2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x+2y=1B.2x(x−1)=2x2+3C.2.以下列各数为边不能组成直角三角形的一组是(

)A.15、12、9 B.32、2、52 C.8、15、17 D.3、3.下列命题中的真命题是(

)A.有一组对边平行的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D.有一组邻边相等的平行四边形是菱形4.已知直线y=kx+b，若k+b=−5，kb=6，那么该直线不经过(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是(

)A.5个 B.6个 C.7个 D.8个6.若关于x的一元二次方程(k−2)x2+x+k2−4=0有一个根是0A.−2 B.2 C.0 D.−2或27.如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE:AD=1:3，连接EF交DC于点G，则S△DEG:SA.4:9B.2:3

C.9:4

D.3:28.如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是(

)A.1B.1.5

C.2D.2.59.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式一定成立的是(

)A.ADDB=DEBC

B.BFBC=10.在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y(单位：km)随时间x(单位：ℎ)变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。11.在函数y=x−22x+3中，自变量x的取值范围是______．12.sinα=32，α是锐角，则tanα=13.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为______．14.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实根，则a的取值范围是______．15.在一次函数y=(k+5)x+1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是______．16.如图，AB//CD，AC、BD相交于点E，CDAB=23，则CEAE17.如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，A(3,0)、B(0,2)，那么不等式ax+b<2的解集为______．18.超市为了促销原价200元的某种化妆品，将价格进行了两次下降调整，现价为162元，若每次下降的百分率相同，则每次下降的百分率是______．19.在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm，点E在直线AD上，且DE=1cm，则点E到矩形对角线AC所在直线的距离是______cm．20.如图，矩形ABCD的对角线BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△EFC的面积为2116，tan∠ADB=34，则CF三、计算题：本大题共1小题，共7分。21.先化简，再求值：(x2−4x2四、解答题：本题共6小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。22.(本小题7分)

如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．

(1)以线段AB为斜边作等腰Rt△ABC，画出△ABC；

(2)以AC为对角线作平行四边形ABCD，画出平行四边形ABCD，并直接写出平行四边形ABCD的周长．23.(本小题8分)

如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．

(1)如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；

(2)如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面积．24.(本小题8分)

风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图(1)，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图(2)为测量示意图(点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC).已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该风力发电机塔杆AB的高度.(结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73)

25.(本小题10分)

某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．

(1)求A，B两种花卉的单价．

(2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．26.(本小题10分)

如图1，已知四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB<AD，对角线AC平分∠BAD，BC=CD．

(1)求证：BC⊥CD．

(2)如图2，延长DA，CB交于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为H，过点E作EF⊥DH交DH延长线于F，DF，EC交于G.求证：DF⋅DG=CD⋅EG．

(3)如图3，在(2)的条件下，过点E作EQ⊥EC交CA延长线于Q，EQ：CD=2：3，CG=1

27.(本小题10分)

已知，如图1，在平面直角坐标系中直线y=−x+b与x轴交于B，与y轴交于A．

(1)求tan∠ABO．

(2)如图2，过点B作直线BD⊥x轴(D在x轴上方)，C为OB上一点，连接AC，交OD于E，∠OAE=2∠DOB.求证：AB=2AE．

(3)如图3，在(2)的条件下，M为射线BD上一点，满足180°−∠AMD=4∠DOB，AM=MB+7，BD=b−6，求直线OD的解析式．

参考答案1.D

2.D

3.D

4.A

5.C

6.A

7.A

8.C

9.C

10.C

11.x≠−312.313.5

14.a≤1且a≠0

15.k<5

16.2317.x>0

18.10%

19.255或620.7821.解：原式=[(x+2)(x−2)(x−2)2−x−2x+2]⋅x−2x，

=22.解：(1)如图1，△ABC即为所求．

(2)如图2，平行四边形ABCD即为所求．

AB=CD=42+22=25，AD=BC=323.(1)AB=DE．

(2)∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，

∴BC=BD，∠CBD=90°，

∴∠BCA=∠DBE=90°−∠ABC，

∵∠A=∠E=90°，

∴△ABC≌△EBD(AAS)，

∴DE=AB，BE=AC，

∵AB=2，AC=6，

∴DE=2，BE=6，

∴AE=AB+BE=8，

∵∠DEB+∠A=180°，

∴DE//AC，

∴△DEF∽△CAF，

∴DEAC=EFAF，即26=EFEF+8，24.解：过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，

