四川省眉山市仁寿第二中学2025届高三数学上学期第四次诊断试题文

PAGEPAGE1四川省眉山市仁寿其次中学2025届高三数学上学期第四次诊断试题文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1．已知集合，集合，则(CRA)∩B=A． B． C． D．2.若，则（）A． B．0 C．1 D．23．记为等差数列的前项和，已知，则（）A．15 B．16 C．19 D．204．己知则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．5．已知非零向量满意，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．6．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于（）A． B． C． D．7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A.7πB.8πC.9π D.10π8．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则异面直线AB与CE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（）A． B． C．2 D．410.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则为坐标原点的面积等于（）A． B． C． D．11.已知函数，其中，其图象关于直线对称，对满意的，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z）12.函数对随意的，都有成立，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.将一颗匀称的正方体骰子先后抛掷2次，视察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.14.若实数满意约束条件，则的最小值是___.15.已知椭圆的左焦点为，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为．16.已知点A，B，C，D在球O的表面上，且AB＝AC＝2，BC＝，若三棱锥A﹣BCD的体积为，球心O恰好在棱AD上，则这个球的表面积为．三、解答题（本大题共6个题，共70分）17.（本小题满分12分）已知是数列的前项和，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）设（1）求的单调增区间；（2）在锐角△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求△ABC面积的最大值．19.如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为，E是PC的中点（1）求证：PA∥平面BDE；平面PAC⊥平面BDE；（2）若∠COE＝30°，求四棱锥PABCD的体积．20.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大独创”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场探讨人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如表年月2024.102024.112024.122024.12024.22024.3x123456y111316152021（1）视察数据看出，可用线性回来模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）：（2）求y关于x的线性回来方程，并预料该公司2024年4月份的市场占有率；（3）依据调研数据，公司确定再选购 一批单车扩大市场，现有选购 成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲，乙两款车型报年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司确定先对两款单车各100辆行科学模拟测试，得到两款单车运用寿命表如下车型报废年限1年2年3年4年总计甲款10304020100乙测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除选购 成本之外的其他成本，假设每辆单车的运用寿命都是整数年，且用频率估计每单车运用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．假如你是该公司的负责人，你会选择选购 哪款车型？参考数据： 参考公式：相关系数,回来方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.21.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）对随意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，假如多做则按所做的第一题计分．22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满意，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）曲线上两点与点，求面积的最大值．23．【选修4-5不等式选讲】（本小题满分10分）

