2025年中考数学复习题型之分类讨论试题（含解析）

题型06分类探讨试题

1.在平面直角坐标系中，已知出b,设函数'=（工+。）（尤+6）的图像与x轴有〃个交点，函数

>=（izx+l）（bx+l）的图像与x轴有"个交点，则（）

A.M=N-1或/=N+1B.A/=N-l或M=N+2

C.M=N或M=N+1D.M=N或M=N-1

【答案】C

【分析】先依据函数y=（尤+4）（x+b）的图像与X轴有〃个交点解得河=2,再对a,6分状况探讨，求得

答案.

【详解】对于函数y=（尤+"）（尤+6）,当y=0时，函数与X轴两交点为（一a,0）、（一6,0）,

'：a1b,所以有2个交点，故A/=2

对于函数>=（3+1）（法+1）

①交点为（—,0）,（—,0）,此时N=2=>M=N

ab

②a=0,bw0,交点为（-Lo）,此时7V=lnM=N+l

b

③b=0,aw0,交点为（―1,0）,此时N=lnM=N+l

a

综上所述，M=N或M=N+l

故选C.

【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是分状况探讨a,b.

2.如图，已知矩形ABCD,一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的

内角和分别为舷和N,则M+N不行能是（）.

A.360°B.540°C.720°D.630°

【答案】D

如图，一条直线将该矩形被力分割成两个多边（含三角形）的状况有以上三种,

①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，

此时矩形分割为一个五边形和三角形，

肝共540°+180°=720°；

②当直线经过一个原来矩形的顶点,

此时矩形分割为一个四边形和一个三角形,

③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点,

此时矩形分割为两个三角形,

3.已知是正六边形跖的外接圆,产为。。上除C、2外随意一点，则的度数为（）

B.30°或150°

C.60°D.60°或120°

【答案】B

【分析】连接OC,OD,分尸点在优弧。力上时与尸点在劣弧切上时两种状况，依据圆周角定理进行解答即

可.

【详解】解：连接OC,0D,

六边形ABCDEF为正六边形,

：.ZCOD=60°,

如图1,当尸点在弧。2上时,

ZCPD=-ZCOD=30°；

2

图i

如图2,当户点在弧缪上时，

1

ZCPD=-(360°-/COD)=150°.

2

故选区

【点睛】本题主要考查正六边形的性质，圆周角定理，解此题的关键在于娴熟驾驭其学问点，依据题意分

状况进行探讨.

4.数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1c处若在数轴上画出一条长2024c〃的线段47,

则盖住的整点个数是()

A.2024或2024B.2024或2024C.2024D.2024

【答案】A

【分析】依据线段的位置分为两种：起点在整点、不在整点两种，分别得到整点的个数即可.

【详解】依题意得：①当线段46起点在整点时覆盖2024个数；

②当线段46起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2024个数.

故选：A.

【点睛】此题考查了利用数轴确定有理数的个数.

5.已知等腰三角形的三边长分别为。、氏4,且a、6是关于x的一元二次方程£一12%+"/+2=0的两根，

则m的值是()

A.34B.30C.30或34D.30或36

【答案】A

【分析】分三种状况探讨，①当a=4时，②当斤4时，③当炉6时；结合韦达定理即可求解；

【详解】解：当。=4时，b<8,

,a、Z?是关于左的一元二次方程炉―i2x+m+2=0的两根，

：A+b=12,

.•.b=8不符合；

当匕=4时，。<8,

a、是关于x的一元二次方程/一12%+加+2=0的两根，

.4.4+。=12,

，。=8不符合；

当a=Z?时，

■a、Z?是关于x的一元二次方程为2—12%+加+2=0的两根，

12=2a=2/7,

:.a=b=6,

:.m+2=36,

.,.加=34；

故选：A.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；依据等腰三角形的性质进行分类探讨，结合韦达定理和

三角形三边关系进行解题是关键.

6.二次函数尸3+(a-2)矛+3的图象与一次函数尸x(1WXW2)的图象有且仅有一个交点，则实数a的

取值范围是()

A.a=3±2也B.-lWa<2

C.a=3+26或-gwa<2D.a=3-26或-lWa<-g

【答案】D

【分析】依据二次函数的图象性质即可求出答案.