由题意得：DC=20m，∠DCH=60°，

在Rt△DCH中，

∵cos60°=CHCD，sin60°=DHCD，

∴CH=CD·cos60°=10m，

∴DH=CDsin60°=103m≈17.3m，

∵∠DFB=∠B=∠DHB=90°，

∴四边形DFBH为矩形，

∴BH=FD，BF=DH，

∵BH=BC+CH=30+10=40m，

∴FD=40m，

在Rt△AFD中，AFFD=tan20°，

∴AF=FD·tan20°=40×0.36m=14.4m，25.解：(1)设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株．

由题意得：2x+3y=214x+5y=37，

解得：x=3y=5，

答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株；

(2)设采购A种花卉m株，则B种花卉(10000−m)株，总费用为W元．

由题意得：W=3m+5(10000−m)=−2m+50000，

∵m≤4(10000−m)，

解得：m≤8000，

在W=−2m+50000中，

∵−2<0，

∴W随m的增大而减小，

∴当m=8000时W的值最小，

W=−2×8000+50000=34000，

此时10000−m=2000，

答：当购进A种花卉8000株，B种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为3400026.(1)证明：方法一：如图，作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，

∵AC平分∠BAD，

∴CM=CN，

在Rt△BCM和Rt△DCN中，

BC=CD(已知)CM=CN(已证)，

∴Rt△BCM≌Rt△DCN(HL)，

∴∠MBC=∠D，

∵∠MBC+∠ABC=180°，

∴∠D+∠ABC=180°，

在四边形ABCD中，∠BAD=90°，

∴∠BCD=360°−(∠BAD+∠ABC+∠D)=90°，

∴BC⊥CD．

方法二：如图，在AD上截取AM=AB，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠MAC，

∵AC=AC，

∴△ABC≌△AMC(SAS)，

∴CM=CB，∠ABC=∠AMC，

∵CD=CB，

∴CM=CD，

∴∠D=∠CMD，

∵∠AMC+∠CMD=180°，

∴∠D+∠ABC=180°，

在四边形ABCD中，∠BAD=90°，

∴∠BCD=360°−(∠BAD+∠ABC+∠D)=90°，

∴BC⊥CD．

(2)证明：方法一：∵AC平分∠BAD，且∠BAD=90°，

∴∠DAC=45°，

∵DH⊥AC，EF⊥DH，

∴∠F=∠AHD=90°，

∴EF//AC，

∴∠FED=∠CAD=45°，

∴EF=DF，

由(1)知∠BCD=90°，

∴∠F=∠BCD，

∵∠EGF=∠DGC，

∴△EFG∽△DCG，

∴EFDC=EGDG，

∴DFCD=EGDG，

∴DF⋅DG=CD⋅EG．

方法二：同方法一，先证出EF=DE，

∵S△DEG=12EG⋅DC=12DG⋅EF，

∴EG⋅CD=DG⋅EF，

∴DF⋅DG=CD⋅EG．

(3)延长EF、DC交于点K，

∵EQ⊥EC，CD⊥EC，

∴EQ//CK，

由(2)知CQ//EK，

∴四边形EKCQ是平行四边形，

∴CK=EQ，

设EQ=2m，则CK=3m，

∵EQ：CD=2：3，

∴CD=3m，

∴DK=CD+CK=5m，

∵△EFG∽△DCG，

∴∠FEG=∠FDK，

又∵∠EFD=DFK=90°，EF=DF，

∴△FEG≌△FDK(AAS)，

∴EG=DK=5m，

∵∠FEG=∠FDK，∠ECK=∠BCG=90°，

∴△ECK∽△DCG，

∴CGCK=CDCE，即27.(1)解：∵令x=0，得y=b，

∴A(0,b)，

令y=0，得x=b，

∴B(b,0)，

∴OA=OB，

∴tan∠ABO=OAOB=1；

(2)证明：由(1)知tan∠ABO=1，

∴∠AB0=45°，

∴sin∠ABO=OAAB=22，

∴AB=2OA，

设∠DOB=α，则∠OAE=2α，

∵∠AOE=∠AOC−∠DOB=90°−α，

∴∠AEO=180°−∠OAE−∠AOE=90°−α，

∴∠AOE=∠AEO，

∴OA=OE，

∵AB=2OA，

∴AB=2AE；

(3)设∠BOD=α，则∠OAC=2α，

∵180°−∠AMD=4∠DOB，

∴∠AMD=180°−4α，

如图，延长AC交BD于点F，

∵BD⊥x轴，

∴BD//AO，

∴∠F=∠OAE=2α，∠