2024高考数学艺体生一轮复习讲义-概率与统计综合问题解析版

专题33概率与统计综合问题

【典例例题】

例1.(2023・高三课时练习)有三种不同的果树苗4、B、C,经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率

为。8,弓种树苗B、C的自然成活率均为p(0.y<p<0.9).

⑴任取树苗A、B、C各一株，设自然成活的株数为X,求X的分布列及E(X)；

(2)将(1)中的E(X)取得最大值时的p的值作为2种树苗自然成活的概率.该农户决定引种“株B种树苗,

引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8,其余的树

苗不能成活.

①求一株B种树苗最终成活的概率；

②若每株树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每株亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，

应至少引种3种树苗多少株？

【解析】(1)由题意知，X的所有可能值为0,1,2,3,则

p(X=0)=0.2(1-=0.2p2-0Ap+0.2;

p(X=1)=0.8X(1-/J)2+0.2XC*xpx(l-p)=0.8(1-p)2+0.4p(l-p)=0.4p2-1.2p+0.8;

P(X=2)=0.2/+0.8xC；xpx(1-p)=0.2p2+1.6p(l-p)=-1.4p2+1.6p;

F(X=3)=0.8p2.

由此得X的分布列如下表：

X0123

p0.2p2-0.4/2+0.20.4p2-1.2/2+0.8-1.4p2+1.6p0.8p2

所以E(X)=lx(O.4p2_i.2p+O.8)+2x(-L4p2+i.6p)+3xO.8p2=2p+0.8.

(2)根据0.7"40.9,由(1)知当0.9时，项X)取得最大值.

①一株B种树苗最终成活的概率为0.9+0.1x0.75*0.8=0.96.

②记y为“株8种树苗的成活株数,M(n)为,株8种树苗的利润厕y~B(n,0.96),

E(Y)=0.96n,M(n)^300Y-50(n-7)=3507-50〃,E(M(n))=350E(Y)-50n=286n,

要使E(M(n))>200000,则有n>699.3.

所以该农户应至少种植700株8种树苗，就可获利不低于20万元.

例2.(2023.河北邯郸・高三统考期末)2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在

卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛月22日，卡塔尔世界杯小组赛C

组第1轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队1：2不敌沙特阿拉伯队.梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半

场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，

某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢3次，每次射门的结果相互独立.在4处射进一球得

3分，在8处射进一球得2分，否则得。分.将队员得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判

定为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止.现有两种射门方案，方案1：先在A

处踢一球，以后都在B处踢；方案2:都在B处踢球.已知甲队员在A处射门的命中率为:，在B处射门的

4

命中率为二.

⑴若甲队员选择方案1,求他测试结束后所得总分x的分布列和数学期望E(x);

(2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.

14

【解析】(1)设甲队员在A处命中的事件为A,在8处命中的事件为瓦。=1,2,3),有P(A)=],P(即=二,

X的所有可能值为0,2,3,4,

...........———212

2

尸(X=0)=尸(C4B2)=尸(A)尸(。)尸区)=-x(-)=—,

——......24121416

P(ABB)=-XjXj+-x-Xj=-,

P(X=2)=P(AB1B2)+12

1_2432

2

P(X=3)=P(A)=-,P(X=4)=P(AB,B2)=-x(-)=^j,

所以X的分布列为：

X0234

216132

P

7575375

数学期望E(X)=0x6+2x导3xg+4x1|*.

(2)设甲队员选择方案1通过测试的概率为4,选择方案2通过测试的概率为P2,

13?57

由(1)知，^=P(X=3)+P(X=4)=-+—=—,

一一44144414112

P2=P(BlB2)+P(BlB2B3)+P(BlB2B3)=-x-+-x-x-+-x-x-=-，显然6>6,

所以甲队员选择方案2通过测试的可能性更大.

例3.（2023・广东深圳•高三统考期末）快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一

定的差别，故随机采摘了10。颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现

它们分布在区间［5,15］,（15,25］,（25,35］,（35,45］,并据此画得频率分布直方图如下：

⑴求。的值，并据此估计这批果实的第70百分位数；

⑵若重量在［5,15］（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采

摘对象的颗数为X,求X的分布列和数学期望.

注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.