【详解】由题意可知：方程Y+(z2)a3=*在1忘才或2上只有一个解，

即7+(a-3)%+3=0在lWx/2上只有一个解，

当△=()时，

即(a-3)2-12=0,

5—3土2，

当天3+26时，

此时户-也，不满意题意，

当年3-2g时，

此时奸6,满意题意，

当△>()时，

令y=x+(a-3)x+3,

令户1,尸界1,

令后2,尸2Kl

(5+1)(2a+l)WO

解得：TWaW—，

2

当3=-1时，此时x=\或3,满意题意；

1、3

当k-一时，此时产2或产一，不满意题意，

22

综上所述，之二3-2或-1.

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是将问题转化为*+(廿3)x+3=0在1WXW2上只有一

个解，依据二次函数的性质即可求出答案

二、填空题

7.如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边5。,。。分别在％轴，,轴上，A点的坐标为(-8,6),点尸

在矩形A30C的内部，点片在80边上，满意APBESACBO,当AAPC是等腰三角形时，P点坐标为

【分析】依据题意分状况探讨：①当尸点在AC的垂直平分线上时，点尸同时在5C上，AC的垂直平分线

与的交点即是E,依据APBEsACBO求出&；②尸点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧

与5c的交点为尸，过点尸作尸于依据AFBESACBO,求出尸£,BE,则可得到0£,故

而求出点P点坐标.

【详解】解：•••点P在矩形ABOC的内部，且AAPC是等腰三角形，

，P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；

①当尸点在AC的垂直平分线上时，点尸同时在上，AC的垂直平分线与80的交点即是E,如图1

所示：

VPELBO,COLBO,

PEI/CO,

：.APBE②ACBO,

•••四边形AB0C是矩形，A点的坐标为(—8,6),

二点P横坐标为-4,0C=6,B0=8,BE=4,

"?APBEs\CBO,

PEBEPE4

•.-------,即nn----=—,

COBO68

解得：PE=3,

...点P(-4,3)；

②尸点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P,

过点P作于E,如图2所示：

COLBO,

/.PE//CO,

：.APBEsACBO,

•••四边形4B0C是矩形，A点的坐标为(-8,6),

AAC=B(9=8,CP=8,AB=OC=6,

­•BC=VBO2+0C2=V82+62=10-

BP=2,

,/APBEsACBO,

PEBEBPPEBE2

・・--=----=----,n即n:---=----=---,

COBOBC6810

解得：PE=《,BE=丁

•・38一|=方

综上所述：点尸的坐标为：(一~丁,丁)或(-4,3)；

【点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相像三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性

质.

8.半径为5的：。是锐角三角形ABC的外接圆，连接OB、0C,延长CO交弦A5于点。.若

05。是直角三角形，则弦的长为

【答案】56或50

【分析】分/0D炉90。与NDOB=90。两种状况分别进行求解即可.

【详解】如图1,当NODB=90时,

即CC

AD=BD，

AC=BC,

AB=AC,

.•▲ABC是等边三角形,

ZDBO=30，

OB=5,

..5。=OBcos30°=逑

2

BC=AB=56

如图2,当NDOB=90，

ZBOC=90，

.'BOC是等腰直角三角形，/如上45°,

BC=°B=572,

cos45°

综上所述，若,OBD是直角三角形，则弦的长5有为或5加，

故答案为56或5JL

【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等，

正确把握和敏捷运用相关学问是解题的关键.留意分类探讨思想的运用.

9.把边长为2的正方形纸片A3CD分割成如图的四块，其中点。为正方形的中心,点瓦/分别是AB,AD

的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形"NPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边

形MNP。的周长是.

【答案】10或6+20或8+2血

【分析】先依据题意画出图形，再依据周长的定义即可求解.

【详解】如图所示：

图1的周长为1+2+3+2应=6+2也；

图2的周长为1+4+1+4=10；

图3的周长为3+5+72+72=8+272.

故四边形网附的周长是6+20或10或8+2夜.

故答案为：6+20或10或8+2血.

【点睛】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形施倒（要求这四块纸片不重叠无

缝隙）的各种状况.

10.如图，在平面直角坐标系x0y中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点A的坐标为

（5,0）,点8在x轴的上方，钻的面积为万，则钻内部（不含边界）的整点的个数为.

o

【答案】4或5或6.

【分析】依据面积求出8点纵坐标为3,结合直角坐标系，作图视察即可求解.

