中考数学一轮复习第六讲二次函数综合大题（解析版）

模块三函数

第六讲二次函数综合大题

直击中考胜券在握

线段周长问题、面积问题、角度问题

1.(2023•四川内江中考)如图，抛物线y=a/+bx+c与x轴交于4(-2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点

C.直线I与抛物线交于4、D两点,与y轴交于点E,点。的坐标为(4,3).

(1)求抛物线的解析式与直线/的解析式；

(2)若点P是抛物线上的点且在直线Z上方，连接P4、PD,求当4P4D面积最大时点P的坐标及该面积的最

大值；

(3)若点Q是y轴上的点，且N&DQ=45。，求点Q的坐标.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=—；/+%+3,直线/的解析式为y=[x+l；(2)4P4D的面积的最

大值为？，P(l，v)-⑶Q的坐标为(0点)或(0,—9).

44J

【解析】

【分析】

(1)利用待定系数法解决问题即可.

(2)如图1中，过点P作P£0y轴交A。于点E.设P(加，-/层力康)，则£(加，-m+l\因为

S^PAD=^»(xD-xA)»PE=3PE,所以PE的值最大值时，△以。的面积最大，求出PE的最大值即可.

(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90。得到AT,则T(-5,6),设£>T交y轴于点。，贝U

妫。。=45。，作点T关于A。的对称点T(1,-6),设。。'交y轴于点。'，则她。。=45。，分别求出直线

DT,直线。7的解析式即可解决问题.

【详解】

解：⑴•.•抛物线丫=。/+板+£：与乂轴交于4(一2,0)、8(6,0)两点,

•••设抛物线的解析式为y=a(x+2)(%-6),

解得，x=—2,或x=6,

。(4,3)在抛物线上，

•*-3=Q(4+2)X(4—6),

解得a=—；,

4

・•・抛物线的解析式为y=—：(%+2)(%-6)=-I—+%+3,

・・,直线I经过4(-2,0)、。(4,3),

设直线［的解析式为y=kx+m(fcw0),

则/2々+血=0

I4fc+m=3

解得，［fe=l,

kb=1

•,・直线Z的解析式为y=|x+1；

(2)如图1中，过点P作PE〃y轴交AD于点F.设P(jn,-；病+巾+则?(771[771+1).

4

1

SAPAD=--(xD-xA)-PF=3PF,

・•.PF的值最大值时，4P4D的面积最大，

111y11?9

PF=——m7z+m+3——m—1=——m+-m+2=——(m—1Y+

42424k74’

-i<0,

4

.•・m=l时，PF的值最大，最大值为，此时/PAD的面积的最大值为?P(L»

44

(3)如图2中，将线段2D绕点4逆时针旋转90。得到AT,则7(-5,6),

设DT交y轴于点Q,贝吐4DQ=45°,

・•・。(4,3),

••・直线CT的解析式为y=-i%+y,

1R

•••(2(0,y)，

作点T关于的对称点r'(L-6),

则直线。〃的解析式为y=3x—9,

设OQ'交y轴于点Q'，贝吐40Q'=45°,

Q'(0,-9),

综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0,葭)或(0,-9).

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性

质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题.

2.(2023•广西贵港中考)如图，已知抛物线>=办2+匕尤+。与x轴相交于4—3,0),B两点，与y轴相交

于点C(0,2),对称轴是直线x=—1,连接AC.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若过点B的直线/与抛物线相交于另一点。，当0ABZ)=aBAC时，求直线/的表达式；

(3)在(2)的条件下，当点。在x轴下方时，连接AD,此时在y轴左侧的抛物线上存在点P,使

S&BDP=|SA4BD，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标.

【答案】⑴y=——打+2；⑵y=—疑+|或y=|x—I；(3)(―5,-8)或(―1,9或(一2,2)

【解析】

【分析】

(1)先根据对称轴得出b=2a,再由点C的坐标求出c=2,最后将点4的坐标代入抛物线解析式求解，即

可得出结论；

(2)分两种情况，回、当点。在久轴上方时，先判断出4E=BE,进而得出点E在直线久=-1上，再求出点

E的坐标，最后用待定系数法求出直线Z的解析式；回、当点。在x轴下方时，判断出8D〃4C,即可得出结

论；

(3)先求出点D的坐标，进而求出44BD的面积，得出4PBD的面积，设P(m,-|mI23-1m+2)(m<

0),过P作y轴的平行线交直线8D于尸，得出|),进而表示出PF,最后用面积建立方程求解，即

可得出结论.