【解析】（1）因为频率分布直方图的组距为10,

所以，落在区间［5,15］,(15,25］,(35,45］上的频率分别为0.20,0.32,0.18,

r-j-pi1—0.18—0.32-0.20

所以，Q=-----------------------=0.030.

因为落在区间［5,25］上的频率为0.20+0.32=0.52,

而落在区间［5,35］上的频率为0.20+0.32+0.30=0.82,

所以第70百分位数落在区间［25,35］之间，设为x,

则0.52+(x—25)x0.03=0.70,解得》=31,

所以估计第70百分位数为31.

（2）由（1）知，重量落在［5,15］的频率为0.2,由样本估计总体得其概率为0.2,

因为X可取0,1,2,3,且X:.3,^

贝尸（X=O）=C；

31

P（X=3）=C：x

I125

所以X的分布列为：

X0123

6448121

P

125125125125

4R743313

所以X的数学期望为E（x）=o+衣+斤+衣=三（或直接由E（x）=3、n）.

例4.（2023.全国.高三专题练习）2022年6月20日,郑渝高铁实现全线贯通运营.郑渝高铁北起河南省郑州

市，南至重庆市，途经河南、湖北、重庆三省市，全长1068公里，此前，北京到重庆的高铁列车耗时11小

时11分，现在只需6小时46分；石家庄至重庆高铁的耗时由9小时49分缩短至5小时43分，郑州至重庆的

耗时由7小时28分缩短至4小时23分，不仅如此，郑渝高铁还是一条旅游线，串联起了嵩山少林寺、襄阳

古隆中、神农架原始森林、巫山大小三峡、奉节白帝城等众多著名旅游景点.现有一列郑渝高铁从重庆北发

出，某节车厢内共有4位旅客，每位旅客等可能地从云阳、奉节、巫山、巴东、神农架、襄阳东共6个车站

⑴求这4位旅客选择下车的车站互不相同的概率；

⑵设这4位旅客选择下车的车站共有X个，求X的分布列和期望.

A4S

【解析】（1）记事件A：这4位旅客选择下车的车站互不相同，则尸（见=今=「.

o18

（2）由题意可知，随机变量X的可能取值有：1、2、3、4,

则尸（X=l）=>£,*x.2）一35,

6216

A3r2q5

*X=3）=畜4,个=4）=而，

因此，随机变量X的分布列如下表所示：

X1234

13555

p

216216918

所以，£（X）=lx—+2x—+3x-+4x—.

v7216216918216

例5.（2023•江苏泰州•高三统考期末）甲、乙两个学校进行球类运动比赛，比赛共设足球、篮球、排球三个

项目，每个项目胜方得100分,负方得0分，没有平局,三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲校

在三个项目中获胜的概率分别为040.6。5,各项目比赛互不影响.

⑴求乙获得冠军的概率；

⑵用X表示甲校的总得分，求X的分布列与期望.

【解析】（1）解:由题知,乙获得冠军时，需要乙在两个项目中获胜或三个项目均获胜，

乙在两个项目中获胜的概率P=0.6x0,4x0.5+0.6x0,5x0.6+0.4x0.5x0.4=0.38,

乙在三个项目均获胜的概率P=0.6x0.4x0.5=0.12,

故乙获得冠军的概率尸=0.38+0.12=0.5;

（2）由题分析可得,X的所有可能取值为0,100,200,300,

X=0）=0.6X0.4x0.5=0.12,

P（X=100）=0.4x0.4x0.5+0.6x0.6x0.5+0.5x0.6x0.4=0.38,

P（X=200）=0.4x0.6x0.5+0.4x0.5x0.4+0.6x0.5x0.6=0.38,

P（X=300）=0.4x0.6x0.5=0.12,

所以X的分布列如下：

X0100200300

P0.120.380.380.12

X的期望E（X）=38+76+36=150.

例6.（2023春・江苏南京・高三南京师大附中校考开学考试）在开展某些问卷调查时，往往会因为涉及个人

隐私而导致调查数据不准确，某小组为探究“甲校园中有多少学生上课睡觉”设计A、8两个问题，A问题“你

是否上课睡觉”，3问题“你是否在上半年出生”小组成员邀请学生逐一在装有A、8问题的两个袋子中随机

选取一个，若答案是肯定的，则向盒子中放入1个石子，否则直接离开（B问题肯定与否定的概率视为相等）

⑴若该小组共邀请了100名学生，盒子内出现了30个石子，甲校园内有1000个学生，试估计甲校园内上

课睡觉的学生人数；

⑵视（1）问中的频率为概率，现从该校园中随机抽取4名学生，记其中上课睡觉的人数为X,求X?的期

望.

