矩阵论与数值分析(研究生)全册配套课件

矩阵论与数值分析(研究生)全册配套课件

课程信息矩阵论48学时第2-x周

《矩阵论》杨明主编华中科技大学出版社(第2版,第6次印刷),2011课程教材开课班级课程名称2012-2013学年第一学期2班：机械，船海9班：光电，管理（C12，N104）数学的地位与作用数学的地位；网络时代；三种基本‘语言’；数学与素质教育（李大潜院士）数学是一种语言、一个工具、一个基础、一门科学、一门技术、一种文化，……

；

高新技术本质上是一种数学技术

数学教育本质上是一种素质教育（李大潜院士）

树立明确的数量观念，“胸中有数”；

提高逻辑思维能力；培养认证细致、一丝不苟的作风和习惯；形成精益求精的风格；提高运用数学知识解决复杂的实际问题的意识、信念和能力；增强拼搏精神和应变能力；调动探索精神和创造力；培养数学上的直觉和想象力数学的地位与作用数学教育本质上是一种素质教育数学是一种语言、一个工具、一个基础、一门科学、一门技术、一种文化，……；高新技术本质上是一种数学技术李大潜：将数学建模思想融入数学类主干课程，中国大学数学，2006数学是科学的语言矩阵是数学的语言课程学习的两个主要目的：学习数学的语言；学习数学的思维（科学素质）绪论要点

12

3

4矩阵理论及其应用介绍课程教学安排教学参考材料教学指导意见矩阵理论的研究内容线性空间与线性变换(Ch1)矩阵理论的应用对象矩阵理论的发展基础矩阵在各种意义下的化简与分解Jordan标准形(Ch2)

加法分解；乘法分解(Ch3)各类矩阵的性质研究正规矩阵;Hermite矩阵;幂等矩阵…矩阵的分析理论(Ch5)矩阵函数的定义和计算矩阵函数的微积分矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于现代应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。广义逆(Ch4)K,H积(Ch6)技术基础应用基础理论基础矩阵理论的综合视角矩阵代数矩阵理论矩阵分析矩阵分块矩阵变换矩阵分解表示功能计算功能分析功能

矩阵理论的现代应用举例信息检索矩阵理论数据压缩人像识别图像处理

矩阵论应用选介20世纪最好的十大算法之中有五个与矩阵有关！线性规划的单纯形法（Dantzig1947）Krylov子空间迭代方法（方程组求解）（1950）矩阵分解算法（LU分解）（1951）矩阵特征值计算（QR分解）（1959-61）快速Fourier变换FFT(1965)

稀疏快速Fourier变换sFFT（2012）一个数学方法的更新将带来一个更快的数字世界。

The$25,000,000,000Eigenvector:TheLinearAlgebrabehindGoogle

矩阵论应用选介数学文化，第二卷第一期，2011。

Scientificcomputinglibrariesbegangrowingaroundmatrixcalculus.Themaximumprincipleisrelatedtononnegativematrices.Controltheoryandstabilizationofsystemwithfinitelymanydegreesoffreedominvolvespectralanalysisofmatrices.Statisticsiswidelybasedoncorrelationmatrices.Thegeneralizedinverseisinvolvedinleast-squaresapproximation.

矩阵论应用选介Symmetricmatricesareinertiadeformation,viscoustensorsincontinuummechanics.Graphscanbedescribedinausefulwaybysquarematrices.Markovprocessesinvolvestochasticorbistochasticmatrices.Quantumchemistryisintimatelytomatrixgroupandtheirrepresentation.Quantummechanicswascalled“mechanicsofmatrices”

矩阵论应用选介讲授章节学时配置课程考试第1章至第6章章1：10学时；章2：8学时；章3：8学时；章4：6学时；章5：8学时；章6：6学时；教材和授课内容教学安排教学参考书余鄂西，矩阵论，高等教育出版社，1995。方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，2004。Fuzhen

Zhang，MatrixTheory，Springer，1999DenisSerre，MatricesTheoryandApplications，Springer，2002。R.A.Hom

etal,MatrixAnalysis,CambridgeUniversityPress,(卷1：人民邮电出版社，2005）CompanyLogo学习推荐软件

MATLAB(matrixlaboratory)MAPLESoftware学习指导意见应用能力

课程基础理论与概念练习与计算ThankYou!