【详解】

解：(1)•••抛物线的对称轴为x=-1,

by

-----—―19

2a

••・b=2a,

•・•点C的坐标为(0,2),

c-2,

•,・抛物线的解析式为y=ax2+2ax+2,

•・•点/(一3,0)在抛物线上，

•••9a—6。+2=0,

2

CL=-----,

3

bI=2Qa=——4,

3

••・抛物线的解析式为y=—|/—："+2；

(2)回、当点。在x轴上方时，如图1,

记BD与4c的交点为点E,

•••乙ABD=Z.BAC,

AE=BE,

,直线x=-1垂直平分4B,

.•.点E在直线％=-1上，

•••点做-3,0),C(0,2),

直线4C的解析式为y=|久+2,

当x——1时，y=%

,4

•・•点

••・点4(-3,0)点B关于x=-1对称，

.­■5(1,0),

.••直线8。的解析式为y=-1x+1,

即直线2的解析式为y=—|x+|；

回、当点。在久轴下方时，如图2,

•・•/-ABD=Z.BAC,

・•.BD//AC,

由回知，直线AC的解析式为y=|x+2,

.••直线8。的解析式为y号

即直线I的解析式为y=|x—|；

综上，直线/的解析式为y=+|或y=|"—|；

(3)由(2)知，直线B0的解析式为y=|x—|①,

•••抛物线的解析式为y=-|%2-|X+2@,

4(Y=0A或(x=­4

•••0(-4,一5)，

•e-SAABD=|XB'\yD\=jx4Xy=y,

3

I^ABDP=2%4BD，

c320«八

=5X3=1。，

•・,点P在y轴左侧的抛物线上，

・•.设P(m,—|m2一1m+2)(m<0),

过P作y轴的平行线交直线BD于F,

pp-|-|m2—1m+2—(|m—1)|=||m2+2m—11,

SABDP=|PF-(xB-%o)=|x11病+2m-||x5=10,

•,­m——5或m=2(舍)或m=-1或m=-2,

P(_5,-8)或(-1$或(-2,2).

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，垂直平分线的性质，坐标系中求三角形面积的方法，求

出点。的坐标是解本题的关键.

3.(2023•甘肃兰州中考)如图1,二次函数、=僦乂+3)(久一4)的图象交坐标轴于点4,B(0,—2),点P为x

轴上一动点.

图I图2

(1)求二次函数y=a(久+3)(x-4)的表达式；

(2)过点P作PQlx轴分别交线段4B,抛物线于点Q,C,连接2C.当。P=1时，求ANCQ的面积；

(3)如图2,将线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PD.

①当点D在抛物线上时，求点。的坐标；

②点E(2,-|)在抛物线上，连接尸E,当PE平分乙8尸。时，直接写出点尸的坐标.

【答案】(1)y-^x2——2；(2)［；(3)①£)(3,—1)或(—8,10)；②(一：,0)或(2,0).

DO4D

【解析】

【分析】

(1)根据B点的坐标以及已知条件，将B的坐标代入即可求得a的值，进而求得抛物线的解析式；

(2)依题意根据(1)的解析式求得4的坐标，进而求得tan/OAB=%据此求得PQ,根据OP=1进而求

得C的坐标，根据SUCQ=j-QC-4P即可求得44CQ的面积；

(3)①过。作。F_Lx轴，分。点在x轴上方和下方两种情况讨论，证明ABOP三APF。，设P(a,0),

D(a+2,-a)将点。的坐标代入(1)中抛物线解析式中即可求得D点的坐标情形2,方法同情形1；

②分当PE不平行于y轴和PE〃y轴两种情况讨论，当当PE不平行于y轴时，过点B作1BP交PE于点M,

过点M作MH10B于点H,证明ABOP三AM"'进而可得P的坐标，当PE〃y轴时，结合已知条件即可求得

P的坐标.

