【二次曲面切平面的求解方法探究4300字（论文）】

二次曲面切平面的求解方法研究目录TOC\o"1-2"\h\u9370摘要 111581第1章引言 16761第2章相关概念 2222312.1二次曲面的切线 225992.2二次曲面的切平面 36428定义2.3[5]二次曲面（2.1）满足条件 32430第3章求二次曲面切平面的几种方法 4227283.1利用正常点求二次曲面的切平面方程 4248453.2利用对称变换求二次曲面的切平面方程 480703.3利用矩阵法求二次曲面的切平面方程 6289783.4利用特征根求二次曲面的切平面方程 7235743.5利用截面法求二次曲面的切平面方程 99761所以所求的切平面方程为 1026760结论 10摘要二次曲面是几何学的一个重要内容，它渗透于数学研究的各个方面．求二次曲面的切平面的方程是研究二次曲面一个基础问题，论文研究了几种从不同角度求切平面的方法，一般方法是求切平面的法向量借助偏导，再用点法式写出切平面的方程；利用中心对称变换求二次曲面的切平面方程，对探索多种求二次曲面的切平面方程具有启发作用；矩阵法和利用特征根求解也是求解的两种简单方法，截面法为求解切平面提供了一个新思路，根据切平面的几何性质，运用空间几何知识，通过做截面的方法对空间曲面的切平面的法向量进行求解，从而得到切平面方程．关键词：二次曲面；切平面；正常点；特征根引言关于二次曲面的切平面求法的问题，在国内外经典著述和教科书中经常出现并且有不同程度的表述，但是采用的近似方法不能准确找出某些特征点，图形变换也不能得到令人满意的结果．这类问题研究起来比较复杂，本文应用多种初等方法，致力于探索精确解决求二次曲面的切平面方程问题的方法．如果要求任意二次曲面在正常点的切平面，利用偏导与点法式并且进行简单的初等运算就可以求得切平面的方程[1]，我们也可以以二次曲面的切平面的直观定义为基础，对二次曲面的切平面方程进行简单求解[2]．使用对称变换的方法是一种特别的求解方法，它能够打开我们的思路，启发思维，帮助我们研究多种求解方法．运用矩阵的运算也是一种求解切平面的方程的方法，该方法在计算方面具有较大的优势，可使计算量减小到最低．特征根法则是研究平面为二次曲面的切平面的充要条件一大手段，我们可以首先根据二次曲面的标准方程的形式，再利用二次曲面上点的切平面的唯一性，得到任意一个平面与几种类别二次曲面相切的充要条件[3]．截面法则属于从空间几何图形的角度出发，其基本思想是，当用空间内过一定点且垂直于一个坐标轴的平面去截曲面，两平面相交会产生一条交线，然后求出交线在该点的切线，此切线属于曲面在此定点的切平面；同理可得过定点的另一条切线，空间内两条相交的切线可以确定一切平面，最后得到切平面的方程[4]，这种方法是为求切平面方程提供了一个新的切入思路，运用起来更加的灵活．文中五种求解方法在思路上有相通之处，无论是否知道切点的坐标，都可以在这几种方法中找到合适的方法解决问题，熟练掌握并且推广有利于我们解决在实际中遇见的问题，可以选择合适且简单可行的方法快速解题．相关概念二次曲面的切线定义2.1[5]如果直线和二次曲面相交于两个互相重合的点，这条直线则叫做二次曲面的切线，重合的交点叫做切点．设二次曲面为： （2.1）那么通过曲面（2.1）上的点的直线，（2.2）与曲面（2.1）相交于两个重合的点的充要条件是 ，而直线（2.2）整个属于平面（2.1）的充要条件是，则直线（2.2）是曲面在点处的切线方程的充要条件是 ， （2.3）因此通过曲面（2.1）上的点，且以满足条件（2.3）的向量为方向向量的直线都是二次曲面（2.1）的切线．由（2.2）得，带入（2.3）得． （2.4）二次曲面的切平面定义2.2[5]二次曲面在一点处的一切切线上的点构成的平面叫做二次曲面的切平面，这一点叫做切点．定义2.3[5]二次曲面（2.1）满足条件的点叫做二次曲面（2.1）的奇异点，简称奇点，二次曲面的非奇异点叫做二次曲面的正常点．定义2.4[5]如果是二次曲面（2.1）的正常点，那么曲面在点存在惟一的切平面，它的方程是（2.4）．利用恒等式．推论[5]如果是二次曲面（2.1）的正常点，那么在处曲面的切平面方程是．求二次曲面切平面的几种方法在我们日常阅读的文献及参考书中最常使用的方法就是初等方法，适合初次接触到二次曲面切平面求法的学生进行学习，下文重点介绍正常点法、对称变换法、特征根法、矩阵法和截面法五种较为基础的方法．利用正常点求二次曲面的切平面方程根据上一章中所介绍的正常点的定义以及定义2.4和推论，我们可以直接进行切平面方程的求解，在此就不再进行赘述了，下面给出一个例题，此题就是利用正常点直接求切平面方程，是简单求切平面方程的例题代表，与此类似的题目都可以运用这种方法．例1求二次曲面在点的切平面方程．解法一因为，所以点在二次曲面上．又因为，所以，，，由此可知点1,2,3是曲面上的正常点，根据公式可得切平面方程为，即．解法二由解法一可直接得出是曲面上的正常点，则可直接根据推论写出切平面方程

