中考数学必考题型复习训练：应用题

备考中考一轮复习点对点必考题型

题型26应用题

+考点解析

1.一元二次方程的应用

（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检

验和作答.

（2）列一元二次方程解应用题中常见问题：

①数字问题：个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.

②增长率问题：增长率=增长数量嫄数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增

长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2,即原数义（i+增长百分率）2=后来数.

③形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、梯

形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角形的对应比例关系，列

比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

④运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，

可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

a.审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.

b.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

c.列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

d.解：准确求出方程的解.

e.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

f.答：写出答案.

2.分式方程的应用

（1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位

等.

（2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作

时间

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等等.

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力.

3.一元一次不等式的应用

(1)由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的

答案.

(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因

此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.

②根据题中的不等关系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④写出符合题意的解.

4.一元一次不等式组的应用

对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解.

一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：

(1)分析题意，找出不等关系；

(2)设未知数，列出不等式组；

(3)解不等式组；

(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案；

(5)作答.

5.一次函数的应用

(1)分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要

符合实际.

(2)函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件

寻求可以反映实际问题的函数.

(3)概括整合

①简单的一次函数问题：a建立函数模型的方法；b分段函数思想的应用.

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②理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

6.二次函数的应用

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出二次

函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数

的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的

讨论.

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到

平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.

J五年中考

1.（2019口成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一

款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x（x为正整

数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.

（1）求y与x之间的关系式；

=1+1

（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p-2来描述.根

据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

7000f

5000」....

O15x

2.（2018口成都）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查,

甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平

方米100元.

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（1）直接写出当0WxW300和x>300时，y与x的函数关系式；

（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2,若甲种花卉的种植面积不少于200m2,且不超过乙

种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总

3.（2017口成都）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站

出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他

出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间外（单位：分钟）是关于x的一次函数,

其关系如下表：

地铁站ABCDE

X（千米）891011.513

丫1（分钟）1820222528

（1）求外关于x的函数表达式；

（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用丫22x2-llx+78来描述，请问：

李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.

4.（2016口成都）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产

量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一

棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树.

（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；

（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？

5.（2015口成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供

不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元.

（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？

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（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不

低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

一年模拟

6.（2019口成华区模拟）随着人们生活水平的提高，对饮水品质的需求也越来越高，某商场购进甲、乙两种

型号的净水器，每台甲型净水器比每台乙型净水器进价多200元，已知用5万元购进甲型净水器与用4.5

万元购进乙型净水器的数量相等.

（1）求每台甲型，乙型净水器的进价各是多少元？

（2）该商场计划花费不超过9.8万元购进两种型号的净水器共50台进行销售，甲型净水器每台销售2500

元，乙型净水器每台售价2200元，商场还将从销售甲型净水器的利润中按每台a元（70<a<80）捐献

给贫困地区作为饮水改造扶贫资金.设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，

求W的最大值.

7.（2019口邛睐市模拟）某健身馆普通票价为M）元殊，6-9月为了促销，新推出两种优惠卡：

①金卡售价1200元碳，每次凭卡不再收费.

②银卡售价300元为长，每次凭卡另收10元.

普通票正常出售，两种优惠卡仅限6-9月使用，不限次数.设健身x次时，所需总费用为y元.

（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；

（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出A、B、C的坐标；

（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.

8.（2019口武侯区模拟改口图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m

时，桥洞与水面

的最大距离是5m.

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（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案

方案二，或方案三），则B点坐标是,求出你所选方案中的抛物线的表达式；

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m,求水面上涨的高度.