【详解】

(1)•.•二次函数y=a(x+3)(x-4)的图象经过B(0,-2)

—12a=-2

解得a=1

6

1

y=a(x+3)(%—4)=:(％+3)(%—4)

6

11

・•・y=-x?--X—2

66

(2)由y=力(％+3)(%—4),令y=0

6

解得%1=-3,%2=4

・•・4(4,0),。/=4

0B21

tanZ-OAB=■—=-=-

0A42

・•・当OP=1时，PA=OA-OP=4-1=3

13

PQ=PA-tanZ-OAB=-x3=-

“22

-1

・•.x=1,则yc=-(1+3)(1-4)=-2

co

1113

■■-S^ACQ=1-QC-AP=1x1x3=1；

(3)如图，当点。在x轴下方时，过点。作DFLAP于点F,

由、=三X2一工x-2,令％=0,

66

解得y=-2

・••8(0,—2),0B=2

・•・乙FPD+乙PDF=90°,

•・•将线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PD,

・•・乙BPD=90°

・•・40PB+乙FPD=90°

・•.Z,0PB=乙PDF

•・,乙BOP=乙PFD=90°,PB=DP

・•.△BOP=△PFD

.・.BO=PF=2,OP=DF,

设OP=OF=a(a>0),

OF=OP+PF=a+2

:.D(a+2,—CL)

•・•。点在抛物线上，

1

**•—(Q+2+3)(Q+2—4)=-ct

解得a1=l,a2=—10(舍)

当点。在X轴上方时，如图,

过点。作。F14P于点F,设。F=a(a>0)

同理可得△BOP三4PFD

：.BO=PF=2,DF=OP=a+2

••D(-CL,Q+2)

•・・。点在抛物线上，

1

•'«—(—u+3)(—a—4)=a+2

6

解得的.=8,a2=-3(舍去)，

•••£)(-8,10)

综上所述，0(3,-1)或(一8,10)；

②当PE不平行于y轴时，过点B作交PE于点M,过点M作MH108于点”，如图,

・••乙BPE=45°,

•・,BP1BM,

・•・乙HBM+Z.PBO=90°,

•・•乙BOP=乙BHM=90。，PB=BM

・••乙HBM+乙PBO=90°

•・•（BPO+（PBO=90°

・•・乙BPO=4HBM

・•・乙BOP=乙BHM=90。,PB=BM

BOP=△MHB

・•・HM=OB=2

-2

・•・当PE不平行于y轴时，瓦M重合，

-ABOP=AMHB,£仁，一|）

51

OP=BH=OB-OH=2--=--

33

1

・•・P（一于0）

当PE〃y轴时，如图,

X

止匕时孙=xE

则P（2,0）

综上所述，当PE平方NBPD时，点P的坐标为（-1,0）或（2,0）.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，正切的定义，三角形全等的性质与判

定，分类讨论是解题的关键.

4.（2023•青海西宁中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-gx+3的图象与x轴交于点A,

与y轴交于点8，点C的坐标为（-2,0）,抛物线经过A,B,C三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线与y轴负半轴交于点。，S.ABAO=ADAO,求证：OB=OD；

（3）在（2）的条件下，若直线4。与抛物线的对称轴/交于点E,连接BE,在第一象限内的抛物线上是否

存在一点P,使四边形8E4P的面积最大？若存在，请求出点尸的坐标及四边形BE4P面积的最大值；若不

存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-滓+%+3；⑵见解析；（3）存在，当P点坐标是（3,与时，四边形BE4P面积的最

大值是2

【解析】

【分析】

(1)由一次函数y=-}x+3可求得A、B两点的坐标，从而用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

(2)证明△BOA三AD。力即可解决；

(3)过点E作EMly轴于点由S-BE=S-BD-S"DE可求得朋8£的面积为定值12；因此只要求出

点尸的位置使回函2的面积最大，从而使四边形BEAP的面积最大；为此过点尸作PNlx轴于点Hi，交直线

AB于点N,过点B作B“2，PN于点”2，设点尸的坐标为]/+1+3),则可求得PN,且P/^+

AHr=6,由SABPA=SABPN+SAAPN可得关于/的二次函数，从而求得回面积的最大值，因而可得四边

形BEAP面积的最大值，且可求得此时点P的坐标.

