2025年高考数学一轮复习：二次函数及方程、不等式

2025年高考数学一轮复习之一、二次函数及方程、不等式

选择题（共10小题）

1.已知集合A={M?-4X+3W0},B=[-1,1,2,4},则AG3=()

A.{1,2,3)B.{1,2}C.{2,3}D.{-1,1,2}

2.已知集合A={x|x+2>0},B={x\x1-x-2<0},则AG3=()

A.{x|-2<x<l}B.{x\-2<x<2]C.{x\-1<X<1}D.{x\-l<x<2]

Y_2c

3.已知集合4={%|虢<0},B={x|x2-3x<0},贝!JAU3=()

A.{小W2或x23}B.[x\-2<x<3}

C.{x[0<xW2}D.-2或x23}

4.设集合A={0,1,2,3),2={尤CN|d-5x+420},贝！()

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{1,2,3)

%—3y+1<0

若满足约束条件卜+

5.x,y2y<9则z=2x-y最大值为（

3x+y>7

A.8B.1C.-2D.0

6.设集合A={-4,-2,0,2,4},8={x|尤2-4龙-5>0},则ACB=()

A.{0,2,4}B.{-4,-2,0}C.{-4,4}D.{-4,-2)

7.已知集合4={尤|/-4x+3W0},B={x|2<x<4},贝i]AC8=()

A.{x|3Wx<4}B.{x|lWxW3}C.{x[2<xW3}D.{x|l«4}

8.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得〃次测量分别得到刘，X2,…，物共〃个数据.我

们规定所测量物理量的“最佳近似值”。应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这

些数据得出的“最佳近似值”。应是（

A%i招

B.

n

"i=iXi

C.D.-----------

n

%—2<0

表示的平面区域上运动，贝收=空空取值范围是（）

9.已知点P(x,y)在不等式组y-l<0

X-4,

,%+2y-2>0

7

A.[1,3]B.[2,3]C.[1,|]D.[2,今

10.在区域。：—1WX—yWl'内随机取一点尸（尤，y）,则/+/W1的概率为（）

（1<%+y<3

7TTC7rl711

A.1B.1C.---D.---

488884

二.填空题（共5小题）

%+2y—2<0

11.若入、y满足约束条件％-2y—2WO,则z=x+5y的最大值为.

3%—2y+6>0

12.已知全集。=凡集合A={x|d-3尤+220},则彳=.

13.函数次x）=7-4"+2次上有一个动点p,定点4（0,-1）,则14Pl的最小值是.

（X>1c

3%—z

14.若P（尤，y）满足条件,x-y>0,且---=2,则z的最大值为________.

2x—y<4丫

2x+3y—6<0,

3x-y+2>0,设目标函数z=2x+3y的最大值为最小值为优，则M+加

{7>0,

三.解答题（共5小题）

16.“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强.如图：一个

运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线/（久）=一加一X2（一。<x<0）滑到台端点8起跳，然后在

空中沿抛物线g（x）=a?-20ax-b（x>0）飞行一段时间后在点C着陆，线段BC的长度称作运动员

的飞行距离，计入最终成绩.已知g（无）="2-20"-6在区间［0,30］上的最大值为-30,最小值为

-70.

（1）求实数a,b的值及助滑道曲线A2的长度.

（2）若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米）.

A(起滑门)

=x,x6R},集合6={W"(x))

=0,xER}.

(1)若p=g=0,写出相应的集合。和序

(2)若集合功={0},求出所有满足条件的0,q；

(3)若集合6只含有一个元素，求证：p20,“NO.

18.己知函数/(x)—x2+2ax+2.

(1)当a=l时，求函数/(无)在［-2,引上的值域；

(2)当。=-1时，求函数/(x)在［f,什1］上的最大值.

19.已知集合A是函数y—lg(20-8x-/)的定义域，集合B是不等式x2-2x+l-a2^0(a>0)的解集,

p：xEA,q：xG.B.

