2024-2025学年黑龙江省绥化市兰西一中高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省绥化市兰西一中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos15°⋅cos75°=A.32 B.12 C.2.在△ABC中，点D，N分别满足BD=13BC，AN=NC，若AB=A.−23a+56b B.3.棱长为2的正方体的内切球的表面积为(

)A.2π B.4π C.8π D.16π4.11月29日，江西新余仙女湖的渔民们迎来入冬第一个开捕日，仙女湖的有机鱼迎来又一个丰收年.七位渔民分在一个小组，各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有(

)A.96种 B.120种 C.192种 D.240种5.若圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为(

)A.4π3 B.8π3 C.26.已知复数z=52−i，则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E为BB1上一动点，现有以下四个结论：①面AC1E⊥面A1BD；②AE//面CDD1A.1

B.2

C.3

D.48.已知F1(−c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2+A.[12,33] B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.给出以下24个数据：

148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0

158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5

163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0

对于以上给出的数据，下列选项正确的为(

)A.极差为24.0 B.第75百分位数为164.0

C.第25百分位数为155.2 D.80%分位数为164.110.下列基本事实叙述正确的是(

)A.经过两条相交直线，有且只有一个平面

B.经过两条平行直线，有且只有一个平面

C.经过三点，有且只有一个平面

D.经过一条直线和一个点，有且只有一个平面11.已知正六边形ABCDEF的中心为O，则下列说法正确的是(

)A.OA+OC+OE=0

B.AE−AB=2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正△ABC边长为2，若点D在边BC上且满足AD⋅AB=72，则13.某班共有36名男生和24名女生，统计他们的体重数据(单位：kg)，已知男生体重的平均数为65，方差为34，全体学生体重的平均数为59，方差为86，则该班女生体重的方差为______．14.如图，小明在山脚A测得山顶D的仰角为45°，在山脚B测得山顶D的仰角为30°，测得∠ABC=30°，A，B间的距离为100m，BC>AB，已知山脚C和A，B在同一水平面上，则山的高度CD=______m.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，四面体P−ABC中，PA⊥BC，D在棱BC上，AD⊥BC，AD=2，PA=1，∠PAD=60°，证明PA⊥平面PBC．16.(本小题15分)

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图的频率分布直方图．

观察图形的信息，回答下列问题：

(1)估计这次考试成绩的众数；

(2)估计这次考试成绩的及格率(60分及以上及格)．17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P、Q分别是平面AA1D1D、平面A1B1C1D118.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=π4，b=2c.若M是BC的中点，且19.(本小题17分)

已知复数z满足|z|=5．

(1)若(4+3i)⋅z是实数，求复数z；

(2)求|z答案解析1.D

【解析】解：cos15°⋅cos75°=cos15°⋅sin15°=12.D

【解析】解：在△ABC中，点D，N分别满足BD=13BC，AN=NC，

又AB=a，AC=b，

则DN=DB+BA+3.B

【解析】解：棱长为2的正方体的内切球的半径r=22=1，

表面积=4πr2=4π．

故选：B．

棱长为4.C

【解析】解：由题意可知：丙必须在最中间(第4位)，则甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位，