【详解】

-1-1

(1)一次函数y=-万％+3与龙轴的交点，令y=0,则-]%+3=0,解得％=6；

与y轴的交点，令％=0,则y=3

团A(6,0),8(0,3)

设抛物线的解析式为y=ax2+b%+c

36a+6b+c=0(a=—

把人B,C三点坐标代入解析式，得c=3解得6=J

、4a-2b+c=0(0=3

回抛物线的解析式为y=-；/+%+3

(2)在平面直角坐标系xOy中，ABOA=^DOA=90°

在ABOA和ADoa中

/.BOA=ADOA

OA=OA

Z-BAO=/-DAO

孤BOA=△DOA(ASA)

HOB=OD(全等三角形的对应边相等)

(3)存在，理由如下：

过点后作后用ly轴于点V

1r1r

^\y=~~x2+%+3=--(x—2)2+4

团抛物线的对称轴是直线第=2

团E点的横坐标是2,即EM=2

啊0,3)

团OB=OD=3

团BO=6

团4(6,0)

回。/=6

团S-RE=SfB。—S〉BDE=5X6x6-3X6x2=12

设点P的坐标为（t,一［产+t+3）

过点P作PNlx轴于点儿，交直线A3于点N,过点2作LPN于点/，如图

团N(t,-|t+3)

OPN=(-it2+t+3)-(-)+3)=-*2+|t

EL4Hl+BH2=OA=6

-1-111

ABPABPNAPN

团S=S“+S&=：PN.B/+^PN.A%=^PN(BH2+AH^=S

◎SABPA=[x6(-#+|t)=-|(t-3)2+?

0-f<0,抛物线开口向下，函数有最大值

4

团当t=3时，ABPa面积的最大值是?，此时四边形BE4P的面积最大

4

2775

0s四边形BEAP=S^ABE+S^ABP="+T=1，

当t=3时，y=—1(3-2)2+4=?

回PM)

团当尸点坐标是(3,,)时，四边形BE4P面积的最大值是亳

【点睛】

本题是二次函数与图形面积的综合问题，它考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，

求二次函数的最值，求图形的面积等知识，求图形面积时用到了割补法，这是在平面直角坐标系中常用的

求面积方法，用到了转化思想，即求四边形面积最大值问题转化为求三角形面积最大值问题.

特殊三角形问题、特殊四边形问题、相似三角形问题

5.(2023•贵州铜仁中考)如图,已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x?+bx+c经过

A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).

(1)求抛物线的解析式；

(2)求回ABC的面积；

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M,使团ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求

出点M的坐标.

【答案】抛物线解析式为：2存在.一遍)，

(1)y=x+2x-3；(2)6；(3)Mi(-1,后,M2(-1,M3

(-1,0),M4(-1,-1).

【解析】

【分析】

(1)根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c

的值，求出抛物线解析式.

(2)由(1)求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即

可计算.

(3)根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为(-1,m),分三种情况讨论，①AM=AB,

②BM=AB,③AM=BM,求出m的值后即可得出答案.

【详解】

解：(1)回直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，

回可得A(1,0),B(0,-3),

把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：口+bjc=°,解得：｛b：2.

c=_3c=F

回抛物线解析式为：y=x2+2x-3.

(2)令y=0得:0=x2+2x-3,解得:xi=l,X2=-3.

EIC点坐标为：(-3,0),AC=4,

0SAABC=|ACXOB=1X4X3=6.

(3)存在.

易得抛物线的对称轴为：x=-1,假设存在M(-1,m)满足题意，

根据勾股定理，得AB=7/+3?=AM=^22+m^BM=+&+3产

分三种情况讨论：

①当时，22解得：=士在.

AM=ABV2+m=V10,m

0Mi(-1,V6)-M2(-1,-V6).

②当时，印,解得：

BM=AB,12+@+3)2=M3=0,M4=-6.

(不合题意舍去).

13M3(-1,0),M4(-1,-6)

③当时，2222解得：

AM=BMV2+m=7i+(m+3)>m=-l.

13M5(-1,-1).

综上所述，共存在四个点使EIABM为等腰三角形，坐标为Mi(-1,V6)»M2(-1,—V6)>M3(-1,

0）,M4（-1,-1）.

6.（2023•辽宁锦州中考）如图1,在平面直角坐标系中，直线分别与冗轴、y轴交于点A,C,经

4

过点C的抛物线y=%2+bx+c与直线的另一个交点为点。，点。的横坐标为6.

（1）求抛物线的表达式.

（2）M为抛物线上的动点.

①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点〃的坐标；

②如图2,点M在直线CZ）下方，直线OM（OM0C。的情况除外）交直线C。于点3,作直线关于直

线对称的直线当直线与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标.

