初中九年级数学中考几何题讲义系列：截长补短

中考经典几何题讲义系列：截长补短

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。

这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是

将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证

明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较

短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长

的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求

解。

截长法：

(1)过某一点作长边的垂线

(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相

等。

补短法

(1)延长短边。

(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……

几种截长补短解题法类型

我们大致可把截长补短分为下面几种类型；

类型①a±b=c

类型②a±b=kc

类型③弛

C

类型④c2=a-b

对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。

对于②，可以将。士6与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊

三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30。的直角三角形等。

对于类型③，一般将截长或补短后的。土。与。构建在一个三角形中，与类型

②相同。实际上是求类型②中的左值。

对于类型④，将。化为£=?的形式，然后通过相似三角形的比例关系进行

ac

证明。在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。

例：

FD

在正方形A5CZ）中，DE=DF,DG1CE,交CA于G,GH1AF,交

A。于尸，交CE延长线于H,请问三条粗线。G,GH,。”的数量关

系

方法一（好想不好证）

方法二（好证不好想）

例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页）

AB

(1)正方形A3CD中，点E在CD上，点P在3c上，ZEAF=45°e

求证：EF=DE+BF

(1)变形a

正方形A3CD中，点E在。延长线上，点R在3c延长线上，ZEAF=45°0

请问现在跖、DE、3R又有什么数量关系？

(1)变形6

正方形A3CD中，点E在。C延长线上，点R在底延长线上，ZEAF=45°0

请问现在ER、DE、3R又有什么数量关系？

(1)变形

A

0

正三角形ABC中，E在A3上，F^.AC1.Z.EDF=45oDB=DC,ZBDC=120°□

请问现在ERBE、CR又有什么数量关系？

(1)变形d

E

正方形A3CD中，点E在CD上，点R在3C上，ZEAD=15°,ZFAB=3Q°□

AD=M

求AAER的面积

(1)解：(简单思路)

延长CD到点G,使得ZXABE连接AG。

由四边形A3CD是正方形得

ZADG=ZABF=9Q°

AD=AB

又DG=BF

所以AADGM^ABF(SAS)

ZGAD=ZFAB

AG=AF

由四边形A3。是正方形得

ZDAB=90°=ZDAF+ZFAB

=ZDAF+ZGAD=ZGAF

所以/GAE=ZGAF-ZEAF

=90。一45。=45。

ZGAE=ZFAE=45°

又AG=AF

AE=AE

所以AEAGMAEAF(SAS)

EF=GE=GD+DE=BF+DE

变形a解：（简单思路）

EF=BF-DE

在3C上截取3G,使得BG=DF,连接AG。

由四边形ABCD是正方形得

ZADE=ZABG=9Q°

AD=AB

又DE=BG

所以AADE三AABG(SAS)

ZEAD=ZGAB

AE=AG

由四边形A3。是正方形得

ZDAB=9Q°=ZDAG+ZGAB

=ZDAG+ZEAD=ZGAE

所以/GAF=ZGAE-ZEAF

=90。一45。=45。

ZGAF=ZEAF=45°

又AG=AE

AF=AF

所以AGAF(SAS)

EF=GF=BF-BG=BF-DE

变形8解：（简单思路）

EF=DE-BF

在DC上截取DG,使得DG=BF,连接AG。

由四边形A3CD是正方形得

ZADG=ZABF=90°

AD=AB

又DG=BF

所以AADGTAABF(SAS)

ZGAD=ZFAB

AG=AF

由四边形ABC。是正方形得

ZDAB=9Q°=ZDAG+ZGAB

=ZBAF+ZGAB=ZGAF

所以/GAE=ZGAF-ZEAF

=90°-45°=45°

ZGAE=ZFAE=45°

又AG=AF

AE=AE

所以AE4G三AEAF(SAS)

EF=EG=ED-GD=DE-BF

变形c解：（简单思路）

A

EF=BE+FC

延长AC到点G,使得CG=BE,连接DG。

由AABC是正三角形得

ZABC=ZACB=6Q°

又DB=DC,ZBDC=12Q°

所以ND3C=NDC3=30°

ZDBE=ZABC+ZDBC=6Q0+30°=90°

ZACD=ZACB+ZDCB=6Q0+300=90°

所以NGCD=1800-ZACD=90°

ZDBE=ZDCG=9Q°

又DB=DC,BE=CG

所以ADBE三ADCG(SAS)

