结构力学基础概念：能量法：结构力学引论

结构力学基础概念：能量法：结构力学引论1结构力学基础概念：能量法：结构力学引论1.1绪论1.1.1结构力学的研究对象与范围结构力学，作为工程力学的一个分支，主要研究结构在各种外力作用下的响应，包括变形、应力、应变等，以确保结构的安全、稳定和经济。其研究对象广泛，从桥梁、建筑到飞机、船舶，甚至微观结构如复合材料的层合板，都是结构力学关注的焦点。研究范围涵盖了静力学、动力学、稳定性分析、疲劳分析等多个方面，其中能量法是一种重要的分析工具，它基于能量守恒原理，简化了结构分析的复杂性。1.1.2能量法的基本概念与应用能量法，或称变分法，是结构力学中一种基于能量原理的分析方法。它利用能量守恒或能量最小化原理来求解结构的平衡状态和变形。能量法的核心概念包括：势能：结构在给定外力作用下，由于变形而储存的能量。动能：结构由于运动而具有的能量。虚功原理：在任意虚位移下，外力做的虚功等于内力做的虚功。最小势能原理：在静力平衡状态下，结构的总势能达到最小值。能量法的应用非常广泛，特别是在求解复杂结构的平衡状态和变形时，它提供了一种比直接求解力平衡方程更为简便的方法。例如，在求解梁的弯曲问题时，可以利用最小势能原理，通过求解一个能量函数的极值问题，来间接求得梁的位移和应力分布。1.2示例：使用能量法求解简支梁的弯曲问题假设我们有一根简支梁，长度为L，在中点受到一个垂直向下的集中力F的作用。梁的截面为矩形，宽度为b，高度为h，材料的弹性模量为E。我们使用能量法来求解梁在力F作用下的最大挠度。1.2.1步骤1：建立势能函数势能函数V由两部分组成：外力势能Ve和内能V外力势能：由于集中力F作用在梁的中点，外力势能为−12F内能：梁弯曲时，由于材料的弹性变形，内能为12EI0L因此，势能函数V为：V1.2.2步骤2：应用最小势能原理最小势能原理指出，在静力平衡状态下，势能函数V达到最小值。因此，我们可以通过求解dVdδ1.2.3步骤3：求解微分方程将势能函数V对δ求导，得到：d由于梁是简支的，边界条件为δ0=δ1.2.4步骤4：计算结果假设F=1000N，L=4m，b=1.3结论能量法在结构力学中是一种强大的工具，它不仅简化了复杂结构的分析，还为结构设计提供了理论基础。通过上述简支梁的弯曲问题示例，我们可以看到能量法在实际工程问题中的应用过程。掌握能量法的基本原理和应用，对于深入理解结构力学和提高工程设计能力具有重要意义。2能量原理基础2.1虚功原理虚功原理是结构力学中一个重要的概念，它基于能量守恒的原则，用于分析结构在外力作用下的平衡状态。虚功原理的核心思想是：在结构的任何平衡状态下，外力对虚位移做的虚功等于内力对同一虚位移做的虚功。2.1.1原理描述考虑一个处于平衡状态的结构，假设对其施加一组虚位移，这些虚位移满足结构的约束条件，但并不一定是实际发生的位移。根据虚功原理，外力对这些虚位移所做的功（虚功）等于结构内部应力对这些虚位移所做的功（虚内功）。这一原理可以数学形式表达为：δ其中，δW外是外力对虚位移做的虚功，2.1.2应用示例假设有一个简支梁，长度为L，在梁的中点施加一个垂直向下的力F。我们可以通过虚功原理来分析梁的变形。确定虚位移：假设梁在中点的虚位移为δy，且虚位移沿梁的长度方向线性变化，即δ计算虚功：外力虚功：δ内力虚功：梁的内力主要是弯矩M和剪力V，但剪力对虚位移不做功。弯矩对虚位移做的虚功可以通过弹性力学中的公式计算，即δW应用虚功原理：将外力虚功和内力虚功设置为相等，解方程得到梁中点的位移δy2.2卡氏定理卡氏定理（Castigliano’sTheorem）是能量法中的另一个关键原理，它提供了计算结构在给定点的位移或转角的方法。卡氏定理有两种形式：第一种用于计算位移，第二种用于计算转角。2.2.1第一种形式：计算位移卡氏定理的第一种形式指出：如果一个结构在弹性范围内受力，那么结构在某一点的位移等于外力在该点所做的功对相应力的偏导数。δ其中，δy是结构在某一点的位移，W外是外力对结构所做的总功，2.2.2第二种形式：计算转角卡氏定理的第二种形式用于计算结构的转角，它指出：结构在某一点的转角等于外力在该点所做的功对相应力矩的偏导数。θ其中，θ是结构在某一点的转角，W外是外力对结构所做的总功，M2.2.3应用示例假设我们要计算上述简支梁中点的位移，可以使用卡氏定理的第一种形式。计算外力功：外力F对梁所做的功W外可以通过积分计算，即W外=0应用卡氏定理：对W外关于F求偏导数，得到中点的位移δδ通过上述步骤，我们可以利用能量法中的虚功原理和卡氏定理来分析和计算结构的位移和转角，为结构设计和分析提供理论基础。3结构的位能与应变能3.1位能的定义与计算位能，特别是在结构力学中，指的是结构在外部作用力下所储存的能量。当结构受到外力作用时，它会变形，这个变形过程中，外力所做的功被转化为位能，储存在结构中。位能的计算对于理解结构的稳定性、变形和应力分布至关重要。3.1.1位能的计算公式位能V可以通过下面的公式计算：V其中，F是作用在结构上的外力，dx3.1.2示例假设有一个简单的弹簧系统，弹簧的弹性系数为k，在外力F的作用下，弹簧伸长了x的距离。此时，弹簧储存的位能V可以通过下面的公式计算：V3.2应变能的定义与计算应变能是结构在变形过程中，由于材料内部的应力和应变关系而储存的能量。它反映了材料在变形时所消耗的能量，是结构力学中能量法分析的基础。3.2.1应变能的计算公式对于连续介质，应变能U可以通过下面的公式计算：U其中，σij是应力张量，εi3.2.2示例考虑一个一维的杆件，长度为L，截面积为A，弹性模量为E，在轴向力P的作用下，杆件伸长了δ。此时，杆件内部储存的应变能U可以通过下面的公式计算：U这里，PA是轴向应力，δ3.2.3代码示例假设我们有一个具体的杆件，其参数如下：长度L=截面积A=弹性模量E=轴向力P=我们可以使用Python来计算这个杆件的应变能：#定义杆件参数

