被击落的概率24.03.08.0)|()()(1=×===ABPAPBAPp（2）乙机被击落的概率424.0=4.0)3.01)(2.01(2.0×--+=)|()]|(1)][(1[)(--+=BACPABPAPAP)|()|()()(+=BACPABPAPAP2)()()(+==CBAPAPCBAAPpU

乘法公式例4甲盒中有5个红球,6个白球;乙盒中有3个红球,4个白球.现抛一枚均匀硬币,若出现正面,则从甲盒中任取一球,反之从乙盒中任取一球.试求取出白球的概率p。解：设A={取出白球}，B={甲盒中任取一球}={H}。从而A={从甲盒中取出一白球}∪{从乙盒中取出一白球}。=(AB)∪(AB)于是5584.0217421116≈×+×=)()|()()|(+=BPBAPBPBAP)()()(+==BAPABPAPpBBA#全概率公式例5某工厂有4个车间生产同一种产品,其产品分别占总产量的15%、20%、30%和35%，各车间的次品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02。现从出厂产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率是多少？解：设Ai={恰好取到第i个车间的产品}，i=1,2,3,4

B={任取一件，恰好取到次品}。.02.0)|(,03.0)|(,04.0)|(,05.0)|(1121====ABPABPABPABP.35.0)(30.0)(20.0)(15.0)(

4321====A,PA,PA,PAP故有由全概率公式0315.0)|()()(41==∑=iiiABPAPBP全概率公式

例6设袋中有n个红球，m个白球。三人依次不放回地各取出一个球。求他们取得红球的概率各为多少？解：设Ai={第i个人取到红球}，i=1,2,3,)(1nmnAP+=nmn+=nmnnmmnmnnmn-+×++-+-×+=111AAPAPAAPAPAP+=)|()()|()()(1211212全概率公式由全概率公式可得划分限这四个事件构成一个有我们把时求,,,,,)(212121213AAAAAAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAPAP++)|()|()()|()|()(

213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAP+=)|()|()()|()|()(

213121213121AAAPAAPAAAPAAP++)|()()|()(

2132121321AAAPAAPAAAPAAPAP+=)|()()|()()(21321213213---nmnnmnmmnnmnnmnnmn-+-+++-+-++=21)1)((22211×

××nmnnmnnmmnmm+=-+-+-++211

××全概率公式

例7设某医院用某一种方法诊断肝癌，由于各种原因，被诊断为患有肝癌的患者未必患有肝癌。令A={被检查者确实患有肝癌}，B={被检查者诊断为患有肝癌}。现有一病人被该方法诊断为肝癌,求此人确是患者的概率。假设P(A)=0.0004（患者的比例很小），

P(B|A)=0.95（对肝癌病人的诊断准确率很高），

P(B|A)=0.9（对非肝癌病人的诊断准确率也很高),解：从题设可得.9.01)|(,0004.01)(1)(-=-=-=ABPAPAP贝叶斯公式根据贝叶斯公式有0038.0≈)9.01()0004.01(95.00004.095.0×0004.0--+=××)|()()|()()|()()(+=ABPAPABPAPABPAPBAP注：诊断有病的人确实患病的可能性很小。贝叶斯公式

一、两个事件的独立性在一般情况下,P(A|B)≠P(A).P(A|B)=P(A)（*）成立.即事件A发生的可能性大小不受事件B的影响,我们称A与B相互独立.

定义：设A，B是试验E的两个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)（**）称事件A与B相互独立.

注：当P(B)>0时公式（*）与（**）是等价的.§4事件的独立性但若

定理：若事件A和B相互独立，则下列三对事件A，B；A，B；A，B也相互独立.证明：仅对第三种情形证明。因为P(AB)=P(A)P(B))()(BPAP=)](1)][(1[BPAP--=)()()()(1BPAPBPAP+--=)]()()([1

ABPBPAP-+-=)(1)()(BAPBAPBAP-==UU故?,),|()|(,1)(),(0,,是否相互独立请问且是两个随机事件设BAABPABPBPAPBA=<<

结论：A和B相互独立。因为)()()(BPAPABP==>)()]()([)](1)[(APABPBPAPABP-=-=>)()()()(APABPAPABP==>)(AP)()()()|()|(ABPAPABPABPABP===>此结论也可用来判断两个事件的独立性思考二、n个事件的独立性在多个事件中，是否存在类似的独立性呢？掷四面体试验例如

定义：设A1，A2，…，An为试验E的事件，若对任意的s（1<s≤n）及1≤i1<i2<…<is≤n，有P(Ai1Ai2…Ais）=P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais）（*）成立，则称事件组A1，A2，…，An相互独立

.

若对一切1≤i1<i2

≤n，有P(Ai1Ai2）=P(Ai1)P(Ai2)成立，则称事件组A1，A2，…，An两两独立

.

