2025高考数学一轮复习 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 专项训练

7.1-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-专项训练

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式（不可折断），不可能拼成（）

A.正三棱柱B.正四棱锥

C.正四棱柱D.正六棱锥

2.已知正三角形边长为2,用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观

图的面积为（）

A.返B.匹

44

C.2V2D.2V6

3.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，

通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见

于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可

近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为3/m,侧棱长为5m,则

其体积为（）

A.24V2m3B.24m3

C.72V2m3D.72m3

4.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重

器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022

年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至

9050m,超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，

彰显了中国的实力.“极目一号”HI型浮空艇长55m,高19m,若将它近似看作

一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III

型浮空艇的表面积约为（参考数据：当史-32.6,71^=3.14）（）

81图2

A.2480m2B.2498m2

C.2502m2D.2508m2

5.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15cm,高为10cm,

加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通

孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（）

A.V10B.V15

C.4D.5

6.长方体的体对角线长为1,表面积为1,有一面为正方形，则其体积为（）

A.巫B.

10827

C.涯D.也

96

7.在三棱锥尸-48C中，线段尸C上的点M满足产河=孑。，线段08上的点N

满足尸N=g0瓦则三棱锥尸和三棱锥尸-48C的体积之比为（）

12

--

99

A.CB.

14

-D..-

39

8.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别

SV

为S甲和S"体积分别为修甲和修乙.若止=2,则1=（）

3乙/乙

A.V5B.2V2

C.V10D.也

4

二、多项选择题

9.如图，四边形48CQ为正方形，平面48CD,FB//ED,AB=ED=2FB,

记三棱锥E-ZCQ,F-ABC,FZCE的体积分别为八，外,匕，则（）

E.

A.匕=2女B.F3=KI

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

10.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台。。2,在轴截

面Z8CD中，AB=AD=BC=2cm,且CQ=2AB,则（）

A.该圆台的高为1cm

B.该圆台轴截面面积为3旧cm2

C.该圆台的体积为蜉cm3

D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到幺。的中点，所经过的最短路程为

5cm

三'填空题

11.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm,母线长最短为50

cm,最长为80cm,则斜截圆柱的侧面面积5=cm2.

12.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为

2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

[B组在综合中考查关键能力]

13.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为8cm的正

四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱

长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（）

-256/&c512V2R

C・------cmJD.-------cmJ

33

14.已知圆锥尸。的底面半径为於，。为底面圆心，为圆锥的母线，/AOB

=g,若的面积等于竽，则该圆锥的体积为（）

A.nB.V6?r

C.3兀D.3V6?r

15.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北

方叫作“冰泰（gA）”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现

有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3,将其放倒在一平面上，使圆锥在

此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动

了3周，则（）

A.圆锥的母线长为9

B.圆锥的表面积为36兀

C.圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为60。

D.圆锥的体积为12V271

16.如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为16遮cm2

的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高

度，则圆柱形冰块的侧面积的最大值为cm2.

参考答案

［A组在基础中考查学科功底］

1.D［正三棱柱中9条棱长度可以完全相等，A成立；

正四棱锥中8条棱长度可以完全相等，B成立；

正四棱柱中12条棱长度可以完全相等，C成立；

因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，

所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，D不成立.

故选D.］

2.B［由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系包理=返，

s原图4

...该三角形直观图的面积为/xfX22=¥,故选B.］

3.B［如图所示，在正四棱锥尸-Z5CQ中，连接ZC,BD爻于点、0,则点。为

正方形45CD的中心，

连接0P,则底面边长45=3近(m),对角线BD=42AB=6(m),B0=^BD=3(m).

又AP=5(m),故高0P=、BP2-BO2=4(m).

故该正四棱锥的体积为K=|x(3V2)2X4=24(m3).]

4.A[由题图2得半球、圆柱底面和圆台一■个底面的半径为R=T=9.5(m),

而圆台另一个底面的半径为r=l(m),

圆台的母线长为/=JC+31.52=W^=32.6(m),则§半球=；X4X兀X9.52=

180.5兀(m?),S圆柱侧=2兀X9.5X14=266兀(n?),

2

S周台®产兀(1+£)x32.6=342.3兀(m2),SH^A=7i(m),

所以S表=180.5兀+266兀+342.3兀+兀=789.8兀〜789.8X3.14亡2480(m2).