故不同的排法有A22C41A44=1925.B

【解析】解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，

∵圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，

∴2r=4，得r=2,l=22，圆锥的高ℎ=r=2，

∴圆锥的体积为13πr2ℎ=136.A

【解析】解：z=52−i=5(2+i)(2−i)(2+i)=5(2+i)5=2+i，

对应点为(2,1)，则z在复平面内对应的点位于第一象限．

7.D

【解析】解：连接A1B，BD，A1D，AB1，因为正方体ABCD−A1B1C1D1，所以B1C1⊥平面A1ABB1，

且A1B⊂平面A1ABB1，所以B1C1⊥A1B，

又因为AB1⊥A1B，且AB1∩B1C1=B1，所以A1B⊥平面AB1C1，

AC1⊂平面AB1C1，所以A1B⊥AC1，

同理BD⊥AC1，且A1B∩BD=B，所以AC1⊥平面A1BD，

且AC1⊂平面AC1E，所以平面AC1E⊥平面A18.A

【解析】解：设P(x0,y0)，

则2c2=PF1⋅PF2=−c−x0,−y0·c−x0,−9.AD

【解析】解：对于A，由题意可得，极差为172−148=24，故A正确，

对BCD，∵25%×24=6，75%×24=18，80%×24=19.2，

∴样本数据的第25，75，80百分位数为第6，7为的平均数，第18，19的平均数，第20项数据，即分别为155+155.22=155.1，163+1642=163.5，164.1，故BC错误，D正确．

故选：AD．10.AB

【解析】解：根据基本事实及推论即可判断A，B正确；

C项，若三点共线，经过三点的平面有无数个，错误；

D项，若这个点在直线外，确定一个平面，

若这个点在直线上，可有无数个平面，错误．

故选：AB．

根据基本事实及推论即可逐项判断．

本题考查平面的性质，属于基础题．11.ACD

【解析】解：已知正六边形ABCDEF的中心为O，

不妨设正六边形ABCDEF的边长为1，

对于选项A：因为OA+OC+OE=OB+OE=0，

故A正确；

对于选项B：因为AE−AB=BE=−2DC，

故B错误；

对于选项C：因为FA+FE=FO，且FD+FB=FE+ED+FA+AB=FA+FE+2FO=3FO12.52【解析】解：已知正△ABC边长为2，若点D在边BC上且满足AD⋅AB=72，

设BD=λBC，

则AD⋅AB=(AB+BD)⋅AB

=AB2+BD⋅AB

=4+λBC⋅AB

=4+λ×2×2×(−12)13.29

【解析】解：设女生体重的平均数为x−，方差为s2，

所以59=3636+24×65+2436+24×x−，

解得x−=50，

所以86=3614.100

【解析】解：在△BCD中，设CD=x，

利用解直角三角形知识BC=CDtan∠DBC=xtan30∘，

在△ACD中，AC=CDtan∠CAD=xtan45∘=x，

在△BAC中，利用余弦定理x2=(3x)2+15.证明：连接PD，

在△PAD中，AD=2，PA=1，∠PAD=60°，

由余弦定理可得PD=PA2+AD2−2PA⋅ADcos∠PAD=1+4−2×1×2×12=3，

可得PA【解析】由勾股定理可证得PA⊥PD，再由题意可证得结论．

本题考查线面垂直的证法，属于中档题．16.解：(1)估计这次考试成绩的众数为75分；

(2)估计这次考试成绩的及格率(60分及以上及格)为：

1−0.1−0.15=0.75=75%．

【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，众数的概念，即可求解；

(2)根据频率分布直方图的性质，即可求解．

本题考查频率分布直方图的性质，众数的概念，属基础题．17.证明：(Ⅰ)由ABCD−A1B1C1D1是正方体，可知D1Q//DB，

∵D1Q⊂平面C1DB，DB⊂平面C1DB，

∴D1Q//平面C1DB．

(Ⅱ)由ABCD−A1B1C1D1是正方体，D1P//C1B，

【解析】(Ⅰ)推导出D1Q//DB，由此能证明D1Q//平面C1DB．

(Ⅱ)推导出D1P//C1B，得D1P//18.解：在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos∠BAC=2c2+c2−22c2×22=c2，

即a=c，可得A=C=π4，B=π2，则△ABC为等腰直角三角形，

由【解析】首先在△ABC中，运用余弦定理求得a，可得△ABC为等腰直角三角形，在△AMC中，运用正弦定理可得c，再由三角形的面积公式求出△ACM的面积．

本题考查正弦定理和余弦定理的运用，以及三角形的面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.解：(1)设z=a+bi，a，b∈R，

则a2+b2=25①，

又∵(4+3i)⋅z=4a−3b+(3a+4b)i是实数，

∴3a+4b=0②，