双曲线的标准方程（原卷版）2

3.的标准方程【考点梳理】考点一：双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.考点二：双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2重难点技巧：（1）,,表示双曲线；（2）,,表示两条射线；（3）,表示双曲线的一支；（4）,表示一条射线.【题型归纳】题型一：双曲线的定义1．（2023秋·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（

）A． B． C．或 D．【答案】A2．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）与圆及圆都外切的圆P的圆心在（

）A．一个椭圆上 B．一个圆上C．一条直线上 D．双曲线的一支上3．（2022·江苏·高二期中）已知，是双曲线的左，右焦点，点P为双曲线C上的动点，过点作的平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线题型二：利用双曲线的定义求轨迹方程4．（2021秋·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期中）动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．5．（2022秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．6．（2022·江苏·高二专题练习）已知点，动圆C与直线相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．题型三：双曲线中的焦点三角形问题7．（2023·高二课时练习）双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（

）A． B． C．32 D．428．（2023·高二课时练习）已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（

）A． B． C． D．9．（2023·高二课时练习）已知，分别是双曲线的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．题型四：双曲线的参数问题10．（2023·高二课时练习）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．（2022秋·江苏宿迁·高二校考期中）若方程表示双曲线，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．12．（2021·江苏·高二专题练习）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．题型五：双曲线的标准方程的求法13．（2021·江苏·高二专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．14．（2022·江苏·高二专题练习）已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（

）A． B．C． D．15．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为A． B． C． D．题型六：双曲线中的最值问题16．（2023·高二课时练习）已知双曲线是其，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（

）A． B． C．7 D．817．（2023·高二课时练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（

）A．19 B．25 C．37 D．8518．（2023·高二课时练习）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型七：双曲线方程的综合问题19．（2023·江苏·高二假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)，经过点；(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点；(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．20．（2023秋·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：(1)与圆和圆都内切；(2)与圆内切，且与圆外切；(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.21．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求：(1)线段的长；(2)设点为右焦点，求的周长.【双基达标】单选题22．（2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（

）A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．双曲线一支23．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．24．（2022秋·江苏徐州·高二校考期中）若方程所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是（

）A． B． C． D．25．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．(1)求双曲线的标准方程；(2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；(3)在（2）的基础上，求的周长．26．（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于，两点，求的面积.【高分突破】一、单选题27．（2022·江苏·高二专题练习）已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（

）A． B． C． D．28．（2023·高二课时练习）南非双曲线大教堂由伦敦著名的建筑事务所完成．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线过点，离心率为，则此双曲线的方程为（

）A． B． C． D．29．（2023·高二课时练习）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（

）A．0 B． C．1 D．230．（2023·高二课时练习）已知双曲线的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，，当的周长最小时，的面积为（

）A．2 B．4 C．8 D．1231．（2021秋·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．832．（2022秋·高二单元测试）已知双曲线，过双曲线的上焦点作圆的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为的中点，则的外接圆的周长为（

）A． B． C． D．33．（2023·江苏·高二假期作业）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，，为坐标原点，是中点，则（

）A． B． C． D．34．（2021·高二单元测试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，动点M在双曲线的左支上，过点M作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为N，若当取到最小值为10时，则（

）A．面积的最大值为 B．面积的最小值为C．面积的最大值为25 D．面积的最小值为25二、多选题35．（2022秋·江苏连云港·高二期末）已知方程，下列说法错误的是（

）A．当时，此方程表示椭圆 B．此方程不可能表示圆C．若此方程表示双曲线，则 D．当时，此方程表示双曲线36．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（

）A． B． C． D．37．（2023·高二课时练习）已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（

）A．B．直线，的斜率之积等于定值C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个D．若，则38．（2021·高二单元测试）已知椭圆C：与双曲线：共焦点，过椭圆C上一点P的切线l与x轴、y轴分别交于A，B两点为椭圆C的两个焦点又O为坐标原点，当的面积最小时，下列说法正确的是（

）A．B．C．直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值D．的平分线长为39．（2021·高二单元测试）已知点P是双曲线E：的右支上一点，，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（

）A．点P的横坐标为 B．的周长为C．小于 D．的内切圆半径为三、填空题40．（2023秋·江苏无锡·高二辅仁高中校考阶段练习）若方程所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是.41．（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知椭圆C与双曲线E：有相同的焦点，，点M是椭圆C与双曲线E的一个公共点，若，则椭圆C的标准方程为．42．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为.43．（2022秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）法国数学家蒙日发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：对应的蒙日圆方程为，则.44．（2023·高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则.四、解答题45．（2023秋·高二课时练习）已知，当为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)