故选A.]

5.D［大圆柱表面积为2X152兀+10X2X15兀=750兀,

小圆柱侧面积为10X2兀j上、下底面积之和为2兀/，

所以加工后工件的表面积为750兀+20”一2兀户，当〃=5时表面积最大.故选D.］

6.B［不妨设长方体底面为正方形，边长为a,高为b,

则底面的对角线为

・・•长方体的体对角线长为1,表面积为1,

,_V2

(4ab+2a2=1a=T，

］解得o

((V2a)2+b2=,2V2

3,

长方体体积为a2b=^.

故选B.]

7.B[如图，因为尸工尸C,PN=-PB,所以毁型=

33S^PBC

[PM•PN•sinMPC=PM・PN=1x2=2所以“MN_0-PMN=

•PB,sinZ.BPCPC•PB339'Vp-ABC^A-PBC

4・d

丁侬.=妥妪:(其中d为点z到平面PBC的距离，因为平

空APBC,dS^PBC9

面PAW和平面08c重合，所以点Z到平面尸AW的距离也为砂.故选B.］

8.C［设母线长为/,甲圆锥底面圆半径为n,乙圆锥底面圆半径为处

C

则同=翳十=2,所以“29

又干+华=2兀，

则牛=1,

所以n=|/,F2=|/,

所以甲圆锥的高历=J[2V0=争,

乙圆锥的高〃2=J120=争,

所以"=起"=看班•=m.故选C.]

11411

9.CD[设AB=ED=2FB=2,贝|匕=石x：X2X2X2三，F2=-xjX2X2Xl

=|.连接AD交ZC于连接£A/、EW(图略)，则EM=^e>,EF=3,

故旧*代=苧，匕=；SAEMFX/C=2,%=%+%,2匕=3匕，故

选CD.]

10.BCD[如图1,作BELCD交CD于E,易得。£=上詈=l(cm),则5£=

V22—I2=V3(cm),则圆台的高为旧cm,A错误；

CB0

EOi

圆台的轴截面面积为1x(2+4)xg=38(cm2),B正确;

：)=^—(cm3),C正确;

将圆台的一半侧面展开，如图2中45CO,设尸为4D中点，圆台对应的圆锥一

半侧面展开为扇形COD,由CE=EOi可得BC=OB=2cm,则0c=4cm,ZCOD

又。尸=04+磐=3(cm),则CP=74?+32=5(cm),即点C到40的

422

中点所经过的最短路程为5cm,D正确.故选BCD.]

11.2600TI[将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图

为矩形.由题意得所求侧面面积5=；*(兀乂40/(50+80)=2600兀((：1112).]

12.28[如图所示，正四棱锥尸-48CQ的底面边长为4,用平太

行于底面的平面截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥Jy\c,

P-A9CD后,得到正四棱台48cD,且N®=2,AB=7?T\\

4.记。'，。分别为正四棱台4HCZ)'-48C£)上、下底面的中心，/布仿

AHB

H,H分别为AB,45的中点，连接尸。，PH,OH,OH,则

尸0=3,O'H'=\,0H=2.易知APO'WSAPOH,所以黑=哈，即亮=最解

1

得尸0=6,所以00'=P0—P0'=3,所以该正四棱台的体积F=jX3X(22+2X4

+42)=28.]

[B组在综合中考查关键能力]

13.C[依题意，栗将棱长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲

盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相

同的外接球，如图，正四面体48CD的棱长为8cm,

所以该正方体棱长为4或cm,盲盒内剩余空间的体积为

4xix1x4V2X4V2X4V2=^|^(cm3).故选C.]

14.B[在△N05中，AO=BO=W,ZAOB=^-,由余弦定理得4B=

Js+3-2xV3xV3x(-1)=3,设等腰三角形248底边Z8上的高为〃，则

S△阳B=[X3/?=W，解得〃=手，由勾股定理得母线E4=J(|y+律,=3,则

该圆锥的