矩阵论

MatrixTheory第1章：线性空间与线性变换§1.1线性空间～向量空间Rn

要点：空间的代数与几何结构，与向量空间Rn

的关系§1.2内积空间～向量空间Rn

要点：线性空间中向量的度量，Rn中的内积的推广§1.3线性变换～矩阵空间Rm

n

要点：线性空间之间的映射（线性映射），与矩阵空间Rm

n的关系

适当复习线性代数的相关知识！！！第1章：线性空间与线性变换内容概述：线性空间的一般概念

重点：空间的代数与几何结构，度量，与向量空间Rn

的关系线性变换

重点：矩阵处理方法，与矩阵的关系特点：研究代数结构——具有线性运算的集合研究几何结构——空间的维数和基看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理学习特点：具有抽象性和一般性1.1线性空间一、线性空间的概念n维向量空间Rn(R2，R3):结构,表示,运算,度量等Rn到线性空间的推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。线性空间的定义（定义1.1（P

1））三要素：

V(F),加法与数乘,运算性质集合V与数域F向量的加法和数乘向量运算运算性质的公理定义（8条）和特殊元素数域：四则运算封闭的数集，本身就是线性空间（自身上的）！如有理数域Q，实数域R，复数域C等。常见的线性空间Fn={X=(x1，x2，…，xn)T：xi

F}

运算：向量加法和数乘向量Rn；CnFm

n

={A=[aij]m

n：a

ij

F}；

运算：矩阵的加法和数乘矩阵Rm

n；Cm

nPn[x]={：ai

R}（n-1阶多项式空间）

运算：多项式的加法和数乘

C[a，b]={f(x)：f(x)为[a，b]上连续(实)函数}

运算：函数的加法和数乘(还有C1[a，b]等

)

不一样的线性空间：V=R+，F=R，a

b=ab，a=a

F=R或C线性空间？例子：次数为n-1的实多项式集合：{：ai

R，且

an-1不为零

}；平面上不过原点的直线上的点的集合，如V={(x1,x2)：x1,x2

R，且x1+x2

=1

}；空间中不过原点的直线或平面上的点的集合。不是线性空间的例子与判别例子：次数为n-1的实多项式集合：{：ai

R，且

an-1不为零

}；平面上不过原点的直线上的点的集合，如V={(x1,x2)：x1,x2

R，且x1+x2

=1

}；空间中不过原点的直线或平面上的点的集合。判别：如向量加法或数乘不封闭；不含特殊元素；……

线性空间的抽象线性空间的一般形式：V(F)，V中元素被统称为向量：，，，线性空间的简单性质（共性）：

定理1.1V(F)具有性质：（1）V(F)中的零元素是惟一的。（2）V(F)中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：

0=0，k0=0，k=0=0或k=0（4）=（1）数0向量0二、线性空间的基和维数向量的线性相关与线性无关：定义形式和向量空间Rn中的定义一样。有关性质与定理和Rn中的结果一样。例题1证明C[0，1]空间中的向量组{ex，e2x，e3x

…，enx}，x[0，1]

线性无关。基与维数的概念(P3)

定义1.2设V(F)为线性空间，若存在一组线性无关的向量

1，2，…，n，使得V中任一向量均可由其线性表示，即任给

，存在F中数组{x1，x2，…，xn}，使得

=x1

1+x2

2+x3

3+…+xn

n，则称向量组{

1，2，…，n}为V的一组基，基中所含向量的个数称为V的维数，记为

dimV=n,n<+

，或n=+

.二、线性空间的基和维数

有用的记号：

=

常见线性空间的基与维数：

□

Fn={X=(x1，x2，…，xn)T：xi

F}，dim

Fn=n，(x1，x2，…，xn)T=,ei=(0,0,…,i,0,…,0)T,{e1，e2，…,en

}线性无关，构成一组基，称为自然基□

Rm

n

={A=[aij]:aij

R},自然基{Eij},dimRm

n

=m

n，A=[aij]=∑aijEij，矩阵Eij的第i行j列元素为1，其余元素为0。

□

如R22二、线性空间的基和维数常见线性空间的基与维数：Pn

[x]，自然基{1，x，x2，x3…,xn-1}，dimPn

[x]

=nP

[x]

:（实或复）多项式全体，自然基{1,x,x2,…,xn-1…}，dimP

[x]

=+

C[a，b],{1,x,x2,…,xn-1…}

C[a,b],dimC[a，b]=+

复数集C:作为C上的线性空间；

作为R上的线性空间

基与维数：1，dimC=1；{1,i},

dimC=2约定：Vn(F)表示数域F上的n维线性空间。本课程只研究有限维线性空间。二、线性空间的基和维数定理1.2

Vn(F)中任n个线性无关的向量均构成它的基。三、坐标(向量在给定基下的线性表示)1定义1.3

(P3)

设{

1，2，…，n

}是线性空间

的一组基，

，有

=，则称x1，x2，…，xn

是

在基{i}下的坐标，称X=(x1,x2,…,xn)T为

在基{i}下的坐标向量，简称坐标。例1：求

R2

2中向量在基{Eij

}下的坐标。

要点：

坐标与基有关，向量在给定基下的坐标惟一；坐标的表达形式：Fn中向量例2

设空间P4[x]的两组基为：{1，x，x2，x3}和{1，(x

–1)1，(x–1)2，(x–1)3}求f(x)=2+3x+4x2+x3在这两组基下的坐标。归纳：线性空间Vn(F)在任意一组基下的坐标属于Fn

。每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这组基下，向量的坐标容易求得。求坐标方法的各异性。推广((x