【答案】⑴尸32_卜+1；（2）①点”的坐标为（土运，1）或（止竺，②点M的横坐标为3

442N2，

^4^11-7105

32

【解析】

【分析】

（1）先由直线解析式求出A,C,。的坐标，再由C,。坐标求出抛物线解析式；

（2）①设N（小0）,由平移与坐标关系可得点M的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可；②因为

直线8〃与坐标轴平行，所以引/取轴和8。与轴分类讨论，以取轴为例，画出草图，由于平分

BDBD,,又0A08=回）创/,等量代换，可以证得0AOB是等腰三角形，求出的长度，并且有A和。点

坐标，求出aOA。的三角函数值，过2作3曲轴于X,在直角0AB8中，利用42的长度，和&BA8的三

角函数值，求出A4和的长度，得到8点坐标，进一步得到直线。8的解析式，联立直线和抛物线

解析式，求得交点”点坐标，当3D'鸵轴，用同样的方法解决.

【详解】

解：（1）令x=0,则y=，+l=l,

团C点坐标为（0,1）,

令y=0,则：％+1=0,①

4

4

团％=——，

3

她点坐标为（一$0）,

令％=6,贝!Jy=3%+1==

42

BD点坐标为(6,3)，

将C,£＞两点坐标代入到抛物线解析式中得，

C=1

^9+6b+c=-'

2

解得«=一5,

C=1

回抛物线的表达式为：y=[2_、+i；

44

(2)①设N(%0),

回四边形CDMN为平行四边形，

0M/V//CD,

团由平移与坐标关系可得M(«+6,

回点M在抛物线上，

成(n+6)2-2+6)+1=|，

团"2+9〃+4=0,

丽=也”

2

团点M的坐标为(拄空，I)或(上迤，I);

2222

②第一种情况：如图1,当BD'Ex轴时，分别过8,。作x轴的垂线，垂足分别为H,Q,

图1

在直角0AQQ中，Ag=6+i=y,r>e=y,

团由勾股定理得：AD=^,

6

团回£)AQ=^W，

4

团cosaDAQ=w，

^BAH=^DAQf

AJJ4

^cos^BAH=—=

AB5

回直线BD与直线BZT关于直线0M对称,

SBDBM=WBM,

EIBD'如:轴，

SWOB=WBM=SDBM,

4

^\AB=A0=-,

3

AH4

吠=g,

3

13AH=-,

15

1?

^OH=AH+AO=^-,

令％=一苔贝！J+1=一事

545

as点坐标为（_£,—9，

设直线。8的解析式为>=依，代入点8得，k=l，

回直线0B的解析式为y=1r,

1

y=-x

联立｛13,

L123I4

V=一行——X+1

/44

_4

解得广=":二;，

yi=972

回点M的横坐标为3或右

第二种情况，如图2,当8D旬y轴时，设交x轴于G,

图2

^COB=^\OBG,

团直线5。与直线8。关于直线0M对称,

00CBO=国OBG=aCOB,

回CB=CO=1,

过C作CE03G于E,

团CE//%轴，

^\BCE=^CAO,

coq

^tan^\CAO=—=-,

AO4

4

团cos团CAO=g,

CR4

Bcos^\BCE=—=-,

BC5

44

0CE=-BC=-,

55

__3

团BE=yjBC2-CE2=~，

回。上回3G,8G0x轴，

回团CEG=团5Go=团COG=90°,

团四边形CEGO为矩形，

4

国EG=CO=1,CE=OG=l，

o

[3BG=B£+EG=m

回点B的坐标为(|,|),

团直线OB的解析式为y=2x,

化简得，x2—llx+4=0,

0x=U±ViO5)

2

团点M在直线CO下方，

取V6,

以=11-廊,

2

团点M的横坐标为土叵，

2

即点M的横坐标为3或J或止仅1

32

【点睛】

本题是一道二次函数综合题，数形结合是本题的解题的突破口，同时，对于"平行线十角平分线"这种条

件，要联想到等腰三角形，是此题的解题关键，此题对学生解直角三角形的能力也有一定要求.