【解析】（1）回答B问题的学生有100x；=50人，投入的石子有50义；=25个，

回答A问题的学生有100x；=50人，投入的石子有30-25=5个，

用样本估计总体，则学生上课睡觉的概率',

则估计甲校园内上课睡觉的学生人数有1000x1=100名；

（2）由（1）可得X

则E（X）=4x、4,O（X）=4xgx[l-1y=0.36,

因为。（X）=E（X2）一4*）,

所以E（X2）=D（X）+召2（x）=0.36+0.42=052.

例7.（2023•江西.高三校联考期末）2022年10月16日二十大胜利召开后，学习贯彻党的二十大精神，要

在全面学习上下功夫，只有全面、系统、深入学习，才能完整、准确、全面领会党的二十大精神.有关部门

就学习宣传二十大精神推进学校和机关单位，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加

的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3

分才能成为宣传员，・甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为g,且每个人答题相互

不受影响.

⑴求甲、乙、丙三名同学恰有两位同学成为宣传员的概率；

(2)用随机变量&表示三名同学能够成为宣传员的人数，求4的数学期望与方差.

【解析】(1)每个同学成为宣传员需得3分或4分，即答对3道或4道试题,

所以每个同学成为宣传员的概率为-+,

因为每个人答题相互不受影响，所以三人是否成为宣传员是相互独立事件，又因为每个人成为宣传员的概

率均为所以甲、乙、丙三名同学恰有两位同学通过测试的概率为=

(2)因为每个人成为宣传员的概率均为[，故为独立重复试验，又随机变量4表示能够成为宣传员的人数,

即3次独立重复试验中发生4次的概率，所以随即变量占满足二项分布4~,

11Q

所以E(J)="0=3x§=§,D^)=np(l-p)=—.

【技能提升训练】

1.(2023・四川南充・校考模拟预测)为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共

有500名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其整理后分成4组，各组区间为[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100],并画出如图所示的频率分布直方图-

⑴估计所有参赛学生的平均成绩(各组的数据以该组区间的中间值作代表)；

⑵若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前50名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线•

(3)以这100名学生成绩不低于80分的频率为概率，从参赛的500名学生中随机选20名，其中参赛学生成绩

不低于80分的人数记为X,求X的方差•

【解析】(1)由10x(0.01+0.03+加+2m)=1,得机=0.02.

这100名参赛学生的平均成绩约为0.01x10x65+0.03x10x75+0.04x10x85+0.02x10x95=82分，

故估计所有参赛学生的平均成绩为82分•

(2)获得表彰的学生人数的频率为荒=01，

设获得表彰的学生的最低分数线为无，

由分数在区间[90J00]的频率为10*0.02=0.2,可知xe(90,100),

由(100-x)x0.02=0.1,得％=95,

故估计获得表彰的学生的最低分数线为95分•

(3)这100名学生成绩不低于80分的频率为(祖+2M)X10=0.6,

由题意，可知X〜B(20,0.6),

故£>(X)=20x06x(1-0.6)=48

2.(2023・四川南充・校考模拟预测)为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共

有500名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其整理后分成4组，各组区间为[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100],并画出如图所示的频率分布直方图•

⑴估计所有参赛学生的平均成绩(各组的数据以该组区间的中间值作代表)；

⑵若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前50名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线-

【解析】(1)由1。*(。。1+0.03+m+2机)=1,得〃?=0.02.