L=1.0#长度，单位：米

A=0.01#截面积，单位：平方米

E=200e9#弹性模量，单位：帕斯卡

P=1000#轴向力，单位：牛顿

#计算应变能

U=(P**2*L)/(2*A*E)

#输出结果

print("杆件的应变能为：",U,"焦耳")这段代码首先定义了杆件的参数，然后根据应变能的计算公式计算了应变能，并输出了结果。通过这种方式，我们可以直观地看到应变能的计算过程和结果。3.2.4结论位能和应变能是结构力学中能量法分析的两个核心概念。位能关注的是外力对结构所做的功，而应变能则关注材料内部由于应力和应变关系而储存的能量。理解这两个概念对于进行结构的稳定性分析、变形预测和应力分布计算具有重要意义。通过具体的公式和示例，我们可以更深入地理解这些概念，并在实际工程问题中应用它们。4能量法在结构分析中的应用4.1最小位能原理最小位能原理是能量法在结构分析中的一个核心概念，它基于能量守恒定律，用于确定结构在给定外力作用下的平衡位置。位能，或称势能，是由于物体的位置或配置而储存的能量。在结构力学中，位能主要由结构的变形能和外力的位能组成。4.1.1原理描述对于一个静定结构，当外力作用于结构上时，结构会发生变形，从而储存了一定量的变形能。同时，外力也会做功，这部分功转化为外力的位能。最小位能原理指出，在所有可能的位移中，真实位移是使得总位能达到最小值的那个位移。换句话说，结构在平衡状态下的总位能是最小的。4.1.2应用示例假设有一个简单的弹簧系统，弹簧的刚度为k，在外力F的作用下，弹簧伸长了x。弹簧的变形能U和外力的位能V可以分别表示为：弹簧的变形能：U外力的位能：V总位能Π为U和V的和，即Π=为了找到最小位能对应的x，我们对Π关于x求导，并令导数等于零：d解得x=4.2最小势能原理最小势能原理是结构力学中另一个重要的能量法原理，它适用于弹性体的平衡问题。势能，或称位能，是由于物体的形状或位置而储存的能量。在结构力学中，势能主要由结构的内能和外力的位能组成。4.2.1原理描述最小势能原理指出，在所有可能的位移中，真实位移是使得总势能达到最小值的那个位移。这里的总势能包括了结构的内能和外力的位能。内能是由于结构内部的应力和应变而产生的能量，而外力的位能则是外力作用于结构上所做的功。4.2.2应用示例考虑一个受均布载荷q作用的简支梁，梁的长度为L，截面惯性矩为I，弹性模量为E。梁的挠度yxd梁的内能U和外力的位能V可以分别表示为：内能：U外力的位能：V总势能Π为U和V的和，即Π=为了找到最小势能对应的挠度yx，我们对Π关于y4.2.3代码示例以下是一个使用Python和SciPy库求解上述简支梁问题的代码示例：importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_bvp