，即．首先判断本题给定的点是否为正常点，不难推出这个点为正常点，可直接运用定义2.4的方程（2.4），求得曲面的切平面方程，这是最简单的求解方法，对于比较简单的题目可以直接运用此种方法，求解时不仅条理清晰并且计算过程并不复杂．利用对称变换求二次曲面的切平面方程设常态二次曲面的方程为引入记号[1]设是上的一个正常点，取上任意一点作以为中心的对称变换：，将点变成点，则的坐标为：曲面在变换下的像就是，其方程为将带入曲面中即可．定理1[6]设是常态二次曲面（2.1）上的正常点，那么过点的切平面方程为．例2验证点是二次曲面：上的正常点，并求通过这点的切平面方程．解由于，可得是二次曲面上的正常点，因此过点的切平面方程为：，即．利用中心对称将给定的二次曲面方程的各项系数写出四个方程，并且将点分别代入判断该点是否为正常点，为正常点则可直接得出该切平面方程．利用矩阵法求二次曲面的切平面方程假设点不在曲面上，则通过与曲面（2.1）相切的所有切线上点的轨迹方程为 ． (3.1)方程（3.1）表示以为顶点的切锥面．下面先化简（3.1），然后利用矩阵进行运算求切锥面方程，为叙述简便，令，，，，，，，（3.1）可化简如下：即 ． (3.2)计算方程（3.2）的具体步骤如下：，其中，是二次曲面（2.1）的矩阵[7]．．例3[8]求二次曲面在点1,2,3的切平面方程．解由例1不难得出，点是二次曲面上的正常点．，，则，即．．首先要对题目给定的点进行判断，观察给定的点是否为正常点，再根据题目给定的二次曲面方程写出对应的系数矩阵，根据上文中给定的式（3.2）可求得该二次曲面的切平面方程，此方法计算简洁并且不易出错．利用特征根求二次曲面的切平面方程根据特征根的情况将一般的二次曲面大概分为以下三种：；或；或．定理2[9]平面是二次曲面切平面的充要条件为：当时，为且；当时，为且．定理3[9]平面是二次曲面切平面的充要条件为且;是二次曲面的切平面的充要条件为：当时，为且，;当时，为且．定理4[9]平面是二次曲面的切平面的充要条件为且，；是二次曲面的切平面的充要条件为：当时，为且，当时，为且．例4[10]求过已知点，且与椭球面相切的平面方程．解设所求切平面方程为，由于点，在平面上，故得 ， （3.3）根据定理2得 ， （3.4）由（3.3）可得，，将带入（3.4）可得，于是或，联立解得与，从而所求得切平面方程为，即与．根据题目所给出的二次曲面的方程式选择合适的方法，设出要求的切平面的方程式，根据判断平面是否为二次曲面的切平面的充要条件求出设的未知数，最后得出所求．利用截面法求二次曲面的切平面方程曲面过定点，我们不妨取，两平面分别和曲面相交（如图1）．图1截面图假设先用平面去截曲面，我们要得到交线在点的切线的方向向量，可以通过求交线在对轴的切线斜率，此斜率等同于坐标面内内曲线的切线斜率，将视为自变量，视为因变量，方程两边同时对求导，则切线斜率即为．则所求方向向量为．同理，用平面截取曲面，交点在点对轴的切线斜率为．故此交线在点的切线的方向向量为．作两方向向量的向量积求出曲面在该点上的法向量，法向量n为[4]．例5求曲面在点切平面及法向量．解如图2所示，用平面以及平面截取曲面，图2例5截面图以平面截该平面，交线为该垂直于x轴的平面上的一条曲线，交线在的切线方向向量为，同理，以平面截该平面，交线为此垂直于z轴平面上的的一条曲线，交线在的切线方向向量为，故曲面在处的法向量为所以所求的切平面方程为，即，所求法线方程为，即．在本题中不难看出用所截得的曲线对轴的切线斜率不存在，对求导在时无解，对此可以变换求导对象方便求解向量，避免遇到计算瓶颈，减少计算量最后利用向量求出切平面方程．结论本篇文章对求二次曲面的切平面方程的方法以及实例进行了简单的分析归纳．重点介绍了以下五种方法：（1）利用正常点进行求解，首先要判断给定的点是否为正常点，若为正常点就可直接带入定义2.4和推论给定的公式求得二次曲面切平面的方程，若给定的点为奇异点，则在该点处不存在惟一的切平面．这种方法是最为基础的方法，只用进行简单的初等运算即可，但是对于复杂的求解切平面方程问题，仍有一定的局限性．（2）利用对称变换的方法求二次曲面的切平面方程首先将给定的二次曲面的所有项系数进行拆分，判断给定点是否为正常点，再用对称变换求出对应点的坐标，最后带入二次曲面的方程即可．这种方法与第一种方法有相通的地方，都需要利用到正常点，但是运用对称变换这种思路十分新颖，可以拓宽学习时的知识面．（3）在利用矩阵的运算求二次曲面的切平面方程中首先根据二次曲面方程的系数写出系数矩阵，再结合给定的正常点求出二次曲面切平面方程的系数，最后求得切平面方程，这种方法将几何知识与代数知识结合起来，解题方法中运用到的矩阵运算，可以锻炼综合应用数学知识的能力，不再将几何问题拘泥于几何知识之中．（4）利用特征根求二次曲面的切平面方程根据给定的二次曲面方程可以大概分为三种情况，在解题时根据给定的二次曲面方程选择合适的方法．首先设出所求切平面方程的一般解析式，根据所给条件进行化简，再根据判定一个平面是否为切平面的充要条件对化简的未知系数进行求解．（5）用截面法求二次曲面的切平面方程充分地利用几何知识，将求偏导数的问题转化为求倒数的问题，在面对无斜率的情况下，可以选取不同的求导对象，简化运算，避免把简单问题复杂化，这种方法充分体现了其灵活多变，