–1)变

(x

–x0))?2线性空间Vn(F)与Fn的同构

坐标关系Vn(F)Fn

基{

1，

2，…,

n}由此建立一个一一对应关系

Vn(F)，

X

Fn，()=X(1+2)=(1)+(2)(k)=k()在关系

下，线性空间Vn(F)和Fn

同构。同构的性质定理1.3Vn(F)中向量{

1，

2，…n

}线性相关它们的坐标{X1,

X2,…,Xn

}在Fn中线性相关。同构保持线性关系不变。应用：

借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。例题

设R22中向量组{Ai

}1

讨论{Ai}的线性相关性；2求向量组的秩和极大线性无关组；3把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合。例10(P5)讨论P4[x]中向量

f1=1+2x+4x3

,f2=x+x2+4x3

,f3=1+x-3x2

,f4=-2x+x3

的线性相关性。(线性无关，构成一组基！)解：取自然基，转化为坐标（系数）空间R4中的问题。四、基变换和坐标变换讨论：不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系基变换公式设空间中有两组基：过渡矩阵C的性质：C的第i列是

i

在基{

k

}下的坐标C为非奇异矩阵则过渡矩阵2坐标变换公式已知空间中两组基：满足:;讨论X和Y的关系定理1.4

X=CY或Y=C-1X2坐标变换公式如何求过度矩阵？从定义出发（坐标表示）；对Fn,可通过矩阵求逆：由有定理1.4的应用:

知C和Y，求X=CY；或知C和X，求Y=C-1X。或例题已知空间R22中两组基（I）{Eij}（II）{}求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。求向量在基（II）的坐标Y。例题11（P6）解：可看作空间R4中的问题，则解法与例11类似。例题12(P7):

求P4[x]中向量在例10基中的坐标。§1.1五、子空间

Subspace

概述：线性空间Vn(F)中，向量集合V的子集合可以有集合的运算和关系：W1，W2

V:W1

W2，W1

W2，问题：这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间？空间的分解（子空间表示）？x2x1oR2W2W1W4W3R2=W3+W4x2x1oW4W3·(x1,x2)(0,x2)(x1,0)1、子空间的概念

定义1.5：设集合W

Vn(F)，W

，如果W中的元素关于Vn(F)中的线性运算也构成线性空间，则称W是Vn(F)的一个子空间。任何线性空间Vn(F)，均有两个平凡子空间：

Vn(F)和｛0｝(零元素空间,规定维数为0)判别方法：定理1.5W是子空间

W对Vn(F)的线性运算封闭。子空间本身就是线性空间。子空间的判别方法可以作为判别某些线性空间的方法。A

Rn中集合：如前例（图示）中的集合及一般化A

Fn×n中集合W1={A

Fn×n

AT=A}，W2={A

Fn×n

AT=–A}，W3={A

Fn×n

|A|=1}。例14

Rn

，Rm×n的集合是否为子空间？几个重要的子空间（例15，16）：设向量组{

1，

2，···，

m}

Vn(F)，由它们的所有线性组合生成的子空间：L{

1，

2，···，

m

}

=

{}

矩阵A

Fm×n，两个子空间：A的零空间：N(A)={X

Fn

：AX=0}

Fn，A的列空间(值空间)：

R(A)=L{A1，A2，···，An}

Fm，

Ai为A的第i列。R(A)=｛y：

x

Fn,y=Ax｝2、子空间的运算：“交空间”与“和空间”

讨论：设W1

Vn(F)，W2

Vn(F)，且都是子空间，则W1

W2和W1

W2是否仍然是子空间？（1）交空间交集：W1

W2=｛

W1

而且

W2｝

Vn(F)定理1.6(1)W1

W2是子空间，被称为“交空间”（2）和空间集合的和集：W1＋W2=｛

=X1＋X2

X1

W1，X2

W2｝，W1

W2

W1＋W2

定理1.6

(2)W1＋W2是子空间，被称为“和空间”。W1

W2一般不是子空间，W1

W2

W1＋W2

例17设R3中的子空间W1=L{e1}，W2=L{e2}求和空间W1＋W2。

比较：集合W1

W2和集合W1＋W2。如果W1=L{

1，

2，…，

m}，W2=L{

1，

2，…，

k}，

则W1＋W2=L{

1，

2，…，

m，

1，

2，…，

k}

3、维数公式

子空间的包含关系：

dimW1W2

dimWi

dimW1＋W2

dimVn(F)。

定理1.7（维数定理）dimW1＋dimW2=dim(W1＋W2)＋dim(W1W2)证明思路：基扩充方法（从W1W2的基出发）4、子空间的直和（空间分解）

分析由维数公式知，如果dim（W1

W2）

0，则

dim（W1＋W2）

dimW1＋dimW2

所以,

dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2

dim（W1

W2）=0

W1

W2={0}直和的定义：

定义1.6设W=W1＋W2,若dim（W1

W2）=0，则称此和为直和，称W为W1和W2的直和子空间，记为

W=W1

W2。子空间的“和”为“直和”的充要条件定理1.8

设W=W1＋W2，则下列各条等价：（1）

W=W1

W2（2）

X

W，X=X1＋X2的表示是惟一的（3）

W中零向量的表示是惟一的（4）

dimW

=dimW1＋dimW2证明：循环证法

(1)→(2)→(3)→(4)→(1)例1

P12例18例2

设在Rn×n中，子空间W1={A

AT=A}，W2={B

BT=–B}，证明Rn×n=W1

W2。例3子空间W的“直和补子空间”U:

