2024年高考物理一轮复习与训练：带电粒子在组合场中的运动（解析版）

训练二十带电粒子在组合场中的运动

【学问梳理】

1.组合场：电场与磁场各位于肯定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替消灭.

2.分析思路

⑴画运动轨迹：依据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图.

(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键.

⑶划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理.

3.常见粒子的运动及解题方法

电

场

中

一

带电

子

粒

分

在

的

离

场

电

场

磁

磁

运

中

场

动

中

题型一磁场与磁场的组合

【学问梳理】

磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小

相同，但轨迹半径和运动周期往往不同.解题时要充分利用两段圆弧轨迹的连接点与两圆心共线的特点，

进一步查找边角关系.

如图所示，在无限长的竖直边界/C和庞间，上、下部分分别布满方向垂直于平面/应C向外的匀强磁

场,上部分区域的磁感应强度大小为氏，OF为上、下磁场的水平分界线.质量为m、带电荷量为十1的粒

子从AC边界上与。点相距为a的P点垂直于4C边界射入上方磁场区域，经历上的0点第一次进入下方磁

场区域，0点与。点的距离为3a.不考虑粒子重力.

AD

4

P

Or•—__

Cl\E

(1)求粒子射入时的速度大小；

(2)要使粒子不从4,边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度大小反应满足的条件；

⑶若下方区域的磁感应强度8=3几粒子最终垂直庞边界飞出，求边界庞与/C间距离的可能值.

答案⑴(2)8］、竽(3)4z?a(72=1,2,3,­••)

解析(1)粒子在⑺上方的运动轨迹如图所示，

A\D

\''B；•：

0：；一祐丁「；一；一；；F

\-xR........：

c\............\E

设粒子做圆周运动的半径为兄由几何关系可知(A—a)2=(3a)2,则45a,由牛顿其次定律可知。啮

v左"日5aq风

=O，解得r=一必一.

⑵当粒子恰好不从ZC边界飞出时，其运动轨迹如图所示，设粒子在⑺下方做圆周运动的半径为人

由几何关系得n+ncos°=3a,

,,,八OQ3mi15a

由⑴x可知COS0=-=-所以Ti=q-,

K58

依据°加=叱，联立解得旦=学，故当反N学时，粒子不会从/。边界飞出.

Z133

5

(3)当8=3氏时，粒子的运动轨迹如图所示，粒子在⑺下方的运动半径为r=aa,设粒子的速度方向再次与

O

射入磁场时的速度方向全都时，粒子的位置为4点，则〃点与H点的连线肯定与在平行，依据几何关系

知阳=4a,所以若粒子最终垂直龙边界飞出，边界理与2C间的距离为£=〃阳=4侬(刀=1,2,3,…).

A；\D

题型二电场与磁场的组合

【学问梳理】

1.带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示.

2.带电粒子在匀强电场中做类平抛（或类斜抛）运动，在磁场做匀速圆周运动，如图所示

考向1先电场后磁场

【例2】（2018•全国卷I•25）如图，在y〉0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为£；在

7<0的区域存在方向垂直于才行平面对外的匀强磁场.一个气核;H和一个笊核汨先后从y轴上了=分点以相

同的动能射出，速度方向沿x轴正方向.己知;H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°,并从

坐标原点。处第一次射出磁场的质量为如电荷量为g.不计重力.求：

⑴田第一次进入磁场的位置到原点。的距离；

⑵磁场的磁感应强度大小；

（3）汨第一次离开磁场的位置到原点。的距离.

答案（1）半人（2）、/耳（3）乎（也—1）人

解析（1）；H在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示.设;H在电场中的加速

度大小为a,初速度大小为防，它在电场中的运动时间为3第一次进入磁场的位置到原点。的距离为si,

由运动学公式有国=%心①

由题给条件，;H进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角%=60°.；H进入磁场时速度沿p轴方向的重量的

大小为囱力i=以tan%③

联立以上各式得0=半胸

⑵;H在电场中运动时，由牛顿其次定律有°£=侬1⑤

设;H进入磁场时速度的大小为水，由速度合成法则有小=胃/+a:z⑥

设磁感应强度大小为6,也在磁场中运动的圆轨道半径为兄，由洛伦兹力公式和牛顿其次定律有

/2

QViB=­-~~⑦

A1

由几何关系得si=27?isin%⑧

联立以上各式得6=

(3)设汨在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为n,在电场中的加速度大小为a2,

由题给条件得32血/=]?/⑩

由牛顿其次定律有qE=2m&@)

设汨第一次射入磁场时的速度大小为小，速度的方向与X轴正方向夹角为外,入射点到原点的距离为S2,

在电场中运动的时间为t2.由运动学公式有S2=V2t2@

公)必⑬

V2'=7吸2+&t2，⑭

sin夕2=£^⑮

联乂以上各式得S2=Si,。2=。1,Vi—之V\'(J6)

设汨在磁场中做圆周运动的半径为胫，由⑦其成及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得

兄=啮^=@'⑰

所以出射点在原点左侧.设加进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为sj,由几何关系有

S2'=2尼sin夕2⑱

联立④⑧⑯©⑱式得，汨第一次离开磁场时的位置到原点。的距离为城一&=平(/一1)分.