(1)若AC8=0,求实数。的取值范围；

(2)若10是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

20.已知关于x的不等式a/+5x-2«+1<0的解集是M.

(1)若-36M,求实数a的取值范围；

7、

(2)若时={%|zn<kOn+^},求实数。，机的值.

2025年高考数学一轮复习之一、二次函数及方程、不等式

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.已知集合4={尤|/-4x+3W0},1,2,4},则ACB=()

A.{1,2,3}B.{1,2}C.[2,3}D.{-1,1,2}

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】集合思想；综合法；不等式的解法及应用；集合；数学运算.

【答案】B

【分析】解不等式求得集合A,进而求得AC8

【解答】解：由尤2-4X+3=(x-1)(x-3)W0,解得1WXW3,

所以A={x|lWxW3},

所以AAB={1,2}.

故选：B.

【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.己知集合4={力'+2>0},2={尤|尤2_%_2<0},则()

A.{x\-2<x<l]B.[x\-2<x<2}C.{x|-1<X<1}D.{x|-l<x<2]

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】D

【分析】先求出集合A,B,然后结合集合的交集运算即可求解.

【解答】解：由题意得，A={x\x>-2},B={x\-l<x<2},

所以AA8={x|-l<x<2}.

故选：D.

【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

3.已知集合4={x|第W0},8={尤k2-3x<0},则AUB=()

A.{x|xW2或无》3}B.{x\-2<x<3)

C.{x[0<xW2}D.{加W-2或尤N3}

【考点】一元二次不等式及其应用；并集及其运算；其他不等式的解法.

【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】B

【分析】先求出集合A，然后结合集合并集运算即可求解.

【解答】解：因为集合4={刈曾W0}={x|-2<xW2},8=何7-3尤<0}={尤［0<》<3},

则AUB={R-2<x<3}.

故选：B.

【点评】本题主要考查了集合并集运算，属于基础题.

4.设集合A={0,1,2,3},BuDeNk2-5尤+420},则AC8=()

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{1,2,3}

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】C

【分析】利用交集的定义，将两个集合的条件联立即可得到结果.

【解答］解:A={0,1,2,3},8={x€N|/-5尤+420}={x€N|(x-1)(x-4)》0}={x€N|xWl或x

2},

所以AC8={0,1}.

故选：C.

【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

x—3y+140

5.若羽y满足约束条件卜+2y<9,则z=2x-y最大值为()

.3%+y>7

A.8B.1C.-2D.0

【考点】简单线性规划.

【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】A

【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定出目标函数的最优解，代入计算，即可求解.

%—3y+1<0

【解答】解：化简约束条件为+2y<9所表示的平面区域，如图所示，

.3%+y>7

由目标函数z=2%-»可得化为y=2x-z,

所以当直线y=2x-z在y上的截距最小值时，z最大，

即直线y=2x-z过点A时，z最大，

又由广；?+巳=°,解得尤=5,y=2,即A(5,2),可得z“=8.

故选：A.

【点评】本题考查简单的线性规划问题，考查运算求解能力，属于基础题.

6.设集合A={-4,-2,0,2,4},B={x|?-4.r-5>0},则()

A.[0,2,4}B.{-4,-2,0}C.{-4,4}D.{-4,-2}

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】集合思想；定义法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】解不等式求出集合3,根据交集的定义求出AC2.

【解答】解：集合A={-4,-2,0,2,4},B={M?-4x-5>0}={x[x<-1或无>5},

所以ACB={-4,-2).

故选：D.

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

7.已知集合A={M？-4X+3W0},B={X|2<X<4},则()

A.{x|3W尤<4}B.{x|lWxW3}C.{x[2<xW3}D.{x|lWx<4}

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】集合思想；定义法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】化简集合4根据交集的定义计算即可.

【解答】解：因为集合4=国7-4了+3忘0}=凶1・尤忘3},2={尤|2<尤<4},

所以AA3={尤12c尤W3}.

故选：C.