Vn

=WU1.2

内积空间

主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性空间的度量关系。

一、欧氏空间和酉空间1几何空间中度量的定义基础2内积的定义定义1.7(P13)：要点

内积(

，

)是二元运算：Vn(F)×Vn(F)F

(

，

)的公理性质（对称性，线性性，正定性）

(

，

)是任何满足定义的运算（映射）。

讨论(

，

1＋

2),(

，k

),(

，k1

1＋k2

2),(0,

)

(,)=(,)(k,)=k(,)(+,)=(,)+(,)3.(,)0;

(,)=0iff=0

3内积空间的定义赋予内积的线性空间称为内积空间，记为

[Vn(F)；(

，)]；F=R，欧氏空间，F=C，酉空间4常见的内积空间：[Rn；(

，

)=

T

],(

T

=

T

)[Cn；(

，

)=

H

],

H=

的共轭转置，[Cm×n;(A，B)=tr(BHA)][Pn[x]；(f，g)=]5向量的长度

定义：

||

||=;单位向量：||

||=1.

，的“距离”：||

-

||

6

欧氏空间中向量的夹角

定义：

0，

0，夹角

定义为：cos

=

性质：

||

k

||

=

k

||

||；

定理1.9（Cauchy不等式）

，

[Vn(F)；(

，

)],

|

(

，

)

|

||

||

||

||。||

＋

||

||

||＋||

||;||

-

||

||

||＋||

||

和

正交

（

，

）=0

6线性空间的内积及其计算与矩阵表示：设{

1，

2，…,

n}是内积空间Vn(F)的基，

，

Vn(F)，则有

=x1

1＋x2

2＋…＋xn

n=

(

1

2

…

n)X；

=y1

1＋y2

2＋…＋yn

n=(

1

2

…

n)Y(

，

)

==YHAX，

定义内积

在一个基{

1，

2，…，

n}下定义内积

确定一个度量矩阵A。

度量矩阵aij=(

i,

j)度量矩阵A的性质：Hermite性与正定性二、标准正交基

1正交的向量组：

定义：｛

1，

2，…，

n｝为正交向量组

(

i，

j)=0，

i≠j性质(定理1.10)正交向量组线性无关。2标准正交基基｛

1，

2，…，

n｝是标准正交基

(

i，

j)=

标准正交基的优点？想想Rn！标准正交基的优点：

度量矩阵是单位矩阵，即A=I

=(

1

2…

n)X，

=(

1

2…

n)Y，(

，

)=YHX

=x1

1＋x2

2＋…＋xn

n，xi=(

，

i)

和

正交

其坐标X和Y正交任何向量的内积将对应其坐标空间中的内积

坐标空间Fn的内积求标准正交基的步骤：Schmidt正交化（定理1.11）标准化矩阵方法讨论“正交补”子空间(i)

集合的U的正交集：U

=｛

Vn(F)：

U，(

，

)=0｝(ii)

若U是Vn(F)的子空间，则U

也是Vn(F)子空间，称为U的正交补子空间。(iii)

Vn(F)=U

U

。[Rn；(

，

)=

T

]，[Cn；(

，

)=

H

]的标准正交基均为自然基{ei}；[Rm×n;(A，B)=tr(BTA)]，[Cm×n;(A，B)=tr(BHA)]的标准正交基均为自然基{Eij}。§1.3线性变换（函数，映射）

一、线性变换的概念定义1.11(P.19)要点：(i)T是Vn(F)上的变换：T：Vn(F)

Vn(F),

T(

)(象)(ii)T具有线性性：T(

＋)=T()＋T()T(k

)=kT()

合二为一：T(k1

＋k2)=k1T()＋k2T()从一般性的角度给出的定义例24

Vn(F)上的相似变换T

：

是F中给定的数，

Vn(F)，T

()=

。特例：

=1，T1是恒等变换:T1()=

，

=0，T0是零变换:T0()=0

。

可以在任何线性空间中

定义相似变换!例25

Pn[x]中的微分变换(积分变换？线性但不是Pn[x]上的)例26

Fn上的变换TA：设A

Fn×n是一个给定的矩阵，

X

Fn，TA(X)=AX。线性变换的例子2线性变换的性质：(1)T(0)=0(2)T(－

)=－T(

)(3)(4)若{

1,

2,…,

m}

线性相关，则

{T(

1),T(

2),…,

T(

m)}也线性相关。

3线性变换的象空间和零空间(~矩阵的列/零空间)定理1.12

设T为Vn(F)上的线性变换，则下述集合均为Vn的子空间（分别称为T的象空间和零空间）：

象空间

R(T)=｛

：

Vn(F)，

=T(

)｝

零空间

N(T)=｛

：

Vn(F)，T()