7.(2023,巴中中考)已知抛物线y=o%2+bx+c与x轴交于A(-2,0)、8(6,0)两点，与y轴交于点C(0,

-3)-

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点当看最大时，求点P的坐标及黑的最大

AMAM

值；

(3)在(2)的条件下，过点尸作x轴的垂线/,在/上是否存在点。，使ABC。是直角三角形，若存在，

请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=ix2-x-3；(2)P(3,_》*(3)(3,6)或(3,-9)或(3,—学一|)或(3,手一|)

【解析】

【分析】

(1)将4(—2,0)、8(6,0)、。(0,—3)代入丫=£1/+收+(;即可求解析式；

ILfDpp

(2)过点4作4E，比轴交直线BC于点E,过P作PF1X轴交直线BC于点/，由PF//4E,可得京=族，则

求二的最大值即可；

(3)分三种情况讨论：当4。8。=90。时，过点8作GHlx轴，过点。作DG1y轴，DG与GH交于点G,过

点C作CHIy轴，CH与GH交于点H,可证明4DBG-/BC”，求出D(3,6)；当/BCD=90。时，过点。作

DKLy轴交于点K,可证明/OBCs/KCD,求出。(3,-9)；当ZBDC=90。时，线段BC的中点7(3,-|),

设D(3,m),由QT=：BC,可求0(3,誓一|)或0(3,—誓一|).

【详解】

解：(1)将点4(-2,0)、8(6,0)、。(0,—3)代入、=£1/+6%+(：,

(4a—2b+c=0

得136a+6b+c=0,

(c=-3

(a=-

解得上=」1，

L=-3

.・・y=一1%24—X—3o;

：4

(2)如图1,过点4作4E1X轴交直线BC于点E,过P作PFlx轴交直线BC于点产，

tMP_PF

"AM-AEf

设直线的解析式为y=kx+d,

kd=-3

••-y=|x-3,

设P(t,，2—t—3),贝!—3),

PF^-t-3--t2+t+3--t2+-t,

2442

・・・4(_2,0),

E(—2,—4),

・•・AE=4,

="=4=_L产+8=_L

AMAE416816kJ16

；・当”3时,需有最大值总

・•・P(3，T；

(3)•••P(3,-y),。点在/上，

如图2,当NCBD=90。时，

过点8作GH_Lx轴，过点。作DGly轴，DG与GH交于点G过点C作轴，CH与GH交于点H,

•••乙DBG+乙GDB=90°,4DBG+MBH=90°,

4GDB=MBH,

ADBG-ABCH,

・•・一DG=—BG,即pi-t一3=—BG,

BHCH36

BG—6,

£>(3,6)；

如图3,当NBCD=90。时,

过点。作DK1y轴交于点K,

•・•乙KCD+Z.OCB=90°,乙KCD+乙CDK=90°,

・•・乙CDK=〃）CB,

・•・AOBC〜AKCD,

OBOC日口63

--=---，即--=一,

KCKDKC3

・•.KC=6,

•・・。（3,-9）；

线段BC的中点T（3,—鼻），BC=3A/5,

设。（3,m）,

•・•DT=-BC,

2

I,3.3V5

m+-=——

1212

...巾=谑一三或6=一型一三

2222

•,./3,誓一|）或0（3,一雷_|）;

综上所述：/BCD是直角三角形时，。点坐标为(3,6)或(3,-9)或(3,一手一|)或(3,呼-|).

【点睛】

本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将署的最大值问题转化为求

喋的最大值问题是解题的关键.

AE

8.(2023•辽宁朝阳中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-N+b无+。与％轴分别交于点A(-1,

0)和点8,与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式及对称轴；

(2)如图1,点。与点C关于对称轴对称，点尸在对称轴上，若&8尸。=90。，求点尸的坐标；

(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当ABMN为等边三角形时，请直

接写出点M的坐标.

【答案】(1)y=-N+2x+3,对称轴x=l；(2)P(l,1)或(2,1)；(3)%匕血，逋二)或(1+百，凸史寺

333

【解析】

【分析】

(1)利用待定系数法求解即可.

(2)如图1中，连接8D,设瓦)的中点T,连接尸T,设尸(1,m).求出PT的长，构建方程求出机即

可.

(3)分两种情形：当点M在第一象限时，是等边三角形，过点8作交NM的延长线于T,

设N(l,力，设抛物线的对称轴交x轴于E.如图3-2中，当点M在第四象限时，设N(l,n),过点8

作Bl^BN交NM的延长线于T.分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解.

【详解】

解：(1)把A(-1,0),点C(0,3)的坐标代入y=-N+fcr+c,得至[」｛_]_1二_：_0，

解得‘二3，

回抛物线的解析式为y=-X2+2X+3,对称轴X=-三=1.