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

8.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得W次测量分别得到XI,X2,…，X"共”个数据.我

们规定所测量物理量的“最佳近似值”。应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这

些数据得出的“最佳近似值”。应是()

9九1

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】A

2222xa

【分析】/(a)=(a-%i)+(a—x2)T------I-(a—xn)=na-2aL+%2T-----.n)+(就4-----卜赌)，

看成关于。的二次函数，即可求解.

【解答】解：根据题意得：/(a)=(a-％力2+Q-％2)2+…+Q-％九/=n十一2(%i+型+…+

xn)a+(好4----F

由于〃>0,所以/(a)是关于。的二次函数，

因此当a=4+X2：“+Xn即0=吟速时，f(a)取得最小值.

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题.

x—240

9.已知点P(x,y)在不等式组y-l<0表示的平面区域上运动，贝吻=中六取值范围是()

+2y-2>0

57

A.[1,3]B.[2,3]C.[L|]D.[2,引

【考点】简单线性规划.

【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】先画出不等式组表示的可行域，再将目标函数转化为z=1+力，根据斜率的几何意义，结

合图像即可求得卜=m3的取值范围，由此得解.

结合图像可知，kQAWkWkQB,

联立《；；二°2=0,解得得A（0,1），故%4=W=1,

联立M短02=0,解得｛；屋，得B（2,0）,故如

所以贝!J2W1+汽】，故2Wz］,

所以z=的取值范围为［2,

故选：D.

【点评】本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.

10.在区域。：［-lWK—yWL内随机取一点尸（尤，y）,则/+y2（i的概率为（）

［1<x+y<3

71TC7rlTl1

A.1-^B.1C.---D.---

488884

【考点】简单线性规划；几何概型.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；概率与统计；逻辑推理；数学运算.

【答案】D

【分析】画出约束条件的可行域，求解满足条件的面积，利用几何概型，转化求解即可.

【解答】解：在区域［-1三久—ywi’

区域。为正方形ABC。及其内部（如图所示），正方形的边长为：V2.

x2+y2^l表示圆x2+y2=l及其内部在正方形A8C。内的部分，

n_l1

由几何概型概率可知，所求概率。=守=卷-

Zo4,

故选：D.

y

汁

【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型的求法，是基础题.

二.填空题（共5小题）

（X+2y-2＜0?

11.若x、y满足约束条件％-2y-2＜。,则z=x+5y的最大值为二.

.3%—2y+6之02

【考点】简单线性规划.

【专题】对应思想；数形结合法；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

13

【答案】万.

【分析】画出可行域，将z=x+5y变形为＞=-1+5,平移直线可得到点A处取得最大值，计算点A的

坐标，代入求解即可.

【解答】解：作出可行域如图所示：

将z=x+5y变形为产Y+f，

在图中作出过原点的直线产Y，

可知当直线平移到点A处时，z="5y取最大值,

x=—1

X+2y-2=0,0

所以.3比一2y+6=0'付,

y=

2

即A(—1/引,

313

所以zmax=-1+5X,=

13

故答案为：-

【点评】本题考查了简单的线性规划，作出可行域是关键，属于基础题.

12.已知全集。=兄集合A={尤以2-3尤+220},则彳=(1,2)

【考点】一元二次不等式及其应用；补集及其运算.

【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】(1,2).

【分析】先求出集合4然后结合集合的补集运算即可求解.

【解答】解：因为U=R,集合A={x*-3x+220}={小22或xWl},

则Z=(1,2).

故答案为：(1,2).

【点评】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题.

13.函数/(x)=/-4ax+2a2上有一个动点p,定点A(0,-1),则|AP|的最小值是万

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】y.

【分析】设点P的坐标，求出|AP|的表达式，由二次函数的性质可得|AP|的最小值.

【解答】解：设尸(x,y),可得y=/-4QX+2〃2,

可得|AP|2=/+(y+1)2=/+(/_4〃X+2〃2+1)2=^+[2(o-%)2+1-x2]

2—+(1-X2)2=%4_/+1=(x2--)2+->

所以|AP|N堂.