这100名参赛学生的平均成绩约为0.01x10x65+0.03x10x75+0.04x10x85+0.02x10x95=82分，

故估计所有参赛学生的平均成绩为82分•

(2)获得表彰的学生人数的频率为黑=0.1,

设获得表彰的学生的最低分数线为x,由分数在区间［90,100］的频率为10x0.02=0.2,可知xe(90,100),

由(100-x)x0.02=0.1,得％=95,

故估计获得表彰的学生的最低分数线为95分•

3.(2023•江苏无锡•高三统考期末)体育比赛既是运动员展示个人实力的舞台，也是教练团队排兵布阵的战

场.在某团体比赛项目中，教练组想研究主力队员甲、乙对运动队得奖牌的贡献，根据以往的比赛数据得

到如下统计：

运动队赢得奖牌运动队未得奖牌总计

甲参加40b70

甲未参加C40f

总计50en

(1)根据小概率值。=0.001的独立性检验,能否认为该运动队赢得奖牌与甲参赛有关联？

⑵根据以往比赛的数据统计，乙队员安排在1号，2号，3号三个位置出场比赛,且出场率分别为0.3,0.5,

0.2,同时运动队赢得奖牌的概率依次为:0.6,0.7,0.5.则

①当乙队员参加比赛时，求该运动队比赛赢得奖牌的概率；

②当乙队员参加比赛时，在运动队赢得比赛奖牌的条件下，求乙在2号位置出场的概率.

附表及公式：

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2n^ad-bc^

"(Q+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

【解析】(1)由题意知，0=70—40=30,c=50—40=10,

e=30+40=70,/=10+40=50,〃=70+50=120,

2x2列联表如下：

运动队赢得奖牌运动队未得奖牌总计

甲参加403070

甲未参加104050

总计5070120

120X(40X40-30X10)^I6555>I0828

z2

70x50x50x70

，可以认为该运动队赢得奖牌与甲参赛有关联.

（2）①乙队员参力□比赛时，赢得奖牌的概率p=0.3x0.6+0.5*0.7+0.2*0.5=0.63.

②记事件A为“乙运动员赢得比赛奖牌”，事件B为“乙在2号位置出场”，

4.（2023•全国・唐山市第十一中学校考模拟预测）近些年来，学生的近视情况由高年级向低年级漫延，为调

查某小学生的视力情况与电子产品的使用时间之间的关系，调查者规定：平均每天使用电子产品累计5小

时或连续使用2小时定义为长时间使用电子产品，否则为非长时间使用.随机抽取了某小学的150名学生，

其中非长时间使用电子产品的100名，长时间使用电子产品的50名，调查表明非长时间使用电子产品的学

生中有95人视力正常，长时间使用电子产品的学生中有40人视力正常.

⑴是否有99.5%的把握认为视力正常与否与是否长时间使用电子产品有关？

⑵如果用这150名学生中，长时间使用电子产品的学生和非长时间使用电子产品的学生视力正常的在各自

范围内所占比率分别代替该校长时间使用电子产品的学生和非长时间使用电子产品的学生视力正常的概率，

且每位学生视力正常与否相互独立，现从该校学生中随机抽取3人（2个非长时间使用和1个长时间使用电

子产品），设随机变量X表示“3人中视力正常”的人数,试求X的分布列和数学期望.

几(ad-be?

附：/n=a+b+c=d.

(Q+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)'

P7次）0.100.050.0250.010.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

【解析】（1）根据题意，列出如下列联表:

视力正常视力不正常总计

长时间使用电子产品401050

非长时间使用电子产品955100

总计13515150

则需盛”">7.879,

所以有99.5%的把握认为视力正常与否与是否长时间使用电子产品有关.

4049519

（2）长时间使用电子产品视力正常的概率是不=三，非长时间使用电子产品视力正常的概率是诉=布，

JUJJ.UU

由题意可知：X的可能取值为0,1,2,3,

111心畀条+舄）*=盖

P(X=0)=(—)29"X=D

52000

尸（X=2Y*审』端1444

2000

所以X的分布列为：

X0123

1425131444

P

2000200020002000

w、c1142c513c14445400「

贝UE(X)=0x-------Fix---------F2x--------F3X==2.7.

20002000200020002000

5.（2023・重庆・统考一模）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随

机抽取了10。名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图

如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.

频率

组距

0.58

06.06.57.07.58.08.59.0每天学习时间(h)

(1)求频率分布直方图中实数a,b的值；

⑵每天学习时间在［6.0,6.5)的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取

的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；

⑶依据所抽取的样本，从每天学习时间在BO,6.5)和［7.0,7.5)的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8

人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在［6.0,6.5)的人数的分布列和数学期望.

【解析】(1)由(6+0.22)><0.5><100=30,解彳导/?=0.38

0.5x(0.14+tz+0.42+0.58+0.38+0.22)=1魂单彳导ci-0.26.