9.（2019口锦江区模拟）十三五”以来，党中央，国务院不断加大脱贫攻坚的支持决策力度，并出台配套文

件，国家机关各部门也出台多项政策文件或实施方案.某单位认真分析被帮扶人各种情况后，建议被帮

扶人大力推进特色产业，大量栽种甜橙；同时搭建电商运营服务平台，开设网店销售农产品橙.丰收后，

将一批甜橙采取现场销售和网络销售相结合进行试销，统计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利800

元，网络销售则可获利1000元，网络销售比现场销售每件多获利5元

（1）现场销售和网络销售每件分别多少元？

__1

（2）根据甜橙试销情况分析，现场销售量a（件）和网络销售量b（件）满足如下关系式：b壬i2+i2a

-200.求a为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？

10.（2019口武侯区模拟）成都市某商场购进甲、乙两种商品，甲商品的购进总伽（元）与购进数量x（件）

之间的函数关系如图11所示，乙商品的购进总价y（元）与购进数量x（件）之间的函数关系如图匕所示.

（1）请分别求出直线L，匕的函数表达式，并直接写出甲、乙两种商品的购进单价各是多少元？

（2）现该商场购进甲、乙两种商品各100件，甲、乙商品的销售单价均为70元，销售一段时间后，商

场对甲商品搞促销活动，打八折继续销售剩余甲商品，乙商品的销售单价始终保持不变.若商场规定甲

2

商品打折前的销售数量不得多于甲商品打折后的销售数量的t那么甲商品应接原销售单价销售多少

件，才能使得甲、乙两种商品全部销售完后商场获得最大利润？最大利润为多少元？

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n.（2019口双流区模拟）某文具店出售一种文具，每个进价为2元，根据长期的销售情况发现：这种文具

每个售价为3元时，每天能卖出500个，如果售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个.物价局规定售

价不能超过进价的240%.

（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润，每个文具的售价应是多少？

（2）该如何定价，才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？

12.（2016口荆州）为更新果树品种，某果园计划新购幽、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两

种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元屣，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之

间存在如图所示的函数关系.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使

13.（2019口郸都区模拟）某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400

元，商店用8000元购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等.

（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？

（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元.若商店准备购进这两种家电共

100台，其中购进电冰箱X台（33WxW40）,那么该商店要获得最大利润应如何进货？

14.（2019口郸都区模拟）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以

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提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多

种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.

（1）求果园增种橙子树x（棵）与果园橙子总产量y（个）的函数关系式；

（2）多种多少棵橙子，可以使橙子的总产量在60420个以上？

15.（2019□成都模拟）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件,

经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件.

（1）求销售量y件与销售单价x（x>10）元之间的关系式；

（2）当销售单价x定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？

”精准预测

1.天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元企，已知销售价不低于成本价，且物价部门

规定这种商品的销售价不高于16元承，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/

件）之间的函数关系如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，

每天的销售利润最大？最大利润是多少？

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1।

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2.八（1）班为了配合学校体育文化月活动的开展，同学们从捐助的班费中拿出一部分钱来购买羽毛球拍

和跳绳.已知购买一副羽毛球拍比购买一根跳绳多20元.若用200元购买羽毛球拍和用80元购买跳绳,

则购买羽毛球拍的副数是购买跳绳根数的一半.

（1）求购买一副羽毛球拍、一根跳绳各需多少元？

（2）双11期间，商店老板给予优惠，购买一副羽毛球拍赠送一根跳绳，如果八（1）班需要的跳绳根数

比羽毛球拍的副数的2倍还多10,且该班购买羽毛球拍和跳绳的总费用不超过350元，那么八（1）班

最多可购买多少副羽毛球拍？

3.已知A、B两地相距2.甲骑车匀速从A地前往B地，如图表示甲骑车过程中离A地的路程y（km）

与他行驶所用的时间x（min）之间的关系.根据图象解答下列问题:

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曲)

(2)若在甲出发时，乙在甲前方O.&m处，两人均沿同一路线同时出发匀速前往B地，在第3分钟甲追

上了乙，两人到达B地后停止.请在下面同一平面直角坐标系中画出乙离A地的距离y乙(km)与所用

时间x(min)的关系的大致图象；

(3)乙在第几分钟到达B地？

(4)两人在整个行驶过程中，何时相距0.2on?

4.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货

车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y(千米)与

时间x(小时)之间的函数图象；请根据图象解答下到问题：

(1)货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数式为；

(2)当轿车与货车相遇时，求此时x的值；

(3)在两车行驶过程中，当辆车与货年相距20千米时，求x的值.

