2023年初二数学最短路径问题知识归纳练习

初二数学最短途径问题

【问题概述】最短途径问题是图论研究中的一种经典算法问题，意在寻找图（由结点和途径构成的）中两结

点之间的最短途径.算法详细的形式包括：

①确定起点的最短途径问题-即已知起始结点，求最短途径的问题.

②确定终点的最短途径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终止结点，求最短途径的问题.

③确定起点终点的最短途径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短途径.

④全局最短途径问题-求图中所有的最短途径.

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.

【波及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.

【解题思绪】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考察.

【十二个基本问题】

【问题1】作法图形原理

•AA

------------1两点之间线段最短.

连AB,与/交点即为尸.

，BPA+PB最小值为AB.

B

在直线/上求一点P,使

阴+尸8值最小.

【问题2】“将军饮马”作法图形原理

A.A

•B作8有关/时对称点二两点之间线段最短.

-----------1

连A8',与/交点即为尸.B4+P8最小值为ABL

产・・;

在直线/上求一点尸，使B'

B4+P8值最小.

【问题3】作法图形原理

分别作点尸有关两直线的两点之间线段最短.

对称点尸‘和尸"，连PP",PM+MN+PN的1最小值为

乙,与两直线交点即为M,N.人线段PP'时长.

7M12

、尸“

在直线％上分别求点

M、N,使△PMN的1周长

最小.

【问题4】作法图形原理

ll

4

Q'

分别作点Q、尸有关直线

两点之间线段最短.

%的对称点。'和尸'

四边形尸QMN周长的最小

连0尸，与两直线交点即

值为线段PP'的长.

在直线%上分别求点为M,N.N­:

i

M、N,使四边形PQMNP'

的1周长最小.

【问题5】“造桥选址”作法图形原理

A.

____芋-A

m将点A向下平移MN时长

JnA两点之间线段最短.

N度单位得A',连A5交"

AM+MN+BN的J最小值为

于点N,过N作NM±m于

直线m//n,在7"、n,A'B+MN.

M.■B

上分别求点M、N,使MN

且AM+MN+BN的1

值最小.

【问题6】作法图形原理

A•AA'

•B将点A向右平移“个长度J

,■----I单位得A"作有关/的两点之间线段最短.

MaN

对称点A",连A"8,交直线AM+MN+BN的1最小值为

在直线/上求两点/于点N,将N点向左平;A"B+MN.

在左），使MN=a,并使移“个单位得M.A〃

AM+MN+NB的1值最小.

【问题7】作法图形原理

LhZ1

作点P有关乙的对称点点到直线，垂线段最短.

P',作尸AL4于8,交4PA+AB的最小值为线段P

于A.B时长.

在八上求点A,在/2上求

点B,使E4+AB值最小.

【问题8】作法图形原理

作点A有关％的对称点B'

两点之间线段最短.

A',作点8有关。的对称

AM+MN+NB的1最小值为

点B',连A'B,交％于M，

MB上线段4B'的长.

交。于N.

A为。上一定点,5为，2上

B

A，

一定点，在％上求点M，

在。上求点N,使

AM+MN+NB时值最小.

【问题9】作法图形原理

A.

A；垂直平分上时点到线段两

.B

-----------------1连A8,作A8区|中垂线与端点的距离相等.

直线/时交点即为P.

/p\PA-PB\=0.

在直线1上求一点P,使

\PA-PB\的值最小.

【问题10]作法图形原理

4.三角形任意两边之差不大

A

•B于第三边.|PA-PB|<

---------------/作直线A8,与直线/的交

点即为尸.PAB.

在直线/上求一点P，使

\PA-PB\曰勺最大值=A8.

\PA-PB时值最大.

【问题11]作法图形原理

A三角形任意两边之差不大

•A

作8有关/的对称点B'于第三边.|PA-尸耳W

•B作直线A8"与/交点即---------------:••1

AB'.

为尸.B

在直线/上求一点P，使

最大值=A夕.

\PA-PB时值最大.

【问题12]“费马点”作法图形原理

A

所求点为“费马点”，即满飞•一.

八足NAPB=NBPC=N

B----------------CAPC=120°.以A3、AC两点之间线段最短.

为边向外作等边△ABD、PA+PB+PC最小值=CD.

△ABC中每一内角都不大

△AC£,连CD、BE相交BC

于120°,在AABC内求

于尸，点尸即为所求.

一点P,使PA+PB+PC值

最小.

【精品练习】

1.如图所示，正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形A8C。内，在对角线AC上有

一点尸，使尸。+PE时和最小，则这个最小值为（）

A.2A/3B.2A/6C.3D.A/6

2.如图，在边长为2的菱形A8CD中，ZABC=60°,若将绕点A旋转，当A。、A。分别与8C、CD

交于点E、F,则aCEF的周长时最小值为（）

A.2B.2仙

C.2+73D.4

3.四边形A8CD中，ZB=Z£>=90°,/C=70。，在BC、CO上分别找一点M、N,使△AMN的周长最小时,

/AMN+/AW的度数为（)

A.120°B.130°C.110°D.140°

4.如图，在锐角△A8C中，AB=442.ZBAC=45°,N8AC的平分线交BC于点。，M、N分别是A。和A8

上的动点，则8M+MN时最小值是

5.如图，&AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=6,点E在AB边上，点£）在BC边上（不与点8、C重叠）,

且ED=AE,则线段AE的取值范围是.

6.如图，/AO8=30。，点M、N分别在边。4、08上，且。M=l,0N=3,点尸、Q分别在边。8、。4上,

则MP+尸Q+QN时最小值是..(注“勾股定理”：

即RtAABC中，ZC=90°,则有AC2+BC2=AB2)

7.如图，三角形△ABC中，/。48=/4。8=15。，点8在无轴的正半轴，坐标为8(6行，0).

0c平分/A08,点M在0C时延长线上，点N为边0A上的点，则MA+MN的最小值是.

8.已知A(2,4)、B(4,2).C在y轴上，。在x轴上，则四边形A8CD的周长最小值为

y

此时c、D两点的坐标分别为A

.B

0X

9.已知A(1,1)、B(4,2).

(1)尸为x轴上一动点，求尸5的