V3

故|AP|的最小值为三.

故答案为：手.

【点评】本题考查二次函数的性质的应用，属于中档题.

14.若尸(x,y)满足条件Jx-y20,且----=2,则z的最大值为7.

(2%—y<4V

【考点】简单线性规划.

【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】7.

【分析】由约束条件作出可行域，把目标函数变形，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把

最优解的坐标代入目标函数得答案.

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由----=2,得y=5久一亍，

y22

由图可知，当直线y=|久一★过A时Z有最大值，等于3X1-2X(-2)=7.

故答案为：7.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

2%+3y—6<0/

3x-y+2>0,设目标函数z=2x+3y的最大值为M,最小值为相，则

(y>0,

14

~3

【考点】简单线性规划.

【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，当直线z=2r+3y过A时，z有最小值为机=-

当直线z=2x+3y与直线2x+3y-6=0重合时，z有最大值为M=6,

.14

M+m=百.

14

故答案为：—.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

三.解答题（共5小题）

16.“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强.如图：一个

运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线/（久）=一加一X2（一。<x<0）滑到台端点B起跳，然后在

空中沿抛物线g（x）=a?-20ax-b（x>0）飞行一段时间后在点C着陆，线段BC的长度称作运动员

的飞行距离，计入最终成绩.已知g（无）=办2-20"-6在区间［0,30］上的最大值为-30,最小值为

-70.

（1）求实数a,b的值及助滑道曲线的长度.

（2）若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米）.

A(起滑门)

【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】⑴a=-点,b=40,助滑道曲线A3的长度为207t米；

(2)89米.

【分析】(1)令＞=/(无)，即可得到了+/=必，(-b^x^o,-bWyWO),即可得到了(x)的几何意

义，根据二次函数的性质得到g(10)=-30,g(30)=-70,即可求出a、b的值，从而求出曲线

AB的长度；

(2)由(1)可得g(无)的解析式，依题意可得yc=-120,代入解析式中解出x,即可求出C点坐标，

根据两点间的距离公式计算可得.

【解答】解：(1)因为f(x)=-⑷2—/(-bWxW0),令y=/(x),则/+y2=62,(一放尤＜0,-b

WyWO),

y_____1

所以/(%)=—Zb2—%2(-b4％40)表示以(0,0)为圆心，半径r=Z?的一圆弧，

4

因为g(x)=ax1-20ax-b(x＞0)由图象可知函数开口向下，

所以当x=10时g(x)max=g(10)=-100〃-b=-30,g(30)=300。-b=-70,

解得卜=G,所以而=1x27rx40=20TT,

U=404

即。=一白，b=40,助滑道曲线AB的长度为20Tt米；

(2)依题意可得A(-40,0),B(0,-40),yc=-120,

由(1)可得g(%)=-yg+2%—40(%>0),

令g(x)=-120,即一击％2+2%-40=-120,

解得％l=40,X2=~20(舍去)，

所以C(40,-120),所以|BC|=7402+(-40+120)2=40V5«89,

即该运动员飞行距离约为89米.

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，属于中档题.

17.设函数/(x)=j^+px+q(p,qCR),定义集合。={W>(/(x))=x,xGR),集合回=(f(x))

=0,xER}.

(1)若0=q=O,写出相应的集合。和助

(2)若集合Q={0},求出所有满足条件的p,q；

(3)若集合6只含有一个元素，求证：p20,

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】压轴题；方程思想；函数的性质及应用；逻辑推理.

【答案】(1)D/={Of1},母={0}.

(2)p=l,q=0.

(3)证明见解析.