=0｝定义：T的秩=dimR(T)；T的零度=dimN(T)线性变换保持线性相关性不变！T(k1

＋k2)=k1T()＋k2T()例27

求Fn中的线性变换TA:Y=AX的象空间和零空间。R(TA)=R(A)；N(TA)=N(A)4线性变换的“运算”

(~函数的运算)设T，T1，T2都是Vn(F)上的线性变换，它们的下述运算均构成Vn(F)上的线性变换：(i)加法

T1＋T2：

Vn(F)，(T1＋T2)()=T1()＋T2()(ii)乘法T1T2：

Vn(F)，(T1T2)()=T1(T2())(iii)数乘kT：

Vn(F)，(kT)()=k(T(

))(iv)可逆变换T：

T1使得，TT1=T1T=I，记T1=T－1

；T－1(

)=

T(

)=

。(v)乘方变换：Tm=TTTT…T(m个T相乘)注意：变换乘法一般不具有交换律，如同矩阵乘法；Vn(F)上的线性变换的全体构成F上的线性空间！二、线性变换的矩阵

1线性变换的矩阵与变换的坐标式Vn(F)上线性变换的特点分析：定义变换T

确定基中向量的象T(

i)定义T(

i)

确定它在基下{

i}的坐标Ai

定义变换T

确定矩阵A=[A1，A2，…，An](i)

A为变换矩阵:T(

1,

2,…,

n)=(

1,

2,…,

n)A(ii)变换的坐标式：设

=(

1,

2,…,

n)X，T(

)=(

1,

2,…,

n)Y，则Vn(F)上的变换TFn×n中的矩阵A给定基~线性变换TAY=AX例题

对线性变换:P4[X]P4[X]，求D在基{1，X，X2，X3}下的变换矩阵。2求向量在变换D下的象。相似变换T

下的矩阵：Pn[x]中的微分变换在自然基下的矩阵：线性变换TA在自然基下的矩阵：IAFn上线性变换T在自然基下的矩阵：T(e1e2…en)常见线性变换的矩阵

2线性变换运算的矩阵对应（Th1.13）：设Vn(F)上的线性变换T1，T2，它们在同一组基下的矩阵：T1

A1；T2

A2（i）(T1＋T2)

(A1＋A2)（ii）(T1T2)

A1A2（iii）(kT)

kA（iv）T－1

A－1(i),(iii)合并：(k1T1＋k2T2)

(k1A1＋k2A2)

3不同基下的变换矩阵两组基：{

1，

2，…,

n}，{

1，

2，…,

n}，(

1

2…

n)=(

1

2…

n)CT(

1

2…

n)=(

1

2…

n)AT(

1

2…

n)=(

1

2…

n)B

Th1.14同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的B=C－1AC例29(P24)

设单位向量u=（2/3，–2/3，–1/3），给定R3上的线性变换P(x)=x–(x，u)u，求P在自然基{e1，e2，e3}下的变换矩阵A。求P在标准正交基{u1，u2，u3}下的变换矩阵B。（直接按定义；或同前利用Th1.14）例28(P23)给定R3上的线性变换T((x1,x2,x3)T)=(x1+2x2+x3,x2-x3,x1+x3)T，求T在基

1=(101)T,

2=(011)T,

3=(1-11)T下的变换矩阵B。三、不变子空间问题的背景：变换矩阵简化和空间分解的对应关系1.不变子空间的概念矩阵简化要求空间分解的特点不变子空间的定义(p24,定义1.14)2.不变子空间的判别W是T的不变子空间W

T()

W。

特别：W=L{

1，2，…，m}，W是T的不变子空间T(

i)W。

T(W)W。T也是W上的线性变换！P24，例30R3上的正交投影P：P(x)=x–(x，u)u，u是单位向量。证明L(u)和

u

={x：(x，u)=0}是P的不变子空间。P在L(u)上是零变换，在u

上是恒等变换！3空间分解与矩阵分解

Vn(F)=W

U，W，U是T的不变子空间，W=L{

1，…，r}，U={

r

+1

，

…，n}则T

{

1，…，

r，

r

+1，

…，n}

Vn(F)=U1

U2

…

Uk，则T矩阵Ai

的阶数=dimUi四、正交变换和酉变换(不改变内积的变换)讨论内积空间[V；(，)]中最重要的一类变换。1定义1.15(P25)：(T(

),T(

))=(

,

)2正交（酉）变换的性质：

（定理1.15,P26）T是内积空间V(F)上的线性变换，则下列命题等价：（1）T是正交(酉)变换（2）T保持向量的长度不变（3）T把V(F)的标准正交基变成标准正交基（4）T在标准正交基下的矩阵是正交(酉)矩阵3变换的矩阵：正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵C：CTC=I