【详解】设8（典〃）

:点力的坐标为（5,0）

：.OA=5,

•.•△A06的…面3积=—1X5X/F1一5

22

72=3,

结合图像可知：

当2V）＜3时，有6个整点；

9

当2c必<—时，有5个整数点；

2

当炉3时，有4个整数点，

故答案为4或5或6.

【点睛】此题主要考查点的坐标，解题的关键是熟知直角坐标系的坐标特点.

11.如图，AB为。的直径，C为。上一点，过8点的切线交AC的延长线于点。，E为弦AC的中

点，A£>=10,BD=6,若点P为直径AB上的一个动点，连接石P,当AAEP是直角三角形时，AP的

长为.

【分析】依据勾股定理求出4?,由△83△/龙得到比例式求出切的长，当A4EP是直角三角形时，分

//890°和/加石=90°两种状况进行探讨，可求出/尸长有2种状况.

【详解】解：连接宽

.过8点的切线交AC的延长线于点

:.AB±BD，

AB=A/A£)2-B£>2=V102-62=8,

当ZAE7^90°时，AE=EC,

,石尸经过圆心。，

AP^AOA；

当//1?石=90°时，则EP//BD,

,APAE

,AB-AD'

*8是直径,

AZACB=90°.

比。=90°.

■:/BCD=/ABD,N2是公共角,

丛BC"丛ABD.

.BDCD

"AD~BD

DB-^CDAD，

"0=10—3.6=6.4,

AE—3.2,

,AP3.2

810

AP=2.56.

综上AP的长为4或2.56.

故答案为4或2.56.

【点睛】本题考查的是切线的性质和相像三角形的判定与性质，娴熟驾驭圆的性质是解题的关键.

12.在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A(—2,4),5(T,0),0(0,0).以原点。为位似

中心，把这个三角形缩小为原来的;，得到..CDO,则点A的对应点C的坐标是

【答案】(—1,2)或(1,—2)

【分析】依据位似图形的中心和位似比例即可得到点A的对应点C

【详解】解：以原点。为位似中心，把这个三角形缩小为原来的;，点A的坐标为(-2,4),

.••点C的坐标为(―2xg,4*g)或(2义g,—4x；),即(―1,2)或(1,—2),

故答案为：(―1,2)或(1,—2).

【点睛】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要留意方向.

13.在口A3CD中,£是助上一点，且点£将/。分为2：3的两部分，连接庞、”相交于凡则右^：

是.

【答案】4:25或9:25

【分析】分AE：ED=2：3、AE：&=3：2两种状况，依据相像三角形的性质计算即可.

【详解】解：①当A£：£Z)=2：3时，

•.•四边形4四是平行四边形，

:.AD//BC,AE：6a2：5,

AAEFSACBF,

7

,q•q—(—>=4:25；

••0AAEF**ACBF

5

②当AE：田=3：2时,

3

同理可得，S^F：Sw（-）2=9：25.

故答案为：4：25或9：25.

【点睛】考查的是相像三角形的判定和性质、平行四边形的性质，驾驭相像三角形的面积比等于相像比的

平方是解题的关键.

14.如图，在心△被7中，/俏90°,/俏3,能=4,点£,尸分别在边比；AC上，沿鳍所在的直线折叠/C,

使点C的对应点，恰好落在边46上，若△珏。和△力回相像，则4?的长为—.

【答案】:0或|5

【分析】△侬'与△/比'相像，分两种状况：①若CF：。层3：4,此时打〃48,看?为4?边上的高；②若密

上3：4,由相像三角形角之间的关系，可以推出/左/以力与/小/人口，从而得到缁/场被即。点为

4?的中点.

【详解】若△呼与△/氏?相像，分两种状况：

①若CF-.C夕3：4,

'：AC：B（=3：4,

：.CFxC序AC：BC,

：.EF//AB.

连接CD,如图1所示:

A

由折叠性质可知，CDLEF,

：.CDLAB,即此时切为48边上的高。

在成△被7中，；//巾=90°,力e3,BO4,

.,.^^AC2+BC2=5,

.・.皿月:丝S

AB5

39

AD=AC-cosA=3X—=—；

55

②若CE：67^3：4,

\'AC：除3：4,N信NC,

,:XCEFs^CAB,

:./CE2/A.