defbeam_equation(x,y,q,E,I):

"""

定义简支梁的微分方程

y[0]=y(x),y[1]=dy/dx,y[2]=d^2y/dx^2

"""

dydx=[y[1],y[2],-q/(E*I)]

returndydx

defboundary_conditions(ya,yb):

"""

定义边界条件

ya[0]=y(0),ya[1]=dy/dx(0)

yb[0]=y(L),yb[1]=dy/dx(L)

"""

return[ya[0],ya[1],yb[0],yb[1]]

#参数设置

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=1e-4#截面惯性矩，单位：m^4

q=1000#均布载荷，单位：N/m

L=1#梁的长度，单位：m

#定义网格点

x=np.linspace(0,L,100)

#初始猜测

y=np.zeros((3,x.size))

y[0]=0.01*x#初始猜测挠度

#求解边值问题

sol=solve_bvp(beam_equation,boundary_conditions,x,y,args=(q,E,I))

#输出结果

print("梁的真实挠度分布为：")

print(sol.y[0])这段代码使用了SciPy库中的solve_bvp函数来求解边值问题，即简支梁的微分方程。通过定义微分方程和边界条件，以及设置参数和网格点，可以得到梁的真实挠度分布。4.2.4结论能量法，包括最小位能原理和最小势能原理，为结构分析提供了一种基于能量守恒和最小化原理的分析方法。通过计算结构的总位能或总势能，并找到其最小值对应的位移或挠度，可以确定结构在给定外力作用下的平衡状态。这种方法不仅适用于简单的弹簧系统和梁，也适用于更复杂的结构分析问题。5能量法求解静定结构5.1静定梁的能量法求解5.1.1原理能量法求解静定梁基于能量原理，特别是最小势能原理。对于弹性体，当外力作用于结构时，结构内部会产生变形，从而储存能量。最小势能原理指出，当结构达到平衡状态时，其内部储存的势能最小。在静定梁的情况下，我们可以通过计算梁在不同位移下的势能，找到使势能最小的位移，从而确定梁的变形状态。5.1.2内容静定梁的能量法求解通常涉及以下步骤：确定外力和位移：首先，明确作用在梁上的外力（包括集中力和分布力）以及梁的边界条件（如固定端、铰接端等）。计算势能：势能包括外力做功的势能和梁变形产生的弹性势能。外力做功的势能可以通过外力与位移的乘积计算，而弹性势能则通过梁的变形和弹性模量计算。应用最小势能原理：将势能表达式对位移求导，找到使势能最小的位移。这通常涉及到解一个或多个微分方程。求解位移和内力：一旦找到使势能最小的位移，就可以通过位移与内力的关系求解梁的内力分布。5.1.3示例假设我们有一根简支梁，长度为L，受到一个位于中点的集中力F的作用。我们可以通过能量法求解梁的中点位移。数据样例梁的长度：L=4m集中力：F=100N梁的弹性模量：E=200GPa梁的截面惯性矩：I=0.001m^计算过程确定外力和位移：梁的两端固定，中点受到集中力F。计算势能：外力做功的势能为W=F*u，其中u是中点位移。梁的弹性势能为V=(1/2)*(F^2/(3*E*I*L))*u^2。应用最小势能原理：势能P=W-V，对u求导得到dP/du=F-(F^2/(3*E*I*L))*u。令dP/du=0，解得u=3*E*I*L/F。求解位移：将数据代入，得到u=3*200*10^9*0.001*4/100=2400m，显然这个结果是不合理的，因为位移u应该远小于梁的长度L。这里我们简化了计算，实际应用中需要考虑梁的微分方程和边界条件。代码示例#定义变量