考向2先磁场后电场

【例3】(2023•河北唐山市模拟)平面直角坐标系xOy中，直线如与x轴正方向的夹角为30°,其上方存

在方向垂直纸面对外的匀强磁场，下方存在匀强电场，电场强度方向与x轴负方向的夹角为60°,如图所

示.质量为以电荷量为g的带正电粒子以速度P从坐标原点沿y轴正方向进入磁场，经磁场偏转后由户点

进入电场，最终从x轴上的0点离开电场，已知0、尸两点间距离为£,P0连线平行于y轴.不计粒子重力，

求：

(1)匀强磁场的磁感应强度6的大小；

(2)匀强电场的电场强度£的大小.

3

答案⑴⑵VT

qLqL

2

解析(1)粒子在磁场中运动时(如图所示)，设轨迹半径为兄依据洛伦兹力供应向心力可得多

由几何关系有£=27fcos30°

联立解得5=今.

qL

(2)粒子进入电场时，速度方向与边界。的夹角为60°,由几何关系可知，速度方向和电场方向垂直.粒

子在电场中的位移x=〃0=£sin30°

又xsin30°=vt

C12

xcos30=2a^

Eq=ma

联立解得仁也甲.

考向3粒子多次进出电场、磁场的运动

【例41(2021•广东卷•14)图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区

域，圆a内为无场区，圆a与圆6之间存在辐射状电场，圆6与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇

环形匀强磁场区I、II和III.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面对外.电子以初动能风从圆

6上尸点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆6之间电势

差为〃圆6半径为此圆c半径为小兄电子质量为加，电荷量为e,忽视相对论效应，取tan22.5°=

0.4.

(1)当昂=0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角舛匀为45°,最

终从0点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求I区的磁感应强度大小、电子在I区磁场中的运动时

间及在0点出射时的动能；

⑵已知电子只要不与I区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射.当蜃=而〃时，要保证电子从出射区域

出射，求人的最大值.

,5-\leUmitR\]meU,.13

答案⑴士------T77-(2)—

eK4e〃6

解析(1)电子在电场中加速有落在I区磁场中，由几何关系可得_r=7?tan22.5°=0.47?

V2

依据洛伦兹力供应向心力有Biev=/n—

r

联立解得81=

"厅eR^

2j[二

电子在I区磁场中的运动周期为T=——

V

5

由几何关系可得，电子在I区磁场中运动的圆心角为0=1兀

电子在I区磁场中的运动时间为t=­T

联立解得力=三步’

4eU

电子从尸到0在电场中共加速8次，故在0点出射时的动能为艮=8eU

(2)设电子在I区磁场中做匀速圆周运动的最大半径为右，此时圆周的轨迹与I区磁场边界相切，

由几何关系可得(/瑞)2=/+储

解得r.=^R

2

依据洛伦兹力供应向心力有笈8%=)支

rm

12,

2eU=/v；—keU

13

联立解得k=-

o

【变式训练1】如图所示，一对足够长平行栅极板族"水平放置，极板与可调电源相连.极板外上方和下方

5

分别存在方向垂直纸面对外和向内的匀强磁场笈和5,笈和民的大小未知，但满足民=炉3,磁场左边界上

距〃板距离为2/的/点处的粒子源平行极板向右放射速度为r的带正电粒子束，单个粒子的质量为以电

荷量为Q,粒子第1次离开"板的位置为。点，已知。点距离磁场左边界距离为忽视栅极的电场边缘效

应、粒子间的相互作用及粒子所受重力.