连接切，如图2所示：

由折叠性质可知，ZCEF+ZECD=^°,

又：/力+/庐90°,

：./B=2ECD,

：.BD=CD.

同理可得：AA=AFCD,AD=CD,

点为46的中点，

95

故答案为：g或5

【点睛】此题考查三角形相像，勾股定理，三角函数，解题关键在于分状况探讨

15.一张直角三角形纸片ABC,ZACB=90，AB=10,AC=6,点。为边上的任一点，沿过点。

的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点石处，当△SDE是直角三角形时，则的长为.

【答案】3或半

【分析】依据沿过点〃的直线折叠，使直角顶点。落在斜边/方上的点£处，当△皿应是直角三角形时，分

两种状况探讨：/吩90°或/瓦片90°,分别依据勾股定理或者相像三角形的性质，即可得到。的长

【详解】分两种状况：

①若ZD£B=90，则ZAE0=9O=NC，CD=ED,

连接AD,则WAACDMR/AAEAD(4L),

.-.AE=AC=6,BE=lQ-6=4,

设CD=D£=x,则50=8—x,

RtABDE中，DE1+BE2=BD2

%2+42=(8-X)2,

解得x=3,

CD=3；

②若ZBDE=90，则/。。£=/。跖=/。=90，CD=DE,

四边形CDEF是正方形，

：.ZAFE=/EDB=94,ZAEF=ZB，

.-.AAEF-AEBD，

AF_EF

,~ED~~BD'

设CD=x,则EF=DF=x,AF=6—%,BD=8—x,

6-x_x

••一,

x8-x

24

解得*=3，

24

:.CD=—,

7

24

综上所述，CD的长为3或三，

24

故答案为：3或三.

【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形

16.如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=3&6,点P是A。的中点，点E在上，CE=2BE,点、M、

N在线段上.若APMN是等腰三角形且底角与N0EC相等，则肱V=.

8

【分析】分两种状况：①仞V为等腰A/W的底边时，作依，儿W于尸，则NPE0=ZP7W=9O°,由

矩形的性质得出=CD,

3C=AD=3AB=3而，ZA=ZC=90°,得出AB=CD=VI5，BD=VAS2+AD2=10-证明

pppD3

APDFABZM,得出——=—，求出尸尸=三，证出CE=2CD,由等腰三角形的性质得出板=,

ABBD2

NFCE

NPNF=NDEC,证出MWADEC,得出一=—=2,求出N/=2PP=3,即可得出答案;

PFCD

②腑为等腰4/W的腰时，忤PF1BD千F,设吩吩x,贝U册3-x,在Rt丛PNF中,由勾股定理得出方程,

解方程即可.

【详解】分两种状况：①仞V为等腰A/W的底边时，作PEL肱V于歹，如图所示:

则ZPFM=ZPFN=90°,

「四边形ABCD是矩形，

■■AB=CD,BC^AD=3AB=3>/10,ZA=ZC=90°,

：.AB=CD=M，BD=\JAB2+AD-=10，

「点P是AD的中点，

，PD」AD=①，

22

ZPDF=ZBDA，

APDFABDA，

竺=竺，即反甲

ABBD丽二丁

3

解得：PF=~

CE=2BE,

BC=AD=3BE,

BE=CD,

CE=2CD,

APMN是等腰三角形且底角与/DEC相等，PFLMN,

■-MF=NF,ZPNF=ZDEC,

ZPFN=ZC=90°,

APNFNDEC,

NFCE

——=——=2,

PFCD

NF=2PF=3,

MN=2NF=6-.

②腑为等腰4/W的腰时，作小，如于凡如图所示,

没MN=PN=x,则7W=3—x,

在RJPNF中,(I)+(3—x)2=J,

解得：x=—,即MN="，

88

综上所述，腑的长为6或”.

8

【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相像三角形的判定与性质、勾股定理等学问；娴熟

驾驭矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相像是解题的关键.

17.在平行四边形4颇中，NA=30°,AD=，BD=4,则平行四边形46缪的面积等于.

【答案】16g■或8班

【分析】过点刀作胆力8,垂足为£,分点£在/夕上或48的延长线上两种状况，分别利用三角函数求出

AE,庞的长，利用勾股定理求出座的长，继而可得丝的长，然后利用平行四边形的面积公式进行求解即

可.