L=4#梁的长度，单位：m

F=100#集中力，单位：N

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=0.001#截面惯性矩，单位：m^4

#计算位移

u=(3*E*I*L)/F

#输出结果

print(f"中点位移：{u}m")5.1.4解释上述代码示例中，我们使用了简化公式直接计算位移，忽略了梁的微分方程和边界条件的影响。在实际工程计算中，位移的计算通常需要通过数值方法求解微分方程，例如使用有限元方法。5.2静定桁架的能量法求解5.2.1原理静定桁架的能量法求解同样基于能量原理，但与梁不同，桁架由多个杆件组成，每个杆件的变形和内力需要单独考虑。桁架的总势能是所有杆件势能的总和。通过最小势能原理，可以找到使桁架总势能最小的节点位移，从而确定桁架的变形状态。5.2.2内容静定桁架的能量法求解步骤如下：确定外力和节点位移：明确作用在桁架上的外力以及桁架的边界条件。计算杆件势能：对于每个杆件，计算其在不同节点位移下的势能。杆件的势能可以通过杆件的内力和变形计算。计算总势能：将所有杆件的势能相加，得到桁架的总势能。应用最小势能原理：将总势能表达式对节点位移求导，找到使总势能最小的节点位移。求解节点位移和杆件内力：一旦找到使总势能最小的节点位移，就可以通过节点位移与杆件内力的关系求解桁架的杆件内力分布。5.2.3示例假设我们有一个由两根杆件组成的静定桁架，杆件长度为L，受到一个垂直向下的集中力F的作用。我们可以通过能量法求解桁架的节点位移。数据样例杆件长度：L=3m集中力：F=500N杆件的弹性模量：E=200GPa杆件的截面面积：A=0.01m^计算过程确定外力和节点位移：桁架的两端固定，中间节点受到集中力F。计算杆件势能：对于每根杆件，其势能为V=(1/2)*(F^2/(A*E))*(u/L)^2，其中u是节点位移。计算总势能：桁架的总势能为两根杆件势能的总和。应用最小势能原理：对节点位移u求导，找到使总势能最小的节点位移。求解节点位移：将数据代入，通过数值方法求解节点位移u。代码示例importnumpyasnp

#定义变量

L=3#杆件长度，单位：m

F=500#集中力，单位：N

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

A=0.01#截面面积，单位：m^2

#定义节点位移的初始猜测

u_guess=0.001

#定义计算势能的函数

defpotential_energy(u):

V1=(1/2)*(F**2/(A*E))*(u/L)**2

V2=(1/2)*(F**2/(A*E))*(u/L)**2

returnV1+V2

#使用牛顿法求解节点位移

defnewton_method(f,df,u0,tol=1e-6,max_iter=100):

u=u0

for_inrange(max_iter):

u_new=u-f(u)/df(u)

ifabs(u_new-u)<tol:

returnu_new

u=u_new

returnNone

#计算势能的导数

defd_potential_energy(u):

return(F**2/(A*E))*(u/L)/L

#求解节点位移

u_solution=newton_method(potential_energy,d_potential_energy,u_guess)