【分析】(1)由¥=%、d=o解得X,可得Ef；

(2)由/(/(%))-x=0得x2+(p+1)x+p+q+l=0或/+(p-1)x+q=0,然后由A1=(p+1)2-4

2

(p+q+1),A2=(p-1)-4^>Ai,方程/"(x))7=0只有一个实数解0,得A2=0,Ai<0,

转化为了+(p-1)x+q=0有唯一实数解0,可得答案；

(3)由条件，/(/(x))=0有唯一解，得/G)=0有解，分于(X)=0有唯一解犹、/(x)=0有两

个解％1,X2(X1<X2),则/(X)=(X-Xl)(X-X2),且两个方程/(%)=X\,f(X)=X2总共只有一

个解，结合/(X)图像可知/(X)=%2有唯一解，所以X2<0,Xl<0,结合/(X)的图像和实数解的个

数可得答案.

【解答】解：f(x)=/,f(/(x))=/,由/=x解得冗=0或冗=1,

由d=o解得％=0,所以功={0,1},Ef={0}.

(2)由/(/(x))-x=f(/(x))-f(x)+f(x)-x

=/(x)+pf(x)-x2-px+f(x)-x=(/(x)+x+p+l)(/(x)-x)

=(/+(p+1)x+p+q+1)(/+(p-1)x+q)=0,

得/+(p+1)x+p+q+l=0或f+(p-1)x+q=0,

A1=(p+1)2-4(p+q+1)=(p-1)之一例-4,

△2=(p-1)2-4q=(p-1)2-4q>△i,

而方程/(7(x))-1=0只有一个实数解0,

所以八2=0,△1<0,即只需/+(p-1)x+q=0有唯一实数解0,所以p=l,q=0.

(3)由条件，/(/(%))=0有唯一解，所以/(x)=0有解，

①若/(%)=0有唯一解X0,则/(x)=(X-X0)2,且/(%)=%0有唯一解，

结合/(x)图像可知xo=O,所以/(%)=/,所以p=q=0.

②若/(X)=0有两个解％1,X2(X1<X2),则/(x)=(X-Xl)(X-X2),且两个方程/(X)=X1,f

(x)=X2总共只有一个解，结合/(X)图像可知/(%)=X2有唯一解，所以X2<0,XIV0,

则/(x)=(X-Xl)(X-X2),且两个方程/(x)=X1,f(x)=%2总共只有一个解，

结合/(x)图像可知/(%)=12有唯一解，所以X2〈O,<0,所以g=xix2>0,且/(x)的对称轴x=—3

<0,

所以p>0,所以p>0,q>0.

综上，p20,

【点评】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系

数对新定义的理解能力及计算能力.

18.已知函数/(x)=x2+2ax+2.

(1)当4=1时，求函数/(%)在［-2,3］上的值域；

(2)当〃=-1时，求函数/(x)在口什1］上的最大值.

【考点】二次函数的值域；二次函数的最值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

(t-I)2+L

【答案】(1)值域是［1，17］;(2)/(X)max=\14

F+l,t>2

【分析】(1)函数在［-2,-1)上单调递减，在(-1,3］上单调递增，可得函数/(X)在区间［-2,3)

上的值域；

(2)当a=-1时，/(x)=/-2x+2=(x-1)2+1,分类讨论，即可求函数/(x)在区间［3f+1］上

的最大值.

【解答】解：(1)当4=1时，f(X)=/+2尤+2=(x+1)2+1,其图象对称轴为直线X=-1;

所以函数/(X)在［-2,-1)上单调递减，在(-1,3］上单调递增，

•'•X=~Iff(%)min-f(11)=1,冗=3,f(%)max=f(3)=17,

・・・函数/(%)在区间［-2,3)上的值域是［1,17］；

(2)当a=-1时，/(x)=J?-2x+2=(x-1)2+1,

当/<义，函数/(x)在区间［3方+1］上的最大值/(/)=(L1)2+1；

当行右函数/(无)在区间,，汁1］上的最大值/G+l)=P+1；

((t—1)2+1,t<5

，函数/(X)在区间［3f+1］上的最大值/(x)《12.

(t2+nt>|

【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学

思想，属于中档题.

19.已知集合A是函数y=lg(20-8x-x2)的定义域，集合B是不等式W-2x+l-(〃>0)的解集，

p：xGA,q：xEB.