5.某水果店经销一种高档水果，售价为每千克60元

(1)连续两次降价后售价为每千克48.6元，若每次下降的百分率相同.求平均下降的百分率；

(2)已知这种水果的进价为每千克48元，每天可售出80千克，经市场调查发现，若售价每涨价1元,

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4千克，设每千克涨价元，每天获得的利润为w元.

当售价为多少元时，每天获得的利润为最大？最大为多少元？

②水果店老板为保证每天的利润不低于988元，请直接写出t的取值范围是.

6.某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，

在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元辞）与*（天）之间的关系如图所

示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z=-2x+120.

（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；

（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元.

①求W与X之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？

7.我国为了实现到达到全面小康社会的目标，近几年加大了扶贫工作的力度，合肥市某知名企业为了帮助

某小型企业脱贫，投产一种书包，每个书包制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万个）

与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y=kx+b,据统计当售价定为30元外时，每月销

售40万个，当售价定为35元外时，每月销售30万个.

（1）请求出k、b的值.

（2）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式.

（3）该小型企业在经营中，每月销售单价始终保持在25WxW36元之间，求该小型企业每月获得利润w

（万元）的范围.

8.合肥享有“中国淡水龙虾之都”的美称，甲、乙两家小龙虾美食店，平时以同样的价格出售品质相同的

小龙虾.“龙虾节”期间，甲、乙两家店都让利酬宾，在人数不超过20人的前提下，付款金额y.、y7

（单位：元）与人数之间的函数关系如图所示.

（1）直接写出y.,y,关于x的函数关系式；

（2）小王公司想在“龙虾节”期间组织团建，在甲、乙两家店就餐，如何选择甲、乙两家美食店吃小龙

虾更省钱？

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91.5倍，当售价降低5元时商品的利润率为25%.若不进行任何

推广年销售量为1万件.为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做推广，根据经验，每年投入

的推广费万元时销售量y（万件）是x的二次函数：当x为1万元时，y是1.5（万件）.当x为2万元

时，y是1.8（万件）.

（1）求该商品每件的的成本与售价分别是多少元？

（2）求出年利润与年推广费x的函数关系式；

（3）如果投入的年推广告费为1万到3万元（包括1万和3万元），问推广费在什么范同内，公司获得

的年利润随推广费的增大而增大？

10.永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料

可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，

每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x吨化工产品.

（1）用x的代数式表示该厂购进化工原料吨；

（2）当x>50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y,求y关于x的函数关系式；

（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？

11.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销

售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售

单价不得低于成本.

（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？

（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大

利润是多少？（每天的总成本=每件的成本X每天的销售量）

12.为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得

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45元.根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每

提高1元，则每天要少卖出20盒.

(1)试求出每天的销售量(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；

(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？

13.潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰

茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2

倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元.

(1)该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？

(2)如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%,那么每千克售价至少是多

少元？

14.某运动品商场欲购进篮球和足球共100个，两种球进价和售价如下表所示，设购进篮球x个(x为正整

数)，且所购进的两种球能全部卖出，获得的总利润为w元.

(1)求总利润W关于x的函数关系式.

(2)如果购进两种球的总费用不低于5800元且不超过6000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并

求出最大利润.

(3)在(2)的条件下，若每个篮球的售价降低a元，请分析如何进货才能获得最大利润.

篮球足球

进价(元/f)6254

售价(元外)7660

15.山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5

万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.

(1)今年A型车每辆售价多少元？(列方程解答)

(2)该车行计划今年新进一批A型车和B型车共60辆，A型车的进货价为每辆1100元，销售价与(1)

相同；B型车的进货价为每辆1400元，销售价为每辆2000元，且B型车的进货数量不超过A型车数量

的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

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26应用题

+考点解析

1

（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检

验和作答.

（2）列一元二次方程解应用题中常见问题：

数字问题：个位数为，十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.

