2024年中考数学复习讲义：破解数轴上的动点问题

破解数轴上的动点问题

解题秘籍

破解动点问题首先要理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程中的点的位置关

系，画出图形分类讨论，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解.

而对于建立在数轴上的动点问题来说，要明确两个知识点：第一，数轴上两点之间的距离用两点所表示数的

差的绝对值表示.如，数轴上点A,B所表示的数是a,b,则八8=回上1=11＞印=大的数-小的数.第二，数轴上一个动点对应

的数可以用起点所表示的数加上（向右）或减去（向左）动点运动的距离，即一个点表示的数为a,向左运动b个单位

长度后表示的数为a-b；向右运动b个单位长度后所表示的数为a+b.

由于数轴本身的特点，常有两种解题思路.一种是根据“形''的关系来分析寻找等量关系，也就是先利用未知数

表示出动点等各点对应的数，再表示出涉及的线段的长度，进而利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种

是从“数''的方面寻找等量关系，就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程.

典型例题

【阅读理解】

点A,B,C为数轴上不同的三点，如果C到A的距离是C到B的距离的3倍，那么我们就称点C是｛A,B｝

的奇点.

例如，如图1所示，点A表示的数为-3,点B表示的数为1.表示0的点C到点A的距离是3,到点B的距离

是1,那么点C是｛A,B｝的奇点；又如，表示-2的点D到点A的距离是1,到点B的距离是3,那么点D就不是

｛A,B｝的奇点，但点D是｛B,A｝的奇点.

ADCB

-------1---•---1♦・1，♦，---:,J-■

-6-5-4-3-2-10I234

图1

【知识运用】

如图2所示，M,N为数轴上两点，点M所表示的数为-3,点N所表示的数为5.

⑴数所表示的点是｛M,N｝的奇点；数所表示的点是｛N,M｝的奇点；

MN

_6-5-4-3-2-1012345*^

出2

(2)如图3所示，A,B为数轴上两点，点A所表示的数为一50,点B所表示的数为30.现有一动点P从点B出

发向左运动,当点P运动到数轴上的什么位置时，P,A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？

—4------------------------------------1-------------------»­

-50030

图3

思路分析

本题考查了数轴及数轴上两点的距离，动点问题，分类讨论，绝对值方程等知识.认真理解新定义，数量关系

是：奇点表示的数与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列方程求解.

(1)根据定义：设奇点P表示的数是x,用绝对值表示出PM,PN的长度，根据数量关系，列方程求解可得.

(2)由奇点的定义，分6种情况列方程求解，注意根据A,P,B的位置情况进行取舍.

尝试解答

解后反思

在解决数轴上动点问题时，对于多个不同的运动时刻，按次序画出多个图形进行比较，看出动点的运动趋势

和图形的整体变化，从而把握运动的全过程，为分类讨论和计算做好准备.如画出特殊时间节点的图形，画出动点

运动到特殊位置的图形(两点重合，或者某一点到达一个特殊位置等，这些特殊位置往往是进行分类讨论的关键

点).一般步骤是：第一步用字母表示动点在数轴上所表示的数；第二步，根据条件用字母表示相关的代数式；第三

步，根据等量关系列出方程，求解并检验.

实战演练

1.已知M,N在数轴上，M对应的数是-3,点N在M的右边，且距点M4个单位长度，点P,Q是数轴上两

个动点.

(1)直接写出点N对应的数；

(2)当点P到点M,N的距离之和是6个单位长度时，点P对应的数是多少？

(3)如果P,Q分别从点M,N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒，点Q每秒

走3个单位长度，当P,Q两点相距2个单位长度时，点P,Q对应的数各是多少？

2.已知多项式2/一4秒2一4的常数项是a,次数是b.

(1)直接写出a,b,并将这两个数在数轴上所对应的点A,B表示出来；

(2)设点P在数轴上且当I|P4|+=7时，若点P对应的数为m,则m的取值范围为；

(3)若点A,点B同时沿数轴向正方向运动，点A的速度是点B的2倍，且3秒后,OA:OB=2:3(O为原点)，求点B

运动的速度.

3.已知A,B两个动点同时在数轴上匀速运动，且保持运动的方向不变.若A,B两点的起始位置对应的数是1

9,—8.

(1)根据题意及表格中的已知数据，填写完表格:

运动时间/秒057t

点A位置19-1

点B位置-81727

⑵若A,B两点同时到达点M的位置，求M对应的数;

(3)当A,B两点相距18个单位长度时，此时两点运动了多少秒?并求出此时A,B两点对应的数.

4.数轴上有A,B,C,D四个点，对应的数分别为2力,孰£1,且满足沼力是方程|x+9|=1的两根(a<b),(c-16)2与ld—20l

互为相反数.

(1)求a,b,c,d的值；

(2)若点A以每秒6个单位的速度向右匀速运动，同时点C以每秒2个单位向左匀速运动，问：经过多少秒

时，A,C两点相距4个单位长度？

5.在数轴上依次有A,B,C三点，其中点A,C表示的数分别为-2,5,且BC=64B.

-6-5-4-3-2-101234567

(第5题)

(1)在数轴上表示出A,B,C三点；

(2)若甲、乙、丙三个动点分别从A,B,C三点同时出发，沿数轴负方向运动，它们的速度分别是0.25,0.

5,2(单位/秒)，当丙追上甲时，甲、乙二点相距多少个单位长度？

(3)在数轴上是否存在点P,使P到A,B,C的距离和等于10?若存在，求点P对应的数；若不存在，请说明

理由.

6.在数轴上点A,B对应的数分别是a,b,C是线段AB的中点，且a,b满足|a+3|+(b+3a>=0.

(1)求点C对应的数；

(2)点P从点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B以每秒2个单位长度的速度向左运动,

经过多长时间，使得4P+BQ=2PQ?

7.动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距1

5个单位长度.已知动点A,B的速度比是1：4.(速度单位：单位长度/秒)

(1)求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A,B两点从原点出发运动3秒时的位置；

(2)若A,B两点从(1)中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间？

(3)在(2)中A,B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A点运动，当遇到A

点后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B点追上A点时，C点立即停止

运动.若C点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么C点从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度?

8.数轴上两个点A,B所对应的数分别为-8,4,A,B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A点的运动速

度为2单位长度/秒.

(1)A,B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；

(2)A,B两点以(1)中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在

运动过程中，始终有CB：CA=1：2,若干秒后，C停留在一10处，求此时B点的位置.

9.已知数轴上两点A,B对应的数分别为-1,3,点P为数轴上一动点，其对应的数为x.

(1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

⑵当点P以每分钟一个单位长度的速度从原点向左运动时，点