(2)从7名学生中任选2人进行电话访谈种数:C；=21,

记任选2人有男生为事件A,则尸⑷一寸专,

记任选2人有女生为事件8,则P(A8)=萼=g,

则尸网用=诵=2

人」P(A)3

(3)用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在［6.0,6.5)和［7。7.5)的学生中抽取8人,

抽中的8人每天学习时间在［6.0,6.5)的人数为(x8=2人.

3

抽中的8人每天学习时问在口.0,7.5)的人数为^x8=6人.

设从8人中抽取的3人每天学习时间在［6.0,6.5)的人数为X,则X=0,1,2

C35c1C215C2C13

.•.尸(X=0)=3=—,P(X=1)=^-A=—,p(x=2)=^v^=—

C；14C；28C；28

・•・X的分布列为：

X012

5153

p

142828

5IS33

.•.X的数学期望为E（X）=0XV+1X2+2X4=:

14ZoZo4

6.（2023春•湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习）为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在

当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种露天种植的草莓搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据

资料显示，产出的草莓的箱数x（单位：箱）与成本＞（单位：千元）的关系如下：

Xi3467

y56.577.58

V与x可用回归方程y=blgx+a（其中为常数）进行模拟.

⑴若农户卖出的该草莓的价格为150元/箱，试预测该水果100箱的利润是多少元.（利润=售价-成本）

⑵据统计，1月份的连续16天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16

天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置"辆小货车专门运输农户为甲地配送的该水果，一辆货车每

天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟

可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.试比较〃=3和〃=4时，此项业务每天的利润平

均值的大小.

参考数据与公式：设f=lgx,则

55

S(^-?)(z-y)

ty

1=1i=l

0.546.81.530.45

线，性回归直线y=61gx+o中，b=-----------,a=y-bt.

—)2

i=l

)(y.—y)

【解析】(1)根据题意，b=-------—=癌=3.4,

Z(—『045

Z=1

所以。=95=6.8—3.4x0.54=4.964,

所以y=34+4.964,

又r=lg无，所以y=3.41gx+4.964,

所以x=100时，y=6.8+4.964=11.764(千元)，

即该水果100箱的成本为11764元，

故该水果10。箱的利润15000-11764=3236（元）.

（2）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表为：

箱数[40,80)[80,120)[120,160)[160,200]

1111

P

8428

设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为几乂元,

则乂的可能取值为1500,800,100,其分布列为：

X1500800100

5£1

P

848

；VE(K)=-xl500+-x800+-x100=1150,

、"848

七的可能取值为2000,1300,600,-100,其分布列为:

20001300600-100

1£1

P

8248

1

S^E(^)--x2000+-xl300+-x600+-x(-100)=1037.5,

8248

即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值.

7.（2023・全国•高三专题练习）本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点

的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部

分按1小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车

的概率分别为《；；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为:1；两人租车时间都不会超过四小时.

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

⑵设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量占,求占的分布列.

【解析】(1)由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为:，:,

记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件A，则P(A)=；X4+：X；+；X；=2.

4224441O

所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为自.

(2)设甲、乙两个所付的费用之和为4，J可能取得值为0,2,4,6,8

111115

----1----——।--------=——

4242416

»尸八11113»匠c、111

P（（E=6）=------1---------=—,P（£=8）=------=—,

74424164416

分布列

02468

£5531

P

816161616

8.(2023.广东.高三校联考阶段练习)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5

局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为2:,乙获胜的概率为§1,各局比

赛结果相互独立.

(1)求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率；

(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望.

【解析】(1)记事件A表示“乙只赢1局且甲赢得比赛”，4表示“第k局甲获胜”，用表

2——1

示第％局乙获胜”，则尸(4)=5尸(4)=§,9=123,4,5.

则4=可44+4444,事件444与事件互斥，各局比赛结果相互独立.