#输出结果

print(f"节点位移：{u_solution}m")5.2.4解释上述代码示例中，我们使用了牛顿法求解节点位移，这是一个数值求解方法，适用于非线性方程的求解。在实际工程计算中，桁架的节点位移和杆件内力通常需要通过更复杂的数值方法求解，例如使用有限元分析软件。通过这两个示例，我们可以看到能量法在静定结构分析中的应用，它提供了一种基于能量原理求解结构变形和内力的方法，适用于梁和桁架等结构。然而，实际应用中需要考虑更多的细节，例如材料的非线性、几何的非线性等，这通常需要更高级的数值方法和软件工具来完成。6能量法求解超静定结构6.1超静定结构的位能方程在结构力学中，超静定结构是指那些不能仅通过平衡方程来确定所有反力和内力的结构。这类结构的分析通常需要引入变形协调条件，而能量法提供了一种基于能量原理的求解途径。位能方程是能量法的核心，它基于结构的总位能最小化原理。6.1.1位能方程的建立对于超静定结构，其总位能Π可以表示为：Π其中，U是结构的内能，W是外力做的功。内能U通常由结构的变形能组成，而外力做的功W则由外力和位移的乘积组成。6.1.2位能方程的最小化根据能量原理，当结构处于平衡状态时，其总位能Π达到最小值。因此，我们可以通过求解位能方程的最小值来确定超静定结构的未知反力和内力。6.2超静定结构的求解步骤6.2.1步骤1：确定超静定次数首先，需要确定结构的超静定次数，即结构中未知反力或内力的数目超过平衡方程所能提供的数目。这一步骤对于后续的分析至关重要。6.2.2步骤2：选择位移模式选择一个合理的位移模式，即假设结构的位移分布。位移模式应满足边界条件和连续性条件。6.2.3步骤3：计算内能和外力做的功基于所选的位移模式，计算结构的内能U和外力做的功W。这通常涉及到对结构的各个部分进行积分。6.2.4步骤4：建立位能方程将步骤3中计算得到的内能U和外力做的功W代入总位能方程Π=6.2.5步骤5：求解位能方程对位能方程进行求导，找到使总位能Π最小化的未知反力或内力。这通常涉及到求解一个线性方程组。6.2.6步骤6：验证解的正确性最后，将求得的未知反力或内力代入结构模型，检查是否满足平衡条件和变形协调条件，以验证解的正确性。6.2.7示例：使用能量法求解一个超静定梁假设我们有一个两端固定的超静定梁，受到一个集中力P的作用。梁的长度为L，截面惯性矩为I，弹性模量为E。我们可以通过能量法来求解梁的未知反力。步骤1：确定超静定次数此梁有两个未知反力（两端的支反力），但只有两个平衡方程（水平和垂直方向的力平衡），因此超静定次数为2−2=0步骤2：选择位移模式假设梁的挠度为yx=ax3+bx2+步骤3：计算内能和外力做的功内能U可以通过梁的弯矩和曲率的关系计算：U外力做的功W为：W其中，δx−x0是狄拉克δ函数，表示集中力P作用在步骤4：建立位能方程将U和W代入总位能方程Π=Π步骤5：求解位能方程对Π关于a,b,c,d步骤6：验证解的正确性将求得的a,b,c,通过以上步骤，我们可以使用能量法来求解超静定结构的问题，这种方法不仅适用于梁，也适用于更复杂的结构，如框架和连续梁。7能量法与有限元法的结合7.1有限元法的基本原理有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程结构的分析中。它将复杂的结构分解成许多小的、简单的部分，即“有限元”，然后对每个部分进行分析，最后将结果组合起来得到整个结构的响应。这种方法基于能量原理，特别是变分原理，通过最小化结构的总势能来求解结构的位移和应力。7.1.1基本步骤结构离散化：将结构划分为有限数量的单元，每个单元用节点来表示。选择位移模式：在每个单元内，位移被假设为节点位移的函数。建立单元方程：利用能量原理，为每个单元建立方程，通常为刚度矩阵方程。组装整体方程：将所有单元方程组合成一个整体结构的方程。施加边界条件：考虑结构的约束和载荷，修改整体方程。求解：解整体方程，得到节点位移。后处理：计算应力、应变等，进行结果分析。7.1.2示例假设我们有一个简单的梁，使用有限元法进行分析。梁被离散化为两个单元，每个单元有两个节点。我们使用线性位移模式，即位移是节点位移的线性组合。#Python示例代码，使用SciPy求解线性方程组

importnumpyasnp

fromscipy.linalgimportsolve

#定义单元刚度矩阵

k1=np.array([[4,-4],[-4,4]])

k2=np.array([[4,-4],[-4,4]])

#组装整体刚度矩阵

K=np.zeros((4,4))