(1)若AC8=0,求实数。的取值范围；

(2)若「p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【考点】一元二次不等式及其应用；函数的定义域及其求法；充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)分别求函数y=/g(20-8%-?)的定义域和不等式2x+l-a2》。(^>0)的解集化简

集合A,由ACB=0得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a的取值范围；

(2)求出「p对应的无的取值范围，由「p是q的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端

点值的关系列不等式组求解a的范围.

【解答】解：(1)由条件,得4=凶-10cx<2｝,“｛小》l+a或启1-。｝

f1+a>2

若AC8=0,则必须满足11一aW-10

[<2>0

所以。的取值范围为[11,+°°)；

(2)易得「p：尤22或xW-10,

是g的充分不必要条件，

二｛小》2或尤W-10｝是B=｛x|尤21+a或xWl-a｝的真子集,

'l+aW2

则•1—a2-10,，。〈小,

a的取值范围为(0,1].

【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，正确理解充要条件的定义，是解答的关键.

20.已知关于x的不等式以2+5X-2a+l<0的解集是M.

(1)若-36M,求实数a的取值范围；

7

(2)若"=Vm+引，求实数a,m的值.

【考点】由一元二次不等式的解求参数.

【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)[a\a<2｝;

(2)a=2,m-3.

【分析】(1)由题意得，-15-2a+l<0,求出。的取值范围即可；

(2)由题意可知，方程办-2a+l=0的两个根为x2-m+-^,且a>0,再结合韦达定理求

解.

【解答】解：（1）由题意得，9〃-15-2〃+1<0,

解得a<2,

故a的范围为｛a|〃V2｝；

（2）由题意可知，方程-2〃+1=0的两个根为xi=m,X2=m+1,且a>0,

（,5

由韦达定理可得，<+%2=2--心-1,

—ZQ-rl

所以（X1-X2）2=（X1+X2）2-4X1X2=（―-）2-4X—（-）2,

CLCL2

解得。=2或-瑞（舍去），

75

所以m+m+—2»

解得m=-3.

【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了韦达定理的应用，属于基础题.

考点卡片

1.并集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合8的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作AUB.

符号语言：或无62}.

AU3实际理解为：①％仅是A中元素；②％仅是8中的元素；③x是A且是8中的元素.

运算形状：

®AUB=BUA.®AU0=A.®AUA=A.@AUB2A,@AUB=B^AQB.@AUB=0,两个

集合都是空集.⑦AU(CuA)=U.⑧Cu(AUB)=(CUA)n(CUB).

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；注意并集中元素的互异性.不能重复.

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数

的定义域，值域联合命题.

2.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合2的元素组成的集合叫做A与2的交集，记作ACR

符号语言：AHB={X\XGA,且XCB}.

ACS实际理解为：尤是A且是8中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算形状：

®AHB=BnA.②AC0=0.®AAA=A.@AHBQA,ADBQB.@AHB=A^AQB.@AAj?=0,两个

集合没有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

3.补集及其运算

【知识点的认识】

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作

U.（通常把给定的集合作为全集）.

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简

称为集合A的补集，记作CuA,即CuA=[x\xeU,且x^A].其图形表示如图所示的Venn

【解题方法点拨】

常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法.

【命题方向】

通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、

值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现.

4.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p今q,称p为q的充分条件，q是p的必要条件.事实上，

与“p今q”等价的逆否命题是“今「p”.它的意义是：若q不成立，则p一定不成立.这就是说，q对

于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：x>2；q：x>0.显然xCp,则xCq.等价于尤幽，

则xCp一定成立.

2、充要条件：如果既有“〃今又有“q=p”,则称条件p是g成立的充要条件，或称条件g是p成立的

充要条件，记作“poq”.p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一

不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学

生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若p=q为真命题且q0P为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若pnq为真命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若p=q为假命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内

容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

5.其他不等式的解法

【知识点的认识】

指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和

指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解.