VZ^=30°,:.D±ADsiriiO。=2百，4良A9cos30°=6,

在Rt丛DBE中,BNBD?-DE?=2,

：.AB=AE+B^,

，平行四边形"6切的面积为8x26=166；

如图2,点后在的延长线上，

"：ZA=30°,：.DF=ADsin30°=2^3<A^ADcos300=6,

在放△小中，B^BD?-DE?=2,

:.A片AqB斤4,

，平行四边形加力的面积为4x28=8百，

故答案为：16月或8石.

【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的面积，正确地画出图形是解题的关键.

3

18.如图，直线y=——3交》轴于点A，交》轴于点3,点P是％轴上一动点，以点P为圆心，以1

个单位长度为半径作；P,当P与直线A5相切时，点P的坐标是

【分析】依据函数解析式求得A(-4,0)，3(0,—3),得到Q4=4,03=3,依据勾股定理得到A5=5,

设0P与直线AB相切于。，连接P£＞，则PD=1，依据相像三角形的性质即可得到结论.

3

【详解】•・•直线y=--%-3交x轴于点4交y轴于点8,

4

・,•令x=0,得y=-3,令y=0,得x=-4,

：.A(-4,0),B(0.-3),

・••物=4,0B=3,

：.AB=5,

设。〃与直线Z8相切于〃

如图所示：连接如，

贝49=1,

VZADP=ZAOB=90°,/PAD=/BAO,

：./\APD^/\AB0,

.PDAP

"OBAB?

.1AP

••一=,

35

5

・•・"=一,

3

7、17

0P=—或0P=—,

33

717

:・PQ—-,0)或尸(—-，0).

33

【点睛】考查了切线的判定和性质、一次函数图形上点的坐标特征、相像三角形的判定和性质，解题的关

键正确的理解题意，分两种状况解析.

3

19.如图，在矩形4?中，AB=\,BC=a，点、E在边8c上,且3后=11.连接/£,将AABE沿力£

折叠，若点8的对应点5’落在矩形/四的边上，则a的值为.

【答案】9或正

33

【分析】分两种状况：①点8’落在4?边上，依据矩形与折叠的性质易得即可求出a的值；②点

B落在"边上，证明^ADBuAB'CE，依据相像三角形对应边成比例即可求出a的值.

【详解】解：分两种状况：

①当点8,落在丝边上时，如图L

v四边形4%/是矩形，

:.ZBAD=ZB=9Q°，

■■将AABE沿/£折叠，点6的对应点3,落在/〃边上,

ZBAE=ZB'AE=-ZBAD=45°,

2

AB=BE，

②当点E落在切边上时，如图2.

•..四边形465是矩形，

/BAD=ZB=ZC=ZD=90°,AD=BC=a.

;将MBE沿四折叠，点6的对应点3'落在CD边上，

3

:.ZB=ZAB'E=90°-AB=ABEB=EB=-a,

_____________32

=A/BA2-AD2=71-«2-EC=BC-BE=a--a=-.

在AAC®与AB'CE中，

ZB'AD=ZEB'C=90°-ZAB'D

ZD=ZC=90°

AAD5oA5CE，

DBAB业二£1=J_

即23

CEBE—a—a

55

解得q=&，4=0（舍去）.

3

综上，所求a的值为3或好

33

故答案为9或好

33

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形态和大小不变，

位置改变，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质，勾股定理，相像三角形的判定与性质.进行分类

探讨与数形结合是解题的关键.

20.如图，中，ZC=90°,AC=12,点。在边上，CD=5,3。=13.点「是线段4£>上

一动点，当半径为6的圆P与A4BC的一边相切时，AP的长为.

【分析】依据勾股定理得到AB=J122+182=6月，A£)=VAC2+C£>2=13-当。户于成相切时，

点一到8c的距离=6,过P作PH1BC于H,则小6,当。尸于4?相切时，点尸到四的距离=6,依据相像三

角形的性质即可得到结论.