ZEDB=ZGDC

DE=DG

又ZDBC=120°=ZEDB+ZEDC

=ZGDC+ZEDC=ZEDG

所以/GDF=ZEDG-ZEDF

=120°-60°=60°

ZGDF=ZEDF=60°

又DG=DE

DF=DF

所以AGDRMAEDF(SAS)

EF=GF=CG+FC=BE+FC

变形d解：（简单思路）

延长CD到点G,使得DG=3E连接AG。

过E作EHLAG.前面如（1）所证，

AADGsAABF,\EAG=AEAF

ZGAD=ZFAB=30°,SAEAG=SAEAF

在R/AADG中，AGAD=3Q°,AD=^

^AGD=60°,AG=2

设EH=x

在RtAEGH中和RtAEHA中

ZAGD=60°,Z77AE=45O

HG=BX,AH=X

3

AG=2=HG+AH=—x+x,EH=x=3-y[j

3

SAEAF=SAEAG=EH义AG+2=3-.

（第5页题目答案见第6页）

(2)

正方形A3CD中，对角线AC与3。交于。，点E在BD上,AE平分ND4C。

求证：AC/2=AD-E0

(2)加强版

N

AB

正方形ABCD中，舷在CD上，N在D4延长线上，CM=AN,点E在3。上,

NE淬分/DNM。

请问MN、AD.ER有什么数量关系？

(2)解：(简单思路)

过E作EGLAD于G

因为四边形ABCD是正方形

ZADC=9Q°,3。平分/ADC,AC1BD

所以ZADB=ZADC/2=450

因为AE平分NZMC,EOLAC,EGLAD

所以NEA0=NE4G,

ZDGE=nAOE=NAGE=90°又AE=AE,

所以AAE。三AAEG(AAS)

所以AG=A。，EO=EG

又NADB=45°,NDGE=90°

所以ADGE为等腰直角三角形

DG=EG=EO

AD-DG=AD-E0=AG=A0=AC/2

(2)加强版解：(简单思路)

MN/2=AD-EF

过E作EGLAD于G,作EQ，A3于Q,

过3做于P

按照(2)的解法，可求证，

AGNEMAFNE(AAS)

ADGE为等腰直角三角形

AG=AD-DG=AD-EF,

因为四边形ABCD为正方形，

ZABC=ZGAQ=ZBCM=90°

3。平分NABC,BC=BA

ZABD=ZABC/2=45°,又/EQB=9Q°

AEQB为等腰及三角形，ZBEQ=45°

因为/GAQ=ZEGA=ZEQA=90°

所以四边形AGEQ为矩形，

EQ=AG=AD-EF,EQ//AG

ZQEN=ZENG

又NENG=/ENF,所以NQEN=NENF

由BC=BA,ZBCM=ZBAN=900,CM=AN,

所以ABCMvABAN(SAS)

BM=BN,ZCBM=ZABN

ZABC=90°=ZABM+ZCBM

=ZABM+ZABN=ZMBN,又BM=BN

所以AMBN为等腰及三角形，

又3尸，斜边MN于P,

所以ANP3为等腰心三角形。

BP=MN/2,NPNB=45°。

ZBNE=ZENF+ZPNB

ZBEN=ZQEN+ZQEB

又ZQEN=ZENF,ZPNB=ZQEB=45°

所以NBNE=/BEN

BN=BE,

又ZPNB=ZQEB=45°=ZNBP=ZEBQ

所以A3EQ三ABNP(SAS)

EQ=BP

EQ=AG=AD-EF,BP=MN/2

所以AD-EF=MN/2。

经典练习题(一)

