2024-2025学年安徽省合肥市肥东一中高二（上）质检数学试卷（7月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省合肥市肥东一中高二（上）质检数学试卷（7月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={x|tanx=0}，B={x|cosx=0}，则(

)A.A=B B.A⊆B C.A⊇B D.A∩B=⌀2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是(

)A.y=−log12x B.y=(123.已知向量AB=(1,a,−2)与AC=(−2,4,b)共线，则a+b=(

)A.−2 B.0 C.2 D.64.如图，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=90°，BC，AB边上的两条中线AD，CE交于点P，则cos∠DPE=(

)A.32114

B.217

5.若z1=(m2+m+1)+(m−4)i，z2=3−3i，则A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AB=AA1，∠BAC=120°，D，E，F分别是棱B1C1，BCA.310

B.5110

C.27.一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，设A1={1,2,3,4}，A2={1,2,3,5}，AA.A1与A2互斥 B.A1与A3相互对立

C.A1−8.已知两异面直线a，b所成的角为80°，过空间一点P作直线，使得l与a，b的夹角均为50°，那么这样的直线有(    )条A.1 B.2 C.4 D.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，错误的有(

)A.单位向量都相等B.模相等的两个平行向量相等

C.若|a|>|b|且a，b同向，则a>bD.b10.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示.则f(x)=(

)

A.2cos(x−π6) B.2cos(2x−π6)11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CCA.存在点Q，使B，N，P，Q四点共面

B.存在点Q，使PQ//平面MBN

C.三棱锥P−MBN的体积为23

D.经过C，M，B，N四点的球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=3，a2+b13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1,1,0)，B(−1,0,2)，点C满足AC=2AB，则点C的坐标为______．14.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过12的概率是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=m+2i是方程x2−6x+13=0的一个虚根(i是虚数单位，m∈R)．

(1)求|z|；

(2)复数z1=a−i，若z16.(本小题15分)

《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，这为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向，某新能源汽车生产商为了提升产品质量，对某款汽车的某项指标进行检测后，频率分布直方图如图所示：

(1)求该项指标的第30百分位数；

(2)若利用该指标制定一个标准，需要确定临界值x，将该指标小于x的汽车认为符合节能要求，已知x∈[90,100]，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该款汽车符合节能要求的概率f(x)．17.(本小题15分)

在三棱锥P−ABC中，AC⊥CB，AB⊥BP，CB=CP=CA，BP=12AP.点C在平面PAB上的射影D恰好在PA上．

(1)若E为线段BP的中点，求证：BP⊥平面CDE；

(2)求二面角18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(tanA+tanB)=2ctanB．

(1)求A的值；

(2)若△ABC为锐角三角形，求bc的取值范围．19.(本小题17分)

某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍薨”(如图2)．

(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO//平面GCF；

(2)若二面角A−BC−E的平面角为π6，求平面OAE与平面BAE夹角的余弦值．

参考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.C

6.D

7.D

8.D

9.ABC

10.BD

11.ABD

12.(13.(−3,−1,4)

14.71515.解：(1)z=m+2i是方程x2−6x+13=0的一个虚根，

则z−=m−2i也是方程x2−6x+13=0的一个虚根，

故m−2i+m+2i=6(m−2i)(m+2i)=13，解得m=3，

z=3+2i，

所以|z|=32+22=13；16.解：(1)∵0.002×5+0.012×5+0.034×5=0.24<0.3，0.002×5+0.012×5+0.034×5+0.036×5=0.42>0.3，

∴第30百分位数落在区间[105,110)内，设其为m，

则0.24+(m−105)×0.036=0.3，

解得m=3203，

即该项指标的第30百分位数为3203；

(2)当x∈[90,95)时，f(x)=(x−90)×0.002=0.002x−0.18，

当x∈[95,100]时，f(x)=0.002×5+(x−95)×0.012=0.012x−1.13，

综上所述，17.解：(1)证明：连接CD，DE，

∵CD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，BP⊂平面PAB，

∴CD⊥AP，CD⊥BP，

又CA=CP，∴D为AP中点．

又E为BP中点，∴DE//AB

又AB⊥BP，∴BP⊥DE，

CD∩DE=D，CD，DE⊂平面CDE，∴BP⊥平面CDE．

(2)作DF⊥AB于F，连接CF，

∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，则CD⊥AB，

又CD∩DF=D，CD，DF⊂平面CDF，

∴AB⊥平面CDF，而CF⊂平面CDF，∴AB⊥CF．

又∵CB=CP=CA，∴D，F为AP，AB的中点，∴DF//PB，

又BP⊥AB，∴DF⊥AB．

则∠CFD即为二面角C−AB−P的平面角．

在Rt△CDF中，cos∠CFD=DFCF．

设CB=CA=a，AC⊥CB，则CF=12AB=22a．

∵BP=12AP，在Rt△ABP18.解：(1)因为b(tanA+tanB)=2ctanB，

由正弦定理可得：sinB×(sinAcosA+sinBcosB)=2sinC×sinBcosB⇒sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=2×sinCcosB，

即sinCcosAcosB=2×sinCcosB，

因为A，B，C为的△ABC内角，sinC>0，

所以cosA=12，

可得19.(1)证明：取CF的中点H，连接GH，OH，如图所示，

∵四边形EBCF是矩形，且CB=2BE，

∴O为线段BF与CE的中点，∴OH//BC，且OH=12BC，

由图1可知，AG//BC且AG=12BC，EF//BC，且EF=BC，

∴在图2中，AG//BC且AG=12BC，

∴AG//OH且AG=OH，

∴四边形AOHG是平行四边形，∴AO//GH，

又∵AO⊄平面GCF，GH⊆平面GCF，

∴AO//平面GCF．

(2)解：由题设图1可知，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在题设图2中仍有EF⊥AE，EF⊥BE，

∴∠ABE即为二面角A−BC−E的平面角，故∠ABE=π6，

以E为坐标原点，E