【解题方法点拨】

例1：已知函数/(无)=/一1(e是自然对数的底数).证明：对任意的实数x,不等式/(x)》尤恒成立.

解：(/)设/?(尤)=/(x)-x=ex~1-x

(尤)=，1-1,

当x>l时，li(x)>0,h(x)为增，

当x<l时，h(x)<0,h(x)为减，

当x=l时，h(x)取最小值//(1)=0.

：.h(x)(1)=0,即/'(x)

这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其

实是大家的计算能力.

例2：已知函数/(x)=logfl(x-1),g(x)=loga(3-x)(〃〉0且〃W1),利用对数函数的单调性，讨

论不等式/(x)2g(x)中工的取值范围.

解：•.•不等式/(x)2g(x),即loga(X-1)Nloga(3-X),

(X—1—x

・・・当〃>1时，有，解得2<x<3.

[1<%<3

X—1V3-x

，解得1cx<2.

{1Vx<3

综上可得，当。>1时，不等式/(尤)2g(x)中x的取值范围为(2,3)；

当l>a>0时，不等式/(%)(无)中x的取值范围为(1,2).

这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后

变成一个对数函数来求解也可以.

【命题方向】

本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，

希望大家好好学习.

6.二次函数的性质与图象

【知识点的认识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变

量的变化而变化.它的一般表达式为：y^a^+bx+c(aWO)

【解题方法点拨】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有

可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物

线的焦点、准线和曲线的平移.

这里面略谈一下他的一些性质.

h

①开口、对称轴、最值与X轴交点个数，当40(<0)时，图象开口向上(向下)；对称轴x=-六；

最值为：/(—/);判别式△=庐-4a，当△=()时，函数与无轴只有一个交点；△>◊时，与x轴有两

个交点；当时无交点.

②根与系数的关系.若△'(),且xi、尤2为方程y=a/+bx+c的两根，则有xi+x2=—，，xi・x2=泉

③二次函数其实也就是抛物线，所以/=2py的焦点为(0,与,准线方程为>=-与含义为抛物线

上的点到到焦点的距离等于到准线的距离.

④平移：当y=a(x+6)2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a(x-1+Z?)2+c；

【命题方向】

熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得

取得，这也是一个常考点.

7.二次函数的值域

二次函数的值域

8.二次函数的最值

二次函数的最值

9.一元二次不等式及其应用

【知识点的认识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是ajr+bx+cX)

或ax1+bx+c<Q(°不等于0)其中以?+加什。是实数域内的二次三项式.

特征

当△=/?2-4ac>0时，

一元二次方程af+bx+cu。有两个实根，那么可写成a(x-xi)(尤-尤2)

当△=/-4ac=0时，

一元二次方程a7+fcr+cu。仅有一个实根，那么以2+区+<:可写成a(x-xi)~.

当△=庐-4ac<0时.

一元二次方程a^+bx+c=0没有实根，那么cur+bx+c与x轴没有交点.

【解题方法点拨】

例1：一元二次不等式，<x+6的解集为.

解：原不等式可变形为(x-3)(x+2)<0

所以，-2<x<3

故答案为：(-2,3).

这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成"2+bx+c<0的形式；然后应用了特征

当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解.

【命题方向】

①一元二次不等式恒成立问题：

一元二次不等式a^+bx+cX）的解集是R的等价条件是：a＞Q且△＜（）；一元二次不等式ax2+Z?x+c＜0的

解集是R的等价条件是：。＜0且△＜（）.

②分式不等式问题：

I，＞0=/（尤），g（%）＞0；

。（久）

~~~（x）・g（x）＜0；

。（无）

-9（尤）2o

g⑶IgO）丰o;

f（x）V』「⑺•9。）＜0

。㈤h（x）丰o

10.由一元二次不等式的解求参数

由一元二次不等式的解求参数

11.简单线性规划

【知识点的认识】

线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型.简

单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出.我们高中阶

段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜

率的最值.

【解题方法点拨】

1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.

ZZ

2