A;空••用

...............................M

□P

trxxxxxxxxxxxxN

xxxxxxxxxxxx

XXXXJgXXXXXXX

xxxxxxxxxxxx

(1)求磁感应强度为的大小；

(2)当两板间电势差砺=0时，粒子经过下方磁场一次偏转后恰能从。点再次返回极板上方的磁场，求两板

间距d的大小；

/22

⑶当两板间所加的电势差砺=一不上时，在〃板上c点右侧尸点处放置一粒子靶(忽视靶的大小)，用于接

收从〃板上方打入的粒子.问当户点离磁场左边界多远的地方能接收到粒子？

答案⑴」(2)0.87(3)(1+1.36/7)7,〃=0、1、2、3、…

5(77

2

mv

解析⑴粒子从/点放射后运动到。的过程，洛伦兹力供应向心力。出=方

A1

54mv

由几何学问可得心(2LQ+/,解得/=下，

A送：：户：：：：：

卜:、■:：：：：：:“

氏防〈尸

tr:xxxxxxxxxxxXN1希^为xxxxxxxxxN

IXXXXXXXXXXXXI>RiLxXXXXXXXXX

[xxxxxxxxxxx

ixxxxxxxxxxxx

(2)粒子经过C点时的速度方向与竖直方向的夹角为明则cos。=4=0.8

Al

粒子进入磁场民之后，圆周运动半径为兄=勺=刍?1=,/,

qBz54

又由于otan9=R2cos解得d=0.8/

3

由此=%,得，粒子在民磁场中不会从左边界飞出.

⑶粒子到达a点后第一次在电场中向左运动距离Ax=$n，•七=。.64,

dm

粒子在8磁场中运动到最左边时，距。点距离xc=Ax+分-1=0.89/〈用

所以不会从左边界飞出，尸点离磁场左边界的距离为XP=l+n（21—0.647）=（1+1.36刀）1,/7=0、1、2、3、…

口.M

xxxxxxxxxxxxN

XXXXXXXXXXXX

xxxx^xxxxxx

XXXXX攵xxxxxx

强基固本练

1.（多选）（2023•辽宁沈阳市模拟）圆心为。、半径为〃的圆形区域内存在磁感应强度大小为反方向垂直

纸面的匀强磁场（未画出），磁场边缘上的/点有一带正电粒子源，半径如竖直，腑与物平行，且与圆形

边界相切于6点，在腑的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场，电场强度大小为笈当粒子的速度大小

为％且沿方向时，粒子刚好从6点离开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是

Vn

A.圆形区域内磁场方向垂直纸面对外B.粒子的比荷为喘

DK

兀RORR

C.粒子在磁场中运动的总时间为丁D.粒子在电场中运动的总时间为管

ZVo

答案ABD

解析依据题意可知，粒子从4点进入磁场时,受到洛伦兹力的作用，依据左手定则可知，圆形区域内磁

场方向垂直纸面对外，故A正确；依据题意可知，粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示

JI

依据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为尼粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为万,

2

Uh

依据洛伦兹力供应向心力有qvoB=nr^,

可得?故B正确；依据题意可知，粒子从夕点进入电场之后，先向右做减速运动，再向左做加速运动,

再次到达万点时，速度的大小仍为的再次进入磁场，运动轨迹如图乙所示.

则粒子在磁场中的运动时间为力磁=9=型，故C错误；粒子在电场中，依据牛顿其次定律有为=侬，解得

ZVo

a=@=粤，诙=a大结合对称性可得，粒子在电场中运动的总时间为力电=法=簟，故D正确.

mBRaE

2.（多选）（2023•广东省模拟）如图所示的平面直角坐标系xOy,在y轴的左侧存在沿y轴负方向的匀强电

场.在y轴的右侧存在垂直坐标平面对外的匀强磁场.一比荷为4的带正电粒子（不计重力）从x轴上的/

点以沿着与x轴正方向成6=53°角的初速度为开头运动，经过电场偏转从y轴的6点以垂直y轴的速度

进入磁场，磁场的磁感应强度大小为胎粒子进入磁场后电场方向变为沿y轴正方向.该带正电粒子经过

磁场偏转，粒子先后经过x轴上的，点、y轴上的，点，粒子经，点后，再次回到x轴上的4点，sin53°

43

=E，cos53°下列说法正确的是（）

55

A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为d

B.A.。两点之间的距离为3d

4VQ

C.匀强电场的电场强度为5

1阡-I-5jid

D.粒子从“点开头到再回到4点的运动时间为一了一

答案AD

解析设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为尼由几何关系可得出=兄OC=R,AC=OA+OC,粒

子从/到8做类斜抛运动，在夕点的速度方向与匀强电场垂直，由逆向思维可知粒子从夕到/做类平抛运

动，把粒子在4点的速度打分别沿x轴的正方向和y轴的正方向分解，设粒子在8点的速度为vB,则有的cos

2

9=VB,由洛伦兹力充当向心力有为及=吟，粒子从6到/做类平抛运动，沿x轴方向与y轴方向的位移

大小分别用力、神来表示，由类平抛运动的规律可得，过4点的速度K的延长线交于X方向分位移的中点,

由几何关系可得tan'=磊,结合八含,联立解得如=44c=2.5d,A正确'B错误；粒子

0F

在4点沿y轴正方向的分速度为方=云壮e,由类平抛运动的规律有/=2T•加，联立解得匀强电场的

电场强度为£=嬴C错误；粒子从/点到方点的运动时间源=然，粒子从夕点到〃点的运动时间为

JId

加=1而？依据运动的对称性可知,粒子从“点开头到又回到,点的运动时间为t=2…综合计算可

15+5兀d「十3

得t=F—，D正确.