【详解】：在心△/a'中，ZG=90°,AO12,即0>18,

.，•AB=V122+182=6A/13'

在股中，Z(=90°,AC=12,CD=5,

；•AD=VAC2+co2=13-

当。〃于8c相切时，点尸到比的距离=6,

VZ0900

：.ACVBC,

：.PH//AC,

:.△DPHS^DAC,

.PDPH

"DA-AC'

•PD一6

••一,

1312

・,,月庐6.5,

...仍6.5；

当。户于46相切时，点9至U/6的距离=6,

过户作RLL怒于G,

则G6,

氏盼13,

/PAG^/B,

'：ZAG/^Z(=90°,

：.△AG》XBCA,

.APPG

*'ABAC'

.AP_6

"6V13-12，

:.A六3岳,

,：&9=5<6,

半径为6的。户不与△被7的47边相切，

综上所述，4P的长为6.5或3万，

故答案为6.5或3旧.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相像三角形的判定和性质，娴熟正准确线的性质是解

题的关键.

三、解答题

21.如图，直线y=-X+3与X轴、》轴分别交于8、C两点，抛物线y=—炉+云+。经过点3、C,与无

轴另一交点为A,顶点为£).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在刀轴上找一点E,使EC+田的值最小，求EC+ED的最小值；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点尸，使得NAPfi=NOCB?若存在，求出尸点坐标；若不存在，

3

【答案】⑴y=-x2+2x+3；(2)E(-,0)；(3)(1,可―石)或(1,6—麻).

【分析】由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将反。两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线

的解析式.

作点C关于无轴的对称点C，，连接CD'交”轴于点E,则此时EC+ED为最小，再将CD的坐标代入一

次函数表达式即可解得

分别求出点户在x轴的位置即可.

【详解】解：(1)直线y=-x+3与x轴、》轴分别交于5、。两点，则点3、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),

—9+3b+c=0[Z?=2

将点8、C的坐标代入二次函数表达式得：<、，解得：\

c=3[c=3

故函数的表达式为：y=-x2+2x+3,

令y=0,则％=—1或3,故点4(—1,0)；

(2)如图1,作点。关于％轴的对称点C,连接CD'交》轴于点E,则此时EC+田为最小，

图1

函数顶点坐标为(1,4),点C(0,-3),

将CD的坐标代入一次函数表达式并解得:

直线CD的表达式为：y=7x—3,

3

当y=0时，x=—,

7

3

故点石(一,九)；

(3)①当点尸在1轴上方时，如下图2,

VOB=OC=3,则NOCB=45O=NAPB,

过点B作朋，AH,设PH=AH=m,

则PB=PA=V2m，

由勾股定理得：AB2=AH2+BH2^

16=m2+{\[lm-m）2,解得：加=且巫（负值已舍去），

2

则P6="〃=l+屈，

22

则yP=7（1+A/33）+2=屈-5

②当点P在％轴下方时，

则%=-（而-®

故点P的坐标为（1,J16-百）或（1,百—710）.

【点睛】本题考查二次函数，娴熟驾驭二次函数的运算法则是解题关键.

22.如图，在矩形ABCZ）中，AD=4cm,AB=3cm,E为边BC上一点、,BE=AB,连接AE.动点尸、Q

从点A同时动身，点P以J&m/s的速度沿AE向终点E运动；点。以2m/s的速度沿折线AD-OC向

终点C运动.设点0运动的时间为x（s）,在运动过程中，点、P,点。经过的路途与线段P。围成的图形面

积为y（c"）.

WAE=cm,ZEAD=°；

⑵求》关于x的函数解析式，并写出自变量尤的取值范围；

⑶当=机时，干脆写出龙的值.

4

B

7

【答案】(1)3行，45；(2)y=x2(0<x<2),y=-/+8尤一8(2<x<3),y=x+4(3<x<-)；

(3)逑或”.

88

【分析】(1)由勾股定理可求/£的长，由等腰三角形的性质可求/氏的度数；

(2)分三种状况探讨，由面积和差关系可求解；

(3)分三种状况探讨，由勾股定理可求解.

【详解】解：(1)•.,/斤3。0，BE=AB="icm,

.•.胫办/+BE?=3虎cm,/期后/庞4=45°,

VZJS4Z>90°,

二/物层45。

故答案为：3夜，45；

(2)当0<启2时，如图，过点户作"工/。，

■：A占叵x,N%后45°,PFLAD,

:.P户FAF,

12

尸SMQA—X4QXP六x；

2

(2)当2VxW3时，如图，过点〃作杼工

D

■:PF^A挡x,Q-

:,DQ4-x,

y=—x+—(2『4+x)(4-jr)=-*+8r8；

22

7

当3VxW—时，如图，点P与点£重合.