酉矩阵U：UHU=I定理1.16(P27)常见的基本正交变换：平面上的旋转几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个

角。变换矩阵：在自然基下，

R3空间中的镜像变换定义：S(x)=x–2(x,u)u，u为单位向量。变换矩阵与几何意义

空间中的旋转几何描述：绕空间中过原点的一条直线L，旋转一个角。求变换矩阵的基本思想：寻求空间中的一组特别的基

例题1设u=e2，镜像变换:S（x）=x–2（x，e2）e2求立方体W在镜像变换下的象。例题2求R3中绕过原点、以u=（1，1，1）T为正向的直线，顺u方向看去是逆时针的旋转变换T在R3中自然基下的变换矩阵。五、线性空间Vn(F)Vm(F)的线性变换定义1.16(P.28)要点：（i）

Vn(F)，=T(

)

Vm(F)(ii)T具有线性性：T(

1＋

2)=T(

1)＋T(

2)T(k

)=kT(

)例题1(P29，例34)例题2（P29，例35）T的变换矩阵：

T：Vn(F)

Vm(F)设{

1，

2，…,

n}是空间Vn(F)

的基，{

1，

2，…,

m}是空间Vm(F)的基，T(

1，

2，…,

n)=(

1，

2，…,

m)AA是变换矩阵。T在不同基下变换矩阵的关系

设在两个空间中分别取两组基：分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系等价！推荐练习题：第一章P31：1（3），（4），2，4，6，9，10，13，17，20，23，24，26，28，29，31第1章勘误表diyiban位置误

正P.2，第3行P.14，第4行（，）2

（，）2P.16，第1行

P.17，倒7和倒8L{

1，

2，}L{

1，

2，}P.22，倒3eiP（ei）P.27习题一上方u

W

第2章：Jordan标准形介绍JordanCanonicalForm第2章：Jordan标准形介绍问题：对线性空间中的线性变换T，求一组基{

1，2，，

n}和矩阵J，使T:{1，2，，

n}J矩阵J尽可能简单。矩阵J的结构对任何变换可行思想：首选J为对角形

线性变换的对角化问题。建立J一般的结构

Jordan标准形理论。Jordan方法及其应用方法：用矩阵的相似化简研究问题

Jordan化方法重点：2.1线性变换的对角表示背景：求基{

i}，使得T(

1

2…

n)=(

1

2…

n)一、变换T的特征值与特征向量定义(p35定义2.1)(eigenvalueandeigenvector)求解分析：(p35定理2.1)(

1

2…

n)线性无关L{

i}是不变子空间；T

i=i

i

A的特征值就是T的特征值A的特征向量是T的特征向量的坐标例题1(p37，例题2.1)3、

特征向量的空间性质特征子空间：V

={

|T

=

}特征子空间的性质：(p36，定理2.2)V

i是不变子空间

i

j，则V

i

V

i={0}若

i是ki重特征值，则1dimV

i

ki

推论：若

i是单特征值，则dimV

i

=1V

1+V

2++V

s=V

1

V

2

V

s

V

1

V

2

V

s

Vn(F)二、线性变换矩阵对角化的充要条件T可以对角化

T有n个线性无关的特征向量。

dimV

i

=n

dimV

i

=ki

定理2.4(p39)T可以对角化

T的变换矩阵A可以对角化。例题2

已知{

1，2，3}是空间V3(F)的基，T是空间上如下定义的线性变换，T(

1)=

1T(

2)=2

2T(

3)=

1+t

2+2

3讨论：t为何值，T有对角矩阵表示例题3设，求R3上正交投影P(x)=x-(x，u)u的特征值和特征向量2.2Jordan

矩阵介绍目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构----Jordan矩阵。一、Jordan矩阵Jordan块(p40，定义2.3)

形式：确定因素：Jordan块矩阵的例子：值

矩阵的阶数例题1下列矩阵哪些是Jordan块？形式：Jordan矩阵举例特点元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jordan矩阵2Jordan矩阵3

Jordan标准形定理2.5(p41)

含义：Jordan矩阵可以作为相似标准形。惟一性：Jordan子块的集合惟一。A相似于B

JA相似于JB二、方阵A的Jordan标准形的求法目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA，使AP=PJA分析方法：在定理2.5的基础上逆向分析矩阵JA

和P的构成。求法与步骤：矩阵A和JA的特征值相等细分矩阵Pi和Ji，在Jordan块上，有Jordan链条{，y2，…，ynj}特征向量广义特征向量方法步骤：由特征值

i的代数重数确定主对角线元素是的

i的Jordan矩阵J(

i)

的阶数。由特征值

i对应的线性无关的特征向量的个数确定J(

i)中Jordan块的个数由特征向量求得的Jordan链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA例题1