定理：若事件组A1，A2，…，An相互独立，则将A1，A2，…，An中的任意多个事件换成它们的对立事件后，所得到的个事件仍然相互独立.例如“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”“有志者事竟成”系统的可靠性设计事件的独立性在实际生活中有着广泛的用途。

2）事件组A1，A2，…，An相互独立事件组A1，A2，…，An两两独立注：1）（*）共包含2n-n-1

个等式。试求A1，A2，…，An至少有一个发生的概率.其中0

<P(Ai)=pi

<1，若（1）A1，A2，…，An

互不相容，

（2）A1，A2，…，An相互独立.（1）当A1，A2，…，An

互不相容时,由概率的有限可加性可得P=P(A1)+

P(A2)+

…+P(An)=p1+p2+

…+pn（2）若A1，A2，…，An相互独立，由加法定理可得P=P{A1∪A2∪…∪An}

=1-P{A1A2…

An}

=1-P{A1

}P{A2

}

…

P{An}=1–(1-p)n例1设同时掷两个均匀的四面体一次，每一个四面体的四面分别标有号码1，2，3，4。令A={甲四面体向下的一面是偶数}，

B={乙四面体向下的一面是奇数}，

C={两个四面体向下的一面同为奇数或偶数}。由古典概率定义有P(A)=P(B)=P(C)=8/16=1/2P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4P(ABC)=P(f)=0从而有P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)(*)

P(BC)=P(B)P(C)事件的独立性即A、B、C中任意两个都是相互独立的。我们称A、B、C两两独立。另一方面P(A|BC)=0≠1/2=P(A)若（*）式成立，并且P(A|BC)=P(A)，有P(ABC)=P(A|BC)P(BC)=P(A)P(B)P(C)我们称A、B、C

相互独立。这说明事件A发生的可能性大小会受到B与C的“联合”影响。事件的独立性

例2三个臭枪手向一个神枪手比武.他们都独立地向同一目标射击,三个臭枪手的命中率分别为0.5,0.55,0.60，神枪手的命中率为0.90.问哪一方胜出的可能性大?解：令Ai={第i个臭枪手命中目标}，i=1,2,3。则有

A1、A2、A3相互独立。于是由加法定理可得p=P(A1∪A2∪A3

)=P(A1)+P(A2

)+P(A3

)-P(A1A2)-P(A1A3

)-P(A2A3

)+P(A1A2A3

)=0.5+0.55+0.60–0.5×0.55–0.5×0.60-0.60×0.55+0.5×0.55×0.60=0.91事件的独立性

三个臭枪手胜出的可能性大.例3某人做一次试验获得成功的概率仅为0.2，他持之以恒，不断重复试验，求他做10次试验至少成功一次的概率？做20次又怎样呢？解：设他做k次试验至少成功一次的概率为pk，

Ak={第k次试验成功}，k=1，2，…则p10=P(A1∪A2∪…∪A10

)

=1-(1-0.2

)10≈0.8926

p20=P(A1∪A2∪…∪A20

)

=1-(1-0.2

)20≈0.9885

=1-P(A1)P(A2)…P(A10

)

=1-P(A1)P(A2)…P(A20

)事件的独立性一般，将试验E重复进行k次，每次试验中A出现的概率p（0<p<1）则A至少出现一次的概率为pk=1–(1–p)k并且1)1(1[limlim=--=kkkppk→∞k→∞事件的独立性

例4(可靠性问题)设有6个元件，每个元件在单位时间内能正常工作的概率均为0.9，且各元件能否正常工作是相互独立，试求下面系统能正常工作的概率。124365解：设Ak={第k个元件能正常工作}，k=1，2，…，6

A={整个系统能正常工作}=(A1∪A2)(A3

∪A4)(A5

∪A6)

A1

，A2，…，A6设相互独立，可以证明A1∪A2，A3

∪A4，A5

∪A6也相互独立。事件的独立性所以有970299.0])9.01(1[32≈--=)]()(1)][()(1)][()(1[654321---=APAPAPAPAPAP)](1)][(1)][(1[654321---=AAPAAPAAP)()()()(654321=AAPAAPAAPAPUUU事件的独立性

第二章随机变量及其分布第一节随机变量的分布函数一、随机变量

定义：设E的样本空间为W，对于每一个样本点w

W，都有唯一实数X(w)与之对应,且对于任意实数x，事件{w|X(w)≤x}都有确定的概率，则称X(w)为随机变量，简记为X.摸彩赌博随机变量的好处：(1)将样本空间数值化、变量化(但不同于通常变量)，(2)可以完整地描述随机试验,(3)可以借用其它高数工具来解决随机问题.二、分布函数从上例中可看到对任一实数x→P{w|X(w)≤x}，这是一个函数.定义：设X是一个随机变量,x是任意实数,称函数F(x)=P{X

≤x}=P{w:X(w)≤x}为随机变量X的分布函数，F(x)也记为FX(x)

.