②增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增

长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2,即原数X（1+增长百分率）2=后来数.

③形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、梯

形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角形的对应比例关系，列

比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，

可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

a.审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.

b.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

c.列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

d.解：准确求出方程的解.

e.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

f.答：写出答案.

2.分式方程的应用

（1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹1、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位

等.

（2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作

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列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力.

3.一元一次不等式的应用

(1)由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的

答案.

(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因

此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

弄清题中数量关系，用字母表示未知数.

②根据题中的不等关系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④写出符合题意的解.

4.一元一次不等式组的应用

对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解.

一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：

(1)分析题意，找出不等关系；

(2)设未知数，列出不等式组；

(3)解不等式组；

(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案；

(5)作答.

5.一次函数的应用

(1)分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要

符合实际.

(2)函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件

寻求可以反映实际问题的函数.

(3)概括整合

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建立函数模型的方法；b分段函数思想的应用.

②理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

6.二次函数的应用

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出二次

函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数

的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的

讨论.

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到

平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.

¥

1.（2019口成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一

款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x（x为正整

数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.

（1）求y与x之间的关系式；

一1+1

（2）设该产品在第X个销售周期的销售数量为p（万台），p与X的关系可以用p—7X十'T来描述.根

据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

彳

7000-r、

5000-------工―

O15x

【点拨】（1）根据函数图象上的两点坐标，用待定系数法求出函数的解析式便可;

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(2)设销售收入为w万元，根据销售收入=销售单价X销售数量和p-4

列出W与X的函数

关系式，再根据函数性质求得结果.

【解析】解:(1)设函数的解析式为：y=kx+b(kWO),由图象可得,

=7000

lSk+b=5000

A=-500

ft=7500

解得,

；.y与x之间的关系式：y=-500x+7500；

(2)设销售收入为w万元，根据题意得,

i十；

w=yp=(-500x+7500)(4),

即w=-250(X-7)2+16000,

二当x=7时，w有最大值为16000,

此时y=-500X7+7500=4000(元)

答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元.

2.(2018口成都)为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查,

甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平

方米100元.

(1)直接写出当0WxW300和x>300时，y与x的函数关系式;

(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2,若甲种花卉的种植面积不少于200m2,且不超过乙

种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总

费用为多少元？

【点拨】(1)由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可.

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（2）设甲种花卉种植为am2,则乙种花卉种植（1200-a）irf,根据实际意义可以确定a的范围，结合

种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少.

fl30x（0<x<300）

【解析】解：（1）v~15000（x>300）

（2）设甲种花卉种植为am2,则乙种花卉种植（1200-a）m2.

fa之200

.[a<2（1200-a）

,,,

：.200WaW800

当200WaW300时，W^lSOa+lOO（1200-a）=30a+120000.

当a=200时.\^in=126000元

当300<aW800时，\^=80a+15000+100（1200-a）=135000-20a.

当a=800时，W^in=119000元

V119000<126000

二当a=800时，总费用最少，最少总费用为119000元.

此时乙种花卉种植面积为1200-800=400m2.

答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2和400m2,才能使种植总费用最少，最少总费用

为119000元.

3.（2017口成都）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站

出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他

出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间x（单位：分钟）是关于x的一次函数,

其关系如下表：

地铁站ABCDE

X（千米）891011.513

丫1（分钟）1820222528

（1）求yi关于x的函数表达式；

（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2?x2-llx+78来描述，请问:

李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.

【点拨】（1）根据表格中的数据,运用待定系数法，即可求得力关于x的函数表达式；

=7

(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则丫=%+丫2x2-9x+80,根据二次函数的性质，即可

得出最短时间.

【解析】解:(1)设％=kx+b,将(8,18),(9,20),代入得：

(8k-F2>=18

I9fc4-b=20

(k=2

解得：”=2,

故丫1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；

(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则

,1_1

+

22~22

y=y1+y2=2x+2x-llx+78x-9x+80,

_4号80-92

4

...当x=9时，y有最小值，ymin439.5

答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟.

4.(2016口成都)某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产

量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一

棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树.