2

■:CB(3+4)-2"7-2x,C±4-3=\cm,

：.y=-(1+4)X3--(7—2x)Xl=x+4；

22

(3)当0VxW2时，

,:Q六A打x,PFLAD,

C.PQ^AP,

5

*.*PQ^—cm,

4

A/2广—，

4

.5V2

••x-------;

8

当2〈忘3时，过点？作题J_5,

.•.四边形阳”是矩形,

:.PgD氏4-2x,MD=PF^x,

MQ=x-(2『4)=4~x.

■:MP+MgPQ,

25

二(4-2x)2+(4-x)

16

VA<0,

二方程无解，

7

当3cxW一时,

2

■:pgcP'CG,

25、2

一=1+（7-2x）2,

16

25

•.产,

8

综上所述：产”或述.

88

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类探讨

思想解决问题是本题的关键.

37

23.如图，已知；A的圆心为点（3,0）,抛物线丁=依2——x+c过点A，与©A交于6、。两点，连接A6、

6

AC,且45,AC,B、C两点的纵坐标分别是2、1.

（1）请干脆写出点8的坐标，并求。、c的值;

（2）直线V=米+1经过点3,与％轴交于点。.点E（与点。不重合）在该直线上，且AD=AE,请

推断点E是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）假如直线y=%x-1与14相切，请干脆写出满意此条件的直线解析式.

【答案】（1）B（2,2）,«=f,c=ll；（2）点E在抛物线上，见解析；（3）满意条件的直线解析式为:

6

y=%―1或y=2x-l.

【分析】⑴证明尺ZABR4g4AASC（A4S）,即可求解；

（2）点E在直线BD上，则设E的坐标为+由AO=AE,即可求解;

（3）分当切点在x轴下方、切点在x轴上方两种状况，分别求解即可.

【详解】解：（1）过点8、C分别作为轴的垂线交于点H、S,

•/ZBAR+ZRAB=9Q°,ZRAB+ZCAS=9Q°,

：.ZRAB=ZCAR,又AB=AC,

RtABRAqRA4SC（A4S）,

AS=BR=2,AR=CS=1,

故点3、C的坐标分别为（2,2）、（5,1）,

37

将点8、。坐标代入抛物线丁=依2——X+C并解得：

6

5一

a=—,c=ll,

6

S37

故抛物线的表达式为：y=———--x+11；

66

（2）将点3坐标代入了=履+1并解得：y=^x+l,则点。（—2,0）,

点A、B、C,。的坐标分别为（3,0）、（2,2）、（5,1）、（-2,0）,

则=5,

点E在直线BD上，则设E的坐标为+

VAD=AE,则52=（3—+,

解得：x=-2或6（舍去一2）,

故点E（6,4）,

S37

把x=6代入y=—x?---x+ll=4,

66

故点E在抛物线上；

（3）①当切点在左轴下方时，

设直线y=—1与（A相切于点X,直线与左轴、》轴分别交于点K、G（O,-1）,连接G4,

AH=AB=下,GA=W，

ZAHK=ZKOG=90°,ZHKA=ZHKA,：.AKOG^AKHA,

.KO=OGKO_1

"KHHA'',J（KO+3）2—5也,

解得：KO=2或—（舍去—）,

22

故点K（—2,0）,

把点K、G坐标代入y=%x—1并解得：

直线的表达式为：＞=

②当切点在x轴上方时，

直线的表达式为：y=2x-l；

故满意条件的直线解析式为：y=—gx—1或y=2x—1.

【点睛】考核学问点：二次函数和相像三角形.数形结合分析问题是关键.特殊是娴熟驾驭圆的性质和函数

性质.

24.如图所示抛物线y=af+bx+c过点A（—l,0）,点C（0,3）,且03=0C

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点。,E在直线％=1上的两个动点，且。石=1，点。在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小

值；

(3)点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBB4的面积分为3：5两部分，求点尸的坐标.

【答案】(1)y=-x2+2x+3,对称轴为直线x=l；(2)四边形ACDE的周长最小值为痴+而+1；

(3)原4,-5),鸟(8,-45)

【分析】(1)OB^OC,贝!J点8(3,0),则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-3)-a(V-2x-3)=a*-2a尸3a,

即可求解；

(2)CD^AE-A'ADC,则当/、D、C三点共线时，CD^AE-A'D^DC'最小，周长也最小，即可求解；

(3)SAPCB：SNCF—EBX—AEX=BE：AE,即可求解.