注:（1）分布函数F(x)的函数值表示事件“随机点X落在(－∞,x]内”的概率.OxxX（2）F(x)的改变量DF=F(x+Dx)-F(x)=P{x<X≤x+Dx}是事件“随机点X落在(x,x+Dx]内”概率.Oxxx+DxX摸彩试验例如射击试验仪器寿命问题分布函数的性质:（1）F(x)为单调不降函数，即若

x1

≤x2

，则有F(x1)≤F(x2)

.（2）0≤F(x)≤1，且limF(x)=0,limF(x)=1

.x→-∞x→+∞（3）F(x)是右连续函数，即F(x+0)=F(x)

.分布函数的性质可以用来确定某一函数是否为一个随机变量的分布函数，还可以用来求解分布函数.分布函数的确定例如例1

一个庄家在一个签袋中放有8个白、8个黑的围棋子。规定：每个摸彩者交一角钱作“手续费”，然后从一个袋中摸出五个棋子,按下面“摸子中彩表”给“彩金”。摸到五个白四个白三个白其它彩金2元1元5角共乐一次解：用“i”表示摸出的五个棋子中有i个白子，则试验的样本空间为W={0，1，2，3，4，5}用Y(单位:元)表示赌徒摸一次得到的彩金，则有Y(i)=0，i=0，1，2Y(3)=0.5，Y(4)=1，Y(5)=2Y是定义在W上的随机变量，对于每一个

i，都有一个实数与之对应。

并且5001.0

0128.01282.03589.01}2,1,0{}0{=---===PYP0128.0}5{}2{51658====CCPYP1282.0}4{}1{5164818====CCCPYP3589.0}3{}5.0{5163828====CCCPYP对于任意实数x，{Y(w)≤x}实际表示一个随机事件，从而有确定的概率。例如1)(}5{==≤WPYP9872.00128.01}4,3,2,1,0{}2.1{=-==

PYP0)(}5.0{==-≤PYPf

总结：从本例中可看到，随机变量Y完整地描述了试验的全过程，而不必对每一个事件进行重复讨论。进一步，我们可以把高等数学工具用在对随机试验的分析。

例2.一袋中有依次标有-1、2、2、2、3、3数字的六个球，从中任取一球，试写出球上号码X的分布函数。解：由题意有31}3{,21}2{,61}1{=====-=XPXPXP当x<-1时,F(x)=P{X≤x}=P(f)=0。x-123xX当-1≤

x<2时,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1

}=1/6。x-123xX当2≤x<3时,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1

}+P{X=2

}=2/3。x-123xX当3≤

x

时,F(x)=P{X≤x}=P{W

}=1。x-123xX综上所述,可得

<

<

--<=313232216110)(xxxxxFx1O-123F(x)1这是一个右连续的单调不降阶梯函数，在不连续点处的阶跃值恰为P{X=k},k=-1,2,3。

例3.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用X表示弹着点与圆心的距离。试求X的分布函数。解：由题意有当x<0时,F(x)=P{X≤x}=P(f)=0。当x

≥2时,F(x)=P{X≤x}=P(W)=1。当0≤x<2时,由题意知P{0<X≤x}=kx2

其中k为一常数。Xx由题意可得1=P{0<X≤2

}=4k→

k=¼。x1O2从而有F(x)=P{X≤x}=P{X≤0

}+P{0<X≤x}=241x所以分布函数为:≥<

<=.2,1;20,4;0,0)(2xxxxxFF(x)1

例4.使用了t小时的电子管在以后的Dt小时内损坏的概率等于lDt+o(Dt),其中l>0为一常数,试写出电子管的寿命T的分布函数。解：由题意当t<0时,F(t)=P{T≤t}=0。当t

≥0时,设Dt>0，由题设条件有P{T≤t+Dt|T>t}=lDt+o(Dt),F(t+Dt)=P{T

≤t+Dt}=

P{T

≤t}

+P{t<T

≤t+Dt}

从而有

DF=F(t+Dt)-F(t)=P{t<T

≤t+Dt}又因为{t<T

≤t+Dt}={T>

t}{T

≤t+Dt}

DF=P{T>

t}P{T

≤t+Dt|T>

t}=[1-F(t)][lDt+o(Dt)]求解方程得分布函数.0,0;0,e1)(<≥-=-tttFtl令

Dt→0时，得到关于函数F(t)的微分方程=-=0)0()](1[)(FtFdttdFl

解：

例5.随机变量X

的分布函数为xeex11xxF<

<

=d;;a)(dcxxbx++ln1d1c1b0a=-===,,,求a,b,c,d第二节离散型随机变量一、离散型随机变量的分布律称X是离散型随机变量，并称pi=P{X=xi}，i=1,2,…为X的分布律.

定义：如果随机变量X至多取可列无穷个数值：x1,x2,…,pi=P{X=xi},满足（1）pi≥0；（2）∑pi

=1.i=1∞我们常用表格表示分布律：Xx1x2…xi…P{X=xi}p1p2…pi…产品检验试验例如

对于离散型随机变量X，由概率可加性得

{X≤x}=∪{X=

xi}，从而有xi≤x

P{X≤x}=P[∪{X=

xi}]=∑P{X=

xi}xi≤xxi≤x

所以分布函数

F(

x)