—2.

(2)如图1中，连接2D,设瓦)的中点T,连接尸T,设尸(1,相).

图1

回点。与点C关于对称轴对称，C(0,3),

EID(2,3),

0B(3,0),

0T(1,-),BDfG-2尸+32=VIU，

EENPD=90°,DT=TB,

回尸7=痴=包，

22

0(1--)2+(m--)2=(巫)2

222

解得m=l或2,

I3P(1,1),或(2,1).

(3)当点M在第一象限时，SBMN是等边三角形，过点8作B7BBN交NM的延长线于T,设N(L/),

作77取一轴于点J,设抛物线的对称轴交无轴于E.

图3-1

团SBMN是等边三角形,

^B\NMB=^NBM=60°,

a3NBT=90°,

团团MBT=30°,BT=WBN,

^\NMB=^1MBT+^\BTM=60°,

^\MBT=^\BTM=30°f

^\MB=MT^MN,

回团N3E+团7B/=90°,回加+团3"=90°,

^\NBE=^BTJ,

加3硒=团"3=90°,

团团3石人何回"5,

喘=凯翳=亚

TJ=2y/3

团T（3+®2V3）,

^\NM=MT,

HM（9,包），

22

团点A/在y=-X2+2X+3上，

回2v__（4+V^t）2+2x4+6"+3

222

整理得，3t2+（4V3+2）r-12+4V3=0,

解得/=-2日（舍弃）或辿二，

3

0M（上星旺1）.

33

如图3-2中，当点M在第四象限时，设N（l,77）,过点2作B7HBN交NM的延长线于T.

同法可得7（3-百小-2百），M（匕叵，上也），

22

则有九-26=_（4-'）2+2乂4-商+3,

整理得，3/+（2-4-\/3）n-12-4-\/3=0,

解得”=W（舍弃）或W,

33

0M（1+V3,-20-3）,

3

综上所述，满足条件的点M的坐标为（匕遗，或二）或（1+百，二三）.

333

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题

的关键.

9.(2023•湖南湘潭中考)如图，一次函数丫=F乂—旧图象与坐标轴交于点A、B,二次函数y=/%2+

bx+c图象过A、2两点.

(1)求二次函数解析式；

(2)点8关于抛物线对称轴的对称点为点C,点尸是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点。，使得

以以C、P、。为顶点的四边形是菱形？若存在，求出。点坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴抛物线的解析式为：y=苧/-竽x—,；⑵。点坐标为(1,一竽)或(3,0)或(-1,

0).

【解析】

【分析】

(1)由直线y=^x-遮与坐标轴的交点坐标A,B,代入抛物线解析式，求出b,c坐标即可；

(2)分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点。的位置有两种：在点尸右侧和左侧,

根据菱形的性质求解即可.

【详解】

解:⑴对于当尤=0时，y=-V3;

当y=0时，与刀_遍=0,妥得，了=3

0A(3,0),B(0,-V3)

把A(3,0),B(0,—\/3)代入y=+力％+得:

[3V3+3h+c=0

Ic=-V3

解得，f-3

、c=—V3

团抛物线的解析式为：y=在/—2%一百；

/33

2V3

(2)抛物线的对称轴为直线x=-2=—耳=1

2a2x半

故设P(1,p),Q(m,n)

①当BC为菱形对角线时，如图,

C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，

团asc与对称轴垂直，且8（7/》轴

团在菱形BQCP中，BCSPQ

ElPQEx轴

团点尸在x=l上，

团点。也在尤=1上，

当x=l时，y=在xM一2xl-遮——逋

0g（1,一竽）；

②当BC为菱形一边时，若点。在点尸右侧时，如图,

@BC“PQ,且BC=P。

EIBC〃无轴，

团令y=—V3?则有y=—W%—V3——V3

解得，%i=0,%2=2

0C(2,-V3)

国PQ=BC=2

国J(V3)2+l2=2

B1PB=BC=2

回迨尸在x轴上，

0P(1,O)

003,0)；

若点。在点P的左侧，如图,

同理可得，Q(-1,0)

综上所述，。点坐标为(工，一竽)或(3,0)或(-1,0)

【点睛】

本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考

查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力.

10.(2023•山东淄博中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=一3/+宇/+£(ni>0)与x轴交于

4(—1,0),8(血0)两点,与y轴交于点C,连接BC.

(1)若0C=204求