(p44，例题5)例题2(p45，例题6)例题3

将矩阵A化为Jordan矩阵。例题4(p46，例题7)§2.3最小多项式(minimalpolynomials)讨论n阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算）矩阵的化零多项式（Cayley定理）最小多项式Jordan标准形的应用相似不变性Jordan化的方法一、矩阵多项式定义2.性质（定理2.7）AX=

0X

g(A)X=g(

0)XP-1AP=B

P-1g(A)P=g(B)

3矩阵多项式g(A)

的计算方法：m

rg（J）的结构特点：由第一行的元素生成Jordan块例题1

设对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。解二、矩阵的化零多项式

(AnnihilatingpolynomialsofMatrices)问题：A

Fn×n，A0，是否存在非零多项式g（），

使得

g(

A

)=0？化零多项式（P.52）如果g(A)=0，则g(

)被称为矩阵A的化零多项式。

要点：矩阵A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。g（A）=0的决定因素。存在性问题。Cayley-Hamilton定理（P.52，定理、2.7）：

A

Fn×n，f(

)=det(I–A)，则f(

A

)=0。Cayley定理的应用举例：使Ak(

kn)降阶至不超过n-1次的多项式。f（0）0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。对线性变换T，f(T)=0，即f（T）为零变换。三、最小多项式1定义（P.54，定义2.5）mA（

）是最小多项式mA（A）

=0mA（

）在化零多项式中次数最低。mA（

）最高次项系数是1。

mA（

）整除任何化零多项式2mA（

）的结构：设f（）=I–A=定理2.8：mA（

）=

定理2.9：mA（

）=是

i对应的Jordan块的指数。f（）与mA（

）谱相同3线性变换有对角矩阵表示的条件讨论线性变换的最小多项式定理2.10：线性变换T可以对角化的充要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积。例题1（P.56，eg10，eg11）例题2设A

R4×4，mA（

)=求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。例题3设是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。相似问题中的一些矩阵结果1.幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（idempotent）：

A2=A幂零矩阵（nilpotent）：A0，

k为正整数，Ak=0乘方矩阵（involutary）：A2=

IA为幂零矩阵的充要条件是A的特征值都是零。A为乘方矩阵的充要条件是A相似于矩阵A为幂等矩阵的充要条件是A相似于矩阵2

(p47，例题8)

设A为阶方阵，证明矩阵A和AT相似。证明思想：

证明A和AT相似

证明Jordan矩阵JA和JAT相似

证明JA和JAT的Jordan块J和JT相似。证明方法：

取逆向单位矩阵S，证明：SJ=JTS（backwardidentity）3、矩阵A

，AT，AH

和AHA设A为n阶方阵，则下列结果成立：矩阵A相似于矩阵AT矩阵A相似于矩阵AH的充要条件是矩阵的非实数特征值对应的Jordan块以共轭对出现。矩阵AHA相似于矩阵AAH4.设矩阵A

Fm×n，矩阵B

Fn×m，则AB和BA的非零特征值相同。讨论：若A、B都是n阶方阵，AB和BA的特征多项式是否相同？AB和BA的最小多项式是否相同？AB和BA是否相似？第1章习题选讲要点：线性空间的表示形式：集合表示形式：Vn（F）=｛

满足的性质｝向量生成形式：L{

1，

2，···，

m}

子空间类型：L{

1，

2，···，

m}

W1＋W2矩阵A

Fm×n，两个子空间不变子空间线性变换：线性变换的表示线性变换的数量关系重要的线性变换第1章习题选讲P31，习题一1（3），2，4，9，10，11，17，20，23（4），26，29，30第二章的推荐练习题1，2，3，6，8，9，12，13，16，19，20第11题勘误：…，使S-1AS，S-1BA为对角矩阵的充要条件是A和B乘法可交换，即AB=BA。第3章、矩阵的分解MatrixFactorizationandDecomposition矩阵分解的概述矩阵的分解：A=A1+A2+…+Ak矩阵的和A=A1A2

…Am矩阵的乘积矩阵分解的原则与意义：实际应用的需要理论上的需要计算上的需要显示原矩阵的某些特性矩阵化简的方法与矩阵技术主要技巧：各种标准形的理论和计算方法矩阵的分块§3.1常见的矩阵标准形与分解常见的标准形等价标准形相似标准形合同标准形本节分解：三角分解满秩分解可对角化矩阵的谱分解AT=A相似标准形等价标准形一、矩阵的三角分解（triangulardecomposition)方阵的LU和LDV分解（P.61）

LU分解：AFnn，有下三角形矩阵L，上三角形矩阵U

，使得A=LU。LDV分解：AFnn，L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为对角矩阵，使得A=LDV。已知的方法：Gauss-消元法例题1（P.61eg1）设

求A的LU和LDV分解。结论：如果矩阵A能用两行互换以外的初等行变换化为阶梯形，则A有LU分解。三角分解的存在性和惟一性定理3.1

（P.62）

：矩阵的k阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2，…，n。定理:AFnn有惟一LDV分解的充要条件是A的顺序主子式Ak非零，k=1，2，…，n-1。