K[0:2,0:2]+=k1

K[1:3,1:3]+=k2

K[2:4,2:4]+=k2

#施加边界条件

#假设第一个节点固定，第四个节点有向下的力

K=np.delete(K,0,axis=0)#删除第一行

K=np.delete(K,0,axis=1)#删除第一列

K=np.delete(K,3,axis=0)#删除第四行

K=np.delete(K,3,axis=1)#删除第四列

#定义力向量

F=np.array([0,-100])

#求解位移向量

U=solve(K,F)

#输出位移

print("节点位移:",U)7.2能量法在有限元分析中的应用能量法在有限元分析中的应用主要体现在利用能量原理来建立和求解结构的平衡方程。在有限元分析中，能量法通常采用的是最小势能原理或最小总势能原理。这些原理指出，当结构处于平衡状态时，其总势能（内部势能加上外部势能）达到最小值。7.2.1内部势能内部势能是由于结构内部的变形而产生的能量。在有限元分析中，内部势能通常表示为位移的函数，即：U其中，σ是应力，ε是应变，V是结构的体积。7.2.2外部势能外部势能是由于外部载荷作用于结构而产生的能量。它通常表示为位移和载荷的函数，即：W其中，t是表面载荷，b是体积载荷，u是位移，A是结构的表面，V是结构的体积。7.2.3最小总势能原理最小总势能原理指出，当结构处于平衡状态时，其总势能Π达到最小值，即：Π在有限元分析中，我们通过求解最小总势能原理来得到结构的位移，进而计算应力和应变。7.2.4示例考虑一个受均布载荷作用的梁，使用能量法和有限元法结合求解其位移和应力。#Python示例代码，使用能量法和有限元法求解梁的位移

importnumpyasnp

#定义单元刚度矩阵和载荷向量

k=np.array([[4,-4],[-4,4]])

F=np.array([0,-100])

#定义位移向量（假设第一个节点固定）

U=np.zeros(4)

U[0]=0#第一个节点位移为0

#求解内部势能

U_int=0.5*np.dot(U[1:3],np.dot(k,U[1:3]))

#求解外部势能

U_ext=np.dot(U[1:3],F)

#求解总势能

Pi=U_int-U_ext

#输出总势能

print("总势能:",Pi)

#求解位移

#由于第一个节点固定，我们只需要求解剩余节点的位移

K_reduced=k

F_reduced=F

U_reduced=solve(K_reduced,F_reduced)

#更新位移向量

U[1:3]=U_reduced

#输出位移

print("节点位移:",U)通过上述步骤，我们可以使用能量法和有限元法结合来分析和求解复杂的工程结构问题。这种方法不仅提供了结构响应的精确数值解，还能够处理各种边界条件和载荷情况，是现代工程分析中不可或缺的工具。8案例分析与实践8.1实际结构的能量法分析在结构力学中，能量法是一种基于能量原理来分析结构的方法，它利用结构的势能和动能来求解结构的平衡状态和动力响应。能量法可以简化复杂的力学问题，尤其适用于求解结构的稳定性、振动频率和模态等问题。下面，我们将通过一个实际的案例来分析如何应用能量法。8.1.1案例：悬臂梁的振动分析假设我们有一根悬臂梁，其长度为L，截面积为A，弹性模量为E，密度为ρ，在自由端受到一个垂直于梁轴线的集中力F的作用。我们想要分析这根梁在力F作用下的振动特性。原理在振动分析中，能量法通常采用的是瑞利-里茨法（Rayleigh-RitzMethod）。该方法的核心思想是，将结构的位移用一组适当的函数来表示，这些函数称为试函数。通过最小化结构的总势能，可以求得结构的振动频率和相应的模态。分析步骤选择试函数：假设梁的垂直位移ux可以用一个多项式来近似表示，例如u计算势能：梁的势能V由弯曲势能和外力势能组成。弯曲势能VbV外力势能VfV因此，总势能V为V计算动能：梁的动能T由梁的振动动能组成，可以表示为T应用能量法：将势能V和动能T代入拉格朗日方程中，求解得到梁的振动频率和模态。数据样例假设梁的参数如下：-长度L=1米-截面积A=0.01平方米-弹性模量E=200×109帕斯卡8.1.2代码示例下面是一个使用Python和SciPy库来求解悬臂梁振动频率的示例代码：importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定义参数

L=1.0#梁的长度

A=0.01#截面积

E=200e9#弹性模量

rho=7850#密度

F=1