3.平面直角坐标系xOy中，其次象限存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为£,第三、四象限存

在垂直坐标平面对里的匀强磁场，如图所示.一质量为0、带电荷量为g的正粒子从坐标为(一£,D的尸点

等，粒子其次次到达x轴的位置为坐标原点.不计粒子的

沿y轴负方向进入电场，初速度大小为乐

(1)求匀强磁场的磁感应强度6的大小;

等，求粒子其次次到达x轴时与坐标原点的距

⑵若粒子由尸点沿x轴正方向入射，初速度仍为两

离.

答案(1)4-

”qL⑵乎4

解析⑴由动能定理得EqL^mv—^mv^

4EqL

粒子进入磁场时速度大小为片

m

2

在磁场中L=2R,qvB=—

K

mE

联立可得8=4

qL

(2)假设粒子从p轴离开电场，运动轨迹如图所示

L=vot,

P='2a/,

Eq='ma

联立解得K=3乙假设成立

Vy--at

速度偏转角tane=-

Vo

第一次到达X轴的坐标为=>1=)

tan〃2

my'

在磁场中*=r

QB

,八2勿/八2mvy\/2

用=27?sin。=-----sin夕=—-=~rL

qbqb4

粒子其次次到达x轴的位置与坐标原点的距离为

,6+^2

X—X\-VX1-----

4.如图所示，x沙平面内，。夕与x轴正方向的夹角为。=53°,在不利范围内(含边界)存在垂直于坐标

平面对里的匀强磁场，磁感应强度大小为6=0.1T.其次象限有平行于y轴向下的匀强电场，电场强度大

小为£=票XIO,v/m.一带电微粒以速度Ko=5X106m/$从x轴上。(£,0)点平行于8射入磁场，并从

力上的，点垂直于8离开磁场，与y轴交于c点，最终回到x轴上的，点，图中6、d两点未标出.已知

543.一

L=-m,sin53°=-,cos53°=~,不计微粒的重力，求：

455

(D微粒的比荷?

(2)，点与。点的距离1;

(3)仅转变磁场强弱而其他条件不变，当磁感应强度且大小满足什么条件时，微粒能到达第四象限.

答案(l)5X107C/kg(2)4m(3)H20.2T

解析(1)微粒在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系得r=/sin53°=1m

2

由牛顿其次定律得qvoB=*

代入数据解得2=5X1。'C/kg

Icos53°-I—r

(2)微粒进入电场后做类斜抛运动.由几何关系得加=—.

sin53

在y轴方向有Xoc=—votcos53°+£义华/

在x轴方向有1=及方sin53°

解得，=4m

⑶微粒在磁场中做匀速圆周运动的轨迹与边界0P相切时，恰好能到达第四象限.

由几何关系知A=,£sin53°

2

由牛顿其次定律得qwB尸睚

解得瓜=0.2T,故当磁感应强度820.2T时，微粒能到达第四象限.

5.(2023•湖北宜昌市联考)如图所示，在矩形区域48切内存在竖直向上的匀强电场，在苑右侧I、II两

区域存在匀强磁场，心、心、及是磁场的边界(8C与A重合)，宽度相等，方向如图所示，区域I的磁感应强

度大小为尻一电荷量为+/质量为0的粒子(重力不计)从/。边中点以初速度的沿水平向右方向进入电场，

粒子恰好从6点进入磁场，经区域I后又恰好从与8点同一水平高度处进入区域II.已知46长度是比长度

的4倍.

⑴求带电粒子到达6点时的速度大小；

⑵求区域I磁场的宽度L-,

(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域II中的磁感应强度5的最小值.

答案⑴"辱(2)2平黑(3)1.

解析(1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为％与水平方向成个角，粒子在匀强电场中做类平抛运动,

由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有tan夕=?=*,则。=30。

LABJ

依据速度关系有■=0万=第3

COS83

V2

⑵设带电粒子在区域I中的轨道半径为人由牛顿其次定律得。加=纭，轨迹如图甲所示：

甲

由几何关系得/=为,联立解得手;

(3)