1、如图，在。。中，C是A8的中点，直线CDLAB于点E,AB=BE,PB、PA

组成的。。的一条折弦，C是劣弧的中点，直线CDLR4于点E,则AE

=PE+PB,请证明你的结论。

分析：本题要证明AE=PE+P3,可以将AE分为两段，使其中一段长度等于PE,

然后另一段长度关于尸瓦反之亦。证明△AHCZABPC。然后再证明

=PE,那么AE=PE+PB。

证明：在AE上截取AH=P5,连接AC、CH、BC、CP。

：C是AB的中点

AC=BCc

：.AC=BC

///J0><\

,:CP=CP'、B

/A=NB

：.在AC4H与ACB尸中\

/CA=CB一一——口

<ZA=ZB

IAH=BP

△CAH^/\CBP(SAS)

：.CH=CP

'：CELHP

：.PE=EH

：.AE=PE+PB

2、如图，OO为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角N3CQ,ZACB

=120°,求三产的值。

分析：要求--AC的值,可用截长的方法来做，即可在A3上截取3E=AC,使

PC

△PAC,即可求出8C-AC的值。

PC

解：连接力、PB,在3c上截取3E,使3E=AC,连接尸E。

VZeCP+ZPCA=180°

又：ZPCA+ZPBA=120°

：.ZQCP=ZPBA

'：PB=PB

：.ZPCB=ZFAB

又•：/QCP=NPBA

：.ZPBA=ZFAB

：.PA=PB,PB=PA

在^PBE与APAC中

,PB=PA

<ZPBC=ZQAP

IBE=AC

:ZBE义MPAC(SAS)

：.PC=PE

：.ZPEC=ZBCP=30°

:=6

PC

.BC-AC=

PC-

3、如图，00为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角NACQ,ZACB

=90°,

求证：①PA=PB

@AC-BC=42PC

分析：要证明AC—3C=忘PC,可使用截长的方法，即在AC上截取AH=BC,

HC=AC-BC,然后将HC与PC构建一个等腰直角三角形，且HC为斜边,

o

p

c

PC为直角边。通过求解△APH咨△C3P。即可证明AC—3。=拒尸。。

证明：连接出、PB,在AC上截取AH=3C。

：CP平分NACQ,NACQ=90°

：.ZPCA=ZQCP=45°

.四边形APC3为圆的内接四边形

ZPAB+ZPCB=18Q°=ZPCQ=ZPCB

：.PA=PB

：.PA=PB

'：PC=PC

：.ZCBP=ZPAC

在△4物与^CBP中

,AH=CB

<ZCBP=ZPAC

IAP=BP

...AAPH^ACBP

：.PH=PC

'：ZPCH=45°

又•••APHC为等腰直角三角形

：.AC-AH=AC-CB=HC=0PC

：.AC-BC=0PC

4、如图，。。为△ABC的外接圆，弦CD平分NAC3,ZACB=120°,求生3

CD

的值。

分析：要求8+匿,我们的思路是将直延长至并与°构建在一个三角形内，

CD

然后解三角形并证明延长线与CA相等。我们将CB延长至H,作

CH=CA+CB,然后将CH和CD构建在一个三角形内，即过点D作NCDH

=60。延长C3,交DH于点、H,即可证△CAD当AHBD,再可求出生3

CD

的值。

解：过点。作NCDH=60。延长底，交DH于点、H,连接AD、BD,

ZADB=CDH=60°

：.ZBDH=ZADC

"：ZDCH=60°=ZH=ZACD

：.DH=DC

在^CAD与△HBD中

/ZH=ZACD

<DH=DC

IZBDH=ZAPC

:.ACAD经AHBD(ASA)

：.CA=BH

：.CB+BA=CD

CA+CB

5、如图，尸是等边△ABC外接圆BC上任意一点，求证：PA=PB+PC.

分析：要证明以=依+尸。可用截长的方法，即在以上截取AG=CP,然后证

明PG=BP即可。

证明：在AP上截取AG=CP

△ABC为等边三角形

：.AB=BC

'：BP=BP

：.ZBAG=ZPCB

在△436与4CBP中

<AG=CP

<ZBAG=ZPCB

IAB=BC

AAABG^ACBP(SAS)