(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系；

(2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？

【点拨】(1)根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；

(2)根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可.

【解析】解:(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为：y=600-5x(0<x<120)；

(2)设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w,

贝!]w=(600-5x)(100+x)

=-5x2+100x+60000

=-5(x-10)2+60500,

Va=-5<0,

：.w的最大值是60500,

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则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个.

5.（2015口成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供

不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元.

（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？

（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不

低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

【点拨】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬

衫单价贵了10元，列出方程求解即可；

（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答.

【解析】解:（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有

1320028800

-------H=---

110,

解得x=120,

经检验，x=120是原方程的解，且符合题意.

答：该商家购进的第一批衬衫是120件.

（2）3x=3X120=360,

设每件衬衫的标价y元，依题意有

（360-50）y+50X0.（13200+28800）X（1+25%）,

解得yN150.

答：每件衬衫的标价至少是150元.

一年模拟

1.（2019口成华二诊）随着人们生活水平的提高，对饮水品质的需求也越来越高，某商场购进甲、乙两种型

号的净水器，每台甲型净水器比每台乙型净水器进价多200元，已知用5万元购进甲型净水器与用4.5

万元购进乙型净水器的数量相等.

（1）求每台甲型，乙型净水器的进价各是多少元？

（2）该商场计划花费不超过9.8万元购进两种型号的净水器共50台进行销售，甲型净水器每台销售2500

元，乙型净水器每台售价2200元，商场还将从销售甲型净水器的利润中按每台a元（70<a<80）捐献

给贫困地区作为饮水改造扶贫资金.设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，

求W的最大值.

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【点拨】(1)设每台乙型净水器的进价是X元，则每台甲型净水器的进价是(x+200)元，根据数量=总

价+单价结合用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等，即可得出关于x的分

式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)设购进甲型净水器m台，则购进乙型净水器(50-m)台，根据总价=单价X数量结合总价不超过

9.8万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再由总利润=每台利润X

购进数量，即可得出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题.

【解析】解:(1)设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是(x+200)元，

500004500。

依题意，得：工+200-x,

解得：x=1800,

经检验，x=1800是原分式方程的解，且符合题意，

.,.x+200=2000.

答：每台甲型净水器的进价是2000元，每台乙型净水器的进价是1800元.

(2)设购进甲型净水器m台，则购进乙型净水器(50-m)台，

依题意，得：2000m+1800(50-m)W98000,

解得：mW40.

W=(2500-2000-a)m+(2200-1800)(50-m)=(100-a)m+20000,

V100-a>0,

W随m值的增大而增大，

二当m=40时，W取得最大值，最大值为(24000-40a)元.

2.(2019口青羊二诊)某健身馆普通票价为10元涨，6-9月为了促销，新推出两种优惠卡：

①金卡售价1200元为长，每次凭卡不再收费.

②银卡售价300元朦，每次凭卡另收10元.

普通票正常出售，两种优惠卡仅限6-9月使用，不限次数.设健身x次时，所需总费用为y元.

(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；

(2)在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出A、B、C的坐标；

(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.

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【点拨】(D理解题目意思：健身馆普通票价为40元嫌，没有其他费用了，健身的时间是x小时，那

么普通的消费就可以列出来；而银卡售价300元用，每次凭卡另收10元，健身的时间是x小时，那么

银卡票消费也可以用一元一次方程列出来；

(2)能够根据图象，用二次一方程组的知识求交点坐标，理解一次函数的特征，看图求坐标；

(3)根据一次函数的特征来比较数的大小；当x的值为交点时，它们的费用是相同的；当小于交点的x

值时，位于下面的函数图象，其y值最小；当大于交点的x值时，位于下面的函数图象，其y值最小.

【解析】解:(1)根据题意可得：银卡消费：y=10x+300普通消费：y=40x

(y=40x

(2)令y=10x+300中的x=0,则y=300故点A的坐标为(0,300),联立卜=10*+30。解得：

(x=10

17=40。故点B的坐标为(10,