由概率加法公式和乘法公式，有P（A）=尸（A&A）+尸（AAAA）=尸（4）P（4）尸（A）+P（4）尸（4）尸（A）P（A）

」（2丫21py_20

3⑶33⑶81

（2）X的可能取值为2,3,4,5,

........————22115

p（x=2）=p（AA）+mA）=m）^（A）+m）m）=-x-+-x-=-

—------————1222112

p（x=3）=p（AAA）+mAA）=m）^（A）^（A）+m）^（A）m）=-x-x-+-x-x-=-,

——........2122121110

p（x=4）=p（A4M4）+mAAA）=-XTX-x-+-x-x-x-=-,

JJJJJJJJ01

Q

P（X=5）=1-P（X=2）-P（X=3）-P（X=4）=—,

10=8224

x___P5x__=___

818181

9.（2023・湖北•校联考模拟预测）2022年冬季奥林匹克运动会在北京胜利举行,北京也成为了第一个同时举

办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为推广普及冰雪运动,

深入了解湖北某地中小学学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，随机选取了10所学校进

行研究，得到如下图数据：

人数（人）

一自由式滑雪

70-♦-单板滑雪

60

50

40

30

20

10

°ABCDEFGHIJ

⑴在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条

件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；

(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训|,且在集训中进行了多

轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测

211

试中，小明同学滑行，转弯，停止三个动作达到“优秀”的概率分别为j5,耳，且各个动作互不影响且每轮

测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进

行多少轮测试？

【解析】(1)由题可知10个学校，参与自由式滑雪’的人数依次为27,15,43,41,32,26,56,36,49,

20,参与“单板滑雪”的人数依次为46,52,26,37,58,18,25,48,32,30,

其中参与“自由式滑雪”的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人

数超过30人的有2个.

设事件A为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”

事件B为“从10所学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人”

C；d+C；C"C；100C©+C；C；_4

一一百‘0(阴-一国

4

所以P（3|A）=M1201

10025

120

(2)由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为

所以小明在n轮测试中获得“优秀”的次数y满足丫,

由召(y)=〃：23，得心6.

所以理论上至少要进行6轮测试.

10.(2023・湖南株洲•高三校联考期末)某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社

区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，

在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为Pi,后两天每天出现风雨天气的概率均

为必，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为:，且这五天至少

有一天晚上出现风雨天气的概率为—.

（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；

⑵求该社区举行音乐会场数X的分布列和数学期望E（X）.

111QQ4

【解析】（1）由已知可得，P；=不解得R,又=而,解得必--

设AG=1,2,3,4,5）表示第，天可以举行音乐会，2表示该社区能举行4场音乐会

则P（B）=AAA4+A4A4A+44AAA+44A4A+AAA4A）

(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5

3

p(x=o)=4I*

11

p(X=4)=C；

200

1,1,1

P(X=5)=(-)3(-)2=—

25200

所以X的分布列为

X012345

16567343111

P

200200200200200200

从而数学期望为：

x型+lx至+2x卫+3x里+4xll+5xL』=1.9

E（X）=0

20020020020020020010

11.（2023・四川成都・统考一模）成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，

志愿服务时长超268万小时.2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目

大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、

环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打

分，并将专家评分(单位：分)分成6组：[40,50),[50,60),,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

⑵从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X,求随机变

量X的分布列和期望.

【解析】(1)(0.004x2+0.022+0.030+0.028+/??)x10=1,

解得机=0.012.

(2)由题意知不低于80分的队伍有50x(0.12+0.04)=8支，

不低于90分的队伍有50x0.04=2支.

随机变量X的可能取值为0,1,2.

l

尸(x=o)=*宗5尸(x=AC晋2ciM15*X=2)=专3

285

.•.X的分布列)为

X012

5153

P

142828

51533

/.E(X)=0x—+lx—+2x—=-

v71428284

12.(2023•陕西・西安市西光中学校联考一模)中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜

四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获

胜的可能性均为/据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一

场增加100万元.

（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；

⑵设总决赛中获得门票总收入为X,求X的数学期望E（X）.

【解析】（1）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400,公差为100的等差数列.

设此数列为{%},则易知4=40。,«„=100«+300,所以5“（吗+7。0）=3000.

解得〃=5或"=-12（舍去），所以此决赛共比赛了5场.

则前4场比赛的比分必为1：3,且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为C：

所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为:.

（2）随机变量X可取的值为反，Ss,$6,跖，即2200,3000,3900,4900,

4

（）（

PX=2200=2x1-,P（X=3000）=C；

8I14

',尸（）或5

P（X=3900）=C；X=4900=

16

所以X的分布列为

X22