讨论（1）LDV分解的存在

LU分解存在（2）矩阵可逆与顺序主子式非零的关系定理3.2（P.64）设矩阵AFnn

，rank（A）=k（

n），如果A的k阶顺序主子式非0，则

A有LU分解。考虑：LDV分解与LU分解的关系例题2

（P.65

eg2）

LU分解的应用举例：求解线性方程组AX=b二、矩阵的满秩分解定义3.2

（P.66

）对秩为r的矩阵A

Fm

n，如果存在秩为r的矩阵B

Fm

r，C

Fr

n，则A=BC为A的满秩分解。例题2（P.69，eg5）列满秩行满秩定理3.2：任何非零矩阵A

Fm

n都有满秩分解。满秩分解的求法：方法1：方法2例题1（P.68，eg4）方法3例题3（P.70，eg6）•方法建立的思想•方法实现的途径三、可对角化矩阵的谱分解将方阵分解成用谱加权的矩阵和谱：设A

Fn

n，则A的谱={

1，2，，s}。，P具性质：1.可对角矩阵的谱分解分解分析：分解结果：幂等矩阵意义：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和2、矩阵可以对角化的一个充要条件

定理3.5（P.73

）矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解，满足条件：充分性的证明：在A有谱分解时Cn=V1

V2

Vn3.幂等矩阵的性质

定理3.4（P.72）P

Fn

n，P2=P，则矩阵PH和矩阵（I–P）仍然是幂等矩阵。P的谱{0，1}，P可相似于对角形。

Fn=N（P）

R（P）N（P）=V=0，R（P）=V

=1

P和（I–P）的关系N（I–P）=R（P），R（I–P）=N（P）Hermite矩阵的谱分解定理3.6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH§3.2Schur分解和正规矩阵

已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交相似于对角形。讨论：一般方阵A，在什么条件下可以酉相似于对角矩阵？在内积空间中讨论问题，涉及：空间Cn、Cn

n，酉矩阵U，UHU=I，U–1=UH酉相似：UHAU=J

U–1AU=J相似关系重点：理论结果列向量是空间Cn中的标准正交基一、Schur分解1、可逆矩阵的UR分解

定理3.7（P.74）A

Cn

n为可逆矩阵，则存在酉矩阵U和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R，使得A=UR。（称A=UR为矩阵A的酉分解）证明：源于Schmidt正交化方法（P.18）例题1求矩阵A的UR分解，其中定理3.8（P.76）：设矩阵A

Cm

n是列满秩的矩阵，则矩阵A可以分解为A=QR，其中Q

Cm

n的列向量是标准正交的向量组，R

Cn

n是主对角线上元素为正数的上三角形矩阵。QR分解2、Schur分解定理3.7（P.74

）对矩阵A

Cn

n，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得

UHAU=T=证明要点：A=PJAP–1，P=URA=PJAP–1=U（RJR–1）UH

=UTUH。二、正规矩阵（NormalMatrices）1、定义3.3（P.77

）A是正规矩阵

AHA=AAH。常见的正规矩阵：对角矩阵对称和反对称矩阵：AT=A，AT=–A。Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH=–A正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。例题1（P.78，eg10）设A为正规矩阵，B酉相似于A，证明B也是正规矩阵。正规是酉相似的不变性质例题2、

A

Fm

n，矩阵AHA和矩阵AAH是正规矩阵。2、正规矩阵的基本特性定理3.10

（P.78

）

：A

Cn

n正规

A酉相似于对角形。推论：正规A

Cn

n

A有个标准正交的特征向量构成空间Cn的标准正交基。定理3.11（P.80

）（正规矩阵的谱分解）A正规A有如下谱分解：

Hermite性3、正规性质的应用举例例题1（P.79，eg11）例题2（P.79，eg12）例题3设A

Rn

n，AT=–A，证明A的特征值是零和纯虚数。矩阵A的秩是偶数。§3

3矩阵的奇异值分解Singularvaluedecomposition(SVD)§3

3矩阵的奇异值分解概述：矩阵的奇异值分解是酉等价型的分解:ACm×n，存在酉矩阵UCm×m,VCn×n,使得A=U

VH。矩阵A等价于=奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相关的问题A的奇异值分解依赖于正规矩阵AHA

的酉相似分解的。一、矩阵A的奇异值及其性质1、矩阵AHA和AAH的性质：A

Cm×n

Hermite矩阵:AHA

Cn×n，AAH

Cm×m，定理312（P82）秩（A）＝秩（AHA）=秩（AAH）。AHA和AAH的非零特征值相等。AHA和AAH是半正定矩阵。

AHA和AAH的特征值是非负实数：

1

2

n2、奇异值的定义：（P72）A

Cm×n，秩（A）=r，设AHA的特征值1

2

r0，

r+1=r+2