空间的直线方程

1空间直线的对称式或点向式问题：设直线L经过定点P0(x0,y0,z0),并以为方向向量，则直线L的位置完全确定，试建立直线L的方程。

设P(x,y,z)是空间中异于P0的任一点，则点P在直线L上的充要条件为：由两向量平行的充要条件可得：（1）称（1）为直线L的对称式方程。在(1)式中，令则t为参数（2）称（2）式为直线L的参数方程约定：例1求过点A(1,1,1)，B(1,2,3)的直线l的对称式

方程、参数方程.解：l的方向则得l的对称式方程参数方程2空间直线一般方程称（3）式为空间直线L的一般方程

当把直线看作两个相交平面的交线时，直线L的就可以写成联立方程组的形式：点P0(x0,y0,z0)在L上的充要条件是：

x0,y0,z0同时满足（3）式的两个平面方程.

化一般方程为点向式方程或参数方程。例2

用对称方程及参数方程表示直线l：解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得l上一定点和l的方向即可.现求一定点.将联立方程组相加:令z=1得x=3,y=1,得一定点(3,1,1).故得对称式即而得参数方程：

x=3+4t,

y=1

t,

z=13t.

t为参数.练习用对称方程表示直线l：解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得l上一定点和l的方向即可.现求一定点.将联立方程组令x=1得y=1,z=2,得一定点(1,－1,2).故得对称式定理二两直线的位置关系三点到直线的距离四、两直线的夹角、直线与平面的夹角两直线l1,l2的方向s1,s2之间夹角称为该两直线的夹角(通常指锐角).易知令s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2).1、两直线的夹角特例：

l1//l2

l1

l2

s1

s2=0

s1,

s2线性相关.

s1

s2=0例4

求直线l1：

直线l2：

的夹角。解：

两直线的方向向量分别为：2、直线与平面的夹角我们称直线l与它所在平面

上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角(通常要求).l

n设直线l：平面

：

ln

则n与s的夹角为【注】（2）一般情形平面

的法向量n,l的方向向量v，则有：（1）当直线l垂直与平面

时，其夹角为由此可知：（I）（II）例5

求直线l：且有平面π：则直线l（）解：

直线l的方向向量（A）平行平面π

（C）在平面π上（B）垂直平面π

（D）与平面π斜交定义定理五平面束这样，方程定理

定义六两直线之间的距离

若两直线相交则距离为0，若平行则两直线之间的距离等于任意一点到另一条直线之间的距离.定理证明由上图的几何意义容易得到【1】求过点M0(3,3,0)且与直线

l1:垂直相交的直线l的方程.解：

M0M1

l1

设所求直线l与l2与交点为M1(x1,y1,z1).则M0M1

s1

=(1,1,2).本节综合习题令

t+t+22t6=0.t=1,得(x1,y1,z1)=(1,1,2).故直线方程为直线方向s=M0M1=(13,13,20)=(2,2,2).【2】

设平面π过直线l1:且平行于直线l2：解：两直线的方向向量分别为求平面π的方程。则平面π的法向量故可假设平面的方程为：代入(1,2,3)，得D=2所以平面π的方程为：【3】

过点P0(1,2,1)和直线l1:的平面方程。解：由于P0不在平面上，故平面不为所求平面；通过直线l的全体平面可表示为：由于点在所求平面上，故代入上式可得从而所求平面的方程为：【练习】求直线l1:

x+y1=0,

y+z+1=0,在平面

:2x+y+2z=0上的投影直线的方程.解：直线l1的方向=(1,1,1).再求l1与

的交点M0(x0,y0,z0).即联立求解

x+y

1=0,

y+z+1=0,

2x+y+2z=0.消元

x+y1=0,

y+z+1=0,

y+2z+2=0.

x+y1=0,

y+z+1=0,3z+3=0.

M0l1nM1得(x0,y0,z0)=(1,0,1).任取l1上(不在

上)一点M1(x,y,z)=(0,1,2).作过M1且垂直于

的直线l2:

M0l1nM1设l2与

交点为M2(x2,y2,z2)，则相应参数t满足22t+1+t+2(2+2t)=0得交点M2(x2,y2,z2)所求直线方程为即思想：

求直线与

交点M0；

求直线上平面

外一点M1

；

求过M1垂直于

的直线l2;

求l2与

的交点M2

；

求过M0，M2的投影直线方程.

M0l1nM1解：由题意，只需求过l的平面束中的一个垂直于

的平面

1，即由直线的一般形式(也称交面式)求得投影直线.过l的平面束为

l下面我们用平面束来解题得

1：

投影直线为

x

z2=0,过

1,2x+y+2z=0,过

.令

1=1,即小结空间平面空间直线一般形式法点式截距式(三元一次方程)Ax+By+Cz+D=0.交面式对称式:参数形式:两点式:(一般形式)：三元一次方程组.

x=x0+mt,

y=y0+nt,

z=z0+pt;关系直线间夹角：平面间夹角：直线与平面间夹角：直线在平面上的投影：过直线的平面束中的一条垂