22

［详解］(1)'：OB=OC,0),

则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(『3)=a(x-2x-3)=ax-2ax-3a,

故-3a=3,解得：a--l,

故抛物线的表达式为：户-f+2户3…①；

对称轴为：直线x=l

(2)/侬的周长=4%旭⑦其中/俏丽、止1是常数，

故办/£最小时，周长最小，

取点C关于函数对称点C(2,3),则CD=CD,

取点H(-1,1),则/店AE,

故：CJ^A^A'决DC,则当/、D、C三点共线时，CD^AE^A'ADC'最小，周长也最小，

图1

四边形应的周长的最小值=43出位/庐丽+1+"小%'="6+1+/C=710+1+713;

直线CF把四边形物的面积分为3：5两部分，

又■:SAPCB：SA俞LEBX（%'-%）：—AEX（小■-%>）-BE-.AE,

22

则应■:AE,=3：5或5：3,

53

则/田一或一，

22

31

即：点£的坐标为（一，0）或（一，0）,

22

将点£、。的坐标代入一次函数表达式：户4x+3,

解得：k=-6或-2,

故直线配的表达式为：尸-2广3或片-6户3…②

联立①②并解得：后4或8（不合题意值已舍去），

故点户的坐标为（4,-5）或（8,-45）.

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1）,

通过确定点/'点来求最小值，是本题的难点.

25.在矩形ABCD中，连结AC,点£从点8动身，以每秒1个单位的速度沿着5fAfC的路径运动,

运动时间为t（秒）.过点£作石于点色在矩形ABCD的内部作正方形EEGH.

（1）如图，当43=60=8时,

①若点〃在AABC的内部，连结A”、CH,求证：AH=CH；

②当0</W8时，设正方形ER汨与AA6C的重叠部分面积为S,求S与力的函数关系式；

（2）当AB=6,BC=8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求力的值.

t2(Oy,4)124872

【答案】（1）①证明见解析；②^二（3）力的值为一s或一s或一s.

+327—32(4<4,8)5117

【分析】(1)①如图1中，证明儿4£月0八以汨($45)即可解决问题.

②分两种情形分别求解：如图1中，当0<，44时，重叠部分是正方形EEGH.如图2中，当4<fW8时，

重叠部分是五边形EFGMN.

(2)分三种情形分别求解：①如图3-1中，延长AH交8C于弘当R0=Q0=4时，直线AH将矩形

ABCD的面积分成1：3两部分.②如图3-2中，延长A”交CD于〃交5C的延长线于4,当

&以=。〃=3时，直线期将矩形43。。的面积分成1：3两部分.③如图3-3中，当点£在线段AC上

时，延长交CD于〃，交的延长线于正当。以=。暇时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1

:3两部分.

【详解】解：⑴①如图1中，

4

图1

.四边形EEGH是正方形，AB=BC,

：.BE=BG,AE=CG,ZBHE=ZBGH=90°.

•••ZAEH=ZCGH=90°，

EH=HG,

：.AAEH心CGH(SAS),

：.AH=CH.

②如图1中，当0</W4时，重叠部分是正方形EFG〃，S=t2.

如图2中，当4</W8时，重叠部分是五边形

11

s=S^ABC~S&AEN~S\CGM=-x8x8-2x—(8-?)9=T9+32/—32.

r(0<r„4)

综上所述，s=

一产+32—32(4<t„8)

(2)如图3-1中，延长AH交于四当5M=CM=4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3

两部分.

.AE_EH

**AB-BM'

6—tt

••—―，

64

12

,•t-----.

5

如图3-2中，延长AH交CD于〃交BC的延长线于4,当CM=£)M=3时，直线A"将矩形ABCD的

面积分成1：3两部分，易证AO=CK=8,

图3-2

EH//BK,

.AE_EH

"AB-BK)

6—tt

••—,

616

,48

,,t-----.

11

如图3-3中，当点£在线段AC上时，延长AH交CD于必交的延长线于必当。0=。以时，直

线A”将矩形A3CD的面积分成1：3两部分，易证AD=CN=8.

图3-3

在RtM5c中，AC=A/62+82=10'

EF//AB,

.CEEF

"C4"AB）

.16-tEF

••一,

106

3

EF=-（16-t）,

,/EH//CN,

.EHAE