：.BP=BG,ZABG=ZPBC

：.ZGBP=60°,BP=PG

：.PA=PB+PC

6、如图，RTZkABC中，AD为斜边3C的高，P为AD的中点，BP交AC于N,

3c于M。求证：MN2=AN-NCo

分析：要证明"尸=4"W。可将此式化为翳=费’然后利用相似三角形的

比例关系进行求解。

证明：延长B4、MN,交于点E。

•••△ABC是等腰直角三角形

ZEAN=ZMNC=90°

"：ZANE=ZMNC

：.ZC=ZE

：.LAEMsAMNC

,:AD〃MN

：.ZCNM=ZCAD

ZCMN=ZCDA

'：ZC=ZC

：.4CNMS4CAD

•MN_NC

*,ANMN

：.MN2=AN-NC

7、如图，△ABC内接于。。，A3是。。的直径，CD平分NAC3交。。于点D,

交A3于点R,弦AELCD于H,连接CE、0H。求证：OHLAC。

分析：要证明OHLAC,可用补短的方法，即延长/、AE,交于点即可证

OH//AC.即可证明OHLAC。

证明：延长C3交AE的延长线于点V。

,.♦A3为。。的直径

/.ZACM=9Q°

'：AM±CD,且CD平分NAC3

：.AH=HM,OA=OB

是AACE的中位线

OH//CM

又：ZACM=90°

：.OH±AC

8、以△ABC的边A3为直径作。。，。。与3c边的交点。恰好为3c的中点,

过点。作DELAC于E,DE为。。的切线。求一的值。

DC

分析：要求迫的值，可用补短的方法，即延长A4,过C作的延长

DC

线交于点即可求出名DF的值。

DC

解：延长D4至作CMLBM于航。

,点。为3c中点

.•.AD平分NA4c

AZDAE=60°,AD=AD

_________n

：.DE=y/AD--AE2=—AD

2

•.•。与。分别为A3、3C的中点

：.AC=AB=2AD

'：ZCAM=180°-120°=60°

：.AC=2AD

:.CM=%AC=6AD

：.AM=-AC=AD

2

：.OC=yjOM2+CM-=击AD

BADr-

.匹=2=叵

"DC41AD4

9、如图，直径A3、CD互相垂直，点“是AC上一动点，连接AM、MC.MB、

MD。

Affi>2_MC2

求证:为定值。

MA.MB

分析：要证明先算为定值'可用补短的方法,即延长皿过A作

40，4”,班/，”3,交4。的延长线于Ho

解：连接BC、AC、AD,作BH±MB交AD的延长线于H。

：CD为。。的直径

:.ACBD、△C4D为等腰直角三角形

ZCBD=/MBH=90°

：.ZCBM=ZDBH

'：ZBDH+ZMPB=ZMCB+ZMDC=1SO°

：.ZBDH=ZMCB

：.CB=DB

.•.在△MCB与△BDH中

,ZCBM=ZDBH

<CB=DB

LZBDH=ZMCB

AMCB咨ABDH

：.DH=MC

：.BM=BH

・•.△MBH为等腰直角三角

MH=MD+DH=MD+MC=0MB

同理可得：MD-MC=A/2MA

.MD?-MC?—(MD+MC)20MA.6MB=1

MA・MBMA,MBMA»MB

.MD2-MC2-

••-------------------2

MA.MB

经典练习题（二）

1.正方形ABC。中，E为BC上的一点，尸为CD上的一点,

BE+DF=EF,则ZEAF的度数为多少

解题思路：延长EB至点G,使得BG=DF,连接AG,可证明：4ABG沿AADF(SAS),

AZDAF=ZBAG,AF=AG,又；EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE：.AAEF(SSS)

ZEAG=ZEAF,,：ZDAF+ZEAF+ZBAE=9Q°：,ZEAG+ZEAF=9Q°,：.ZEAF=45°o

2.如图，在△ABC中，AB=AC,ZABC=40°,是NA2C的平分线，

延长BD至E,是DE=AD,则/EC4的度数为多少

解题思路：在BC上截取BF=AB,连DF,则有△A3。丝△尸2。，：.DF=DA=DE,又

ZACB=ZABC=40°,ZDFC=180°-ZA=80°,：.ZFDC=60°,

'：ZEDC=ZADB=180°-ZABD-ZA=180°-2Q°-100°=60°,：.4DCE冬4DCF,故

ZECA=ZDCB=40°.

3.已知：AC平分NBA。，CE±AB,ZB+ZD=