已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且，求的最小值．

文科数学(参考答案)1.A解：A＝{x|﹣2＜x＜3}，∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，（∁RA）∩B＝{x|x≥3}＝[3，+∞）．2.D解：因为，所以，所以，所以3.B设等差数列{an}的公差为d，由S5＝5，a6＝10，可得：5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5，a1+5d＝10，解出即可得出。设等差数列{an}的公差为d，∵S5＝5，a6＝10，∴5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5，a1+5d＝10，解得：a1＝－5，d＝3，则a8＝－5+7×3＝16．４.A解：∵，∴1＜b＜a，又，∴c＜b＜a．故选：A．５..B解：因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．６.C解：f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，当x＜0时，可得f（x）＝f（﹣x）＝ln（﹣x）+3x，即有x＜0时，f′（x）＝+3，则曲线y＝f（x）在点（﹣1．﹣3）处的切线斜率为3﹣1＝2，得切线方程为y+3＝2（x+1），令x＝0，可得y＝﹣1；令y＝0，x＝．则切线与两坐标轴围成图形的面积为×1×＝．故选：C．７.C由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，如图三棱锥P－ABC，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，易知外接球的直径2R＝eq\r(22＋12＋22)＝3，故S球＝4πR2＝9π.８.Ｂ解：因为AB∥CD，即∠ECD为所求，连接ED，则三角形CDE为直角三角形，不妨设AB＝2a，则DE＝a，EC＝3a，则sin∠ECD＝＝，故选：B．９.C解：令，，，∴，点在直线上，则，即，∵，，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．故选：C．１０.D解：设，，直线的方程为，将代入，消去可得，所以，．因为，所以，所以，则，，所以，所以，又，所以的面积．故选：D．１１.A解：已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满意|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝＝•，∴ω＝2．再依据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2x++）＝cos2x的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：A．12.D解：设h（x）＝f（x）﹣x3，则h'（x）＝f'（x）﹣3x2＞0，∴h（x）在R上为增函数，h（1）＝f（1）﹣13＝2024，而f（x）＜x3+2024⇔f（x）﹣x3＜h（1），即h（x）＜h（1），∴x＜1．故选：D．二．填空题13.依据题意可得基本领件数总为个.点数和为5的基本领件有，，，共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为.14.解:由实数x，y满意约束条件作出可行域如图所示，联立，解得B（3,1），由目标函数z＝lny﹣lnx＝ln，而的最小值为＝，∴z的最小值是．故答案为．15.解：取椭圆的右焦点F'，连接QF'，PF'，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF'为平行四边形，则|PF'|＝|QF|，∠FPF'＝π﹣∠PFQ＝180°﹣90°＝90°，|PF|＝3|QF|，而|PF|+|PF'|＝2a，所以|PF'|＝，所以|PF|＝，在RT△PFF'中，，解得：e＝，故答案为：．16.解：如图，由题意可知球心O为AD的中点，由AB＝AC＝2，BC＝可得△CAB为直角三角形，BC的中点M即为其外接圆圆心，∴OM⊥平面CAB，且D到平面CAB的距离为2OM，∴VA﹣BCD＝＝，∴OM＝，在直角三角形OMB中，r＝OB＝OM＝2，∴＝16π，故答案为16π．三、解答题（本大题共6个题，共70分）17．解：（1）因为，所以.相减得，2分所以，所以.又，解得，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即的通项公式为.6分（2）由（1）可得.8分所以.12分18.解：（1）f（x）＝cos2x﹣2cos2（x+）+1＝cos2x﹣cos2（x+）＝cos2x﹣cos（2x+）＝cos2x﹣cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x＝sin（2x+）， 3分 3分则由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z． 3分 6分（2）若f（）＝1，则sin（2×+）＝sin（A+）＝1，∵A是锐角，∴A+＝，得A＝． 2分 8分∵a＝1，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即1＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，∴bc≤1，当且仅当b＝c时取等号， 2分 10分则三角形的面积S＝bcsinA≤＝，即三角形面积的最大值为． 2分 12分19.【详解】解：（1）证明：连接OE，如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA．∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE； 3分 3分∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE； 3分 6分（2）若∠COE＝30°，取OC中点F，连接EF．由上可得OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF•tan30°＝a，∴OP＝2EF＝a．∴VP﹣ABCD＝×a2×a＝a3． 6分 12分20.解：（1）由参考数据可得，接近1，∴y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回来模型进行拟合； 4分 4分（2）∵，，．，∴y关于x的线性回来方程为．2024年4月份代码x＝7，代入线性回来方程得，于是2024年4月份的市场占有率预报值为23%； 4分 8分（3）用频率估计概率，甲款单车的利润X的分布列为X﹣50005001000P0.10.30.40.2E（X）＝﹣500×0.1+0×0.3+500×0.4+1000×0.2＝350（元）．乙款单车的利润Y的分布列为Y﹣3002007001200P0.150.40.350.1E（Y）＝﹣300×0.15+200×0.4+700×0.35+1200×0.1＝400（元）．以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择乙款车型． 4分 12分21.解：（Ⅰ）x＞0f（x）＝﹣x+lnx+1，∴ 2分 2分令f'（x）＞0，得0＜x＜1；令f'（x）＜0，得x＞1；∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）， 2分 4分（Ⅱ）不等式ax+lnx+1≤ex恒成立，等价于在（0，+∞）恒成立，令，， 2分 6分令h（x）＝（x﹣1）ex+lnx，x＞0，， 2分 8分所以h（x）在（0，+∞）单调递增，而h（1）＝0，所以x∈（0，1）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，g（x）单调递增；所以在x＝1处g（x）取得最小值g（1）＝e﹣1所以a≤e﹣1，即实数a的取值范围是{a|a≤e﹣1}． 4分 12分（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，假如多做则按所做的第一题计分．22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

解：（1）设的极坐标为（），的极坐标为（）．…1分

由题设知，．

由， ……3分

得，

所以的极