2025高考数学一轮复习 平面向量的数量积及其应用 专项训练【原卷版】

2025高考数学一轮复习53-平面向量的数量积及其应用■专项训练【原卷版】

［A级基础达标!

1.已知向量a-2,6),b-(1,%)，若a与b反向，则a•(3a+b)-()

A.-30B.30C,-100D.100

2.已知向量a,b满足a=(y,2«),ab-6,\a-b\-7，则|b|=()

A.5B.6C.7D.8

3.已知正方形ABCD的边长为3,尻=2前，则获•丽=()

A.3B.-3C.6D.-6

4.已知单位向量a满足a,b=0，若向量c=4a+&b，则sin〈a,c)=

()

A.mB.C.在D,

3399

5,已知△ABC的外接圆圆心为。，且2AO^AB+AC,=|荏|,则向量瓦5

在向量就上的投影向量为()

A.-~BCB.—~BCC,--BCD.--BC

4444

6.［湖南临澧高三模拟］(多选)已知向量a=(1,3),b=(2,—4)，则下列结论

正确的是()

A.(a+b)iaB.\2a+b\=Vio

C.向量a与向量b的夹角为斜D.b在a上的投影向量的坐标是(1,3)

7.［广东东莞模拟］(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.

假设行李包所受的重力为G,所受的两个拉力分别为Fi，尸2,若IF/=\F2\且B

与尸2的夹角为。，则以下结论正确的是()

A.IFJ的最小值为］G|B.3的范围为［0川

C.当。=与时，IBI=¥IGID.当e=g时，|F1|=|G|

8.［山东招远模拟］(多选)在&△2BC中，乙4=90。,AB=2,AC4，点P

在^ABC斜边BC的中线AD上，则(而+PC)-AP的值可能为()

A.万25B.8C,-5D.2

9.［上海高三开学考试］已知点4(-2,3),B(l,-1)，则前的单位向量

为.(用坐标表示)

10.［高考全国卷甲］设向量a,b的夹角的余弦值为9，且|a|=l,|b|=3，则

(2a+b)-b-.

11.已知向量b=(1,V3),向量a满足|a|cos〈a,b)=—6，则a•b=;

若(入a+b)1b,则实数入的值为.

12.在△ABC中，点。为其外0,V2瓦1+2南+云=0，若BC=2，贝］

OA=.

［B级综合运用1

13.若。在△4BC所在的平面内，角4,B，。所对的边分别是a,b,c，满

足以下条件a-OA+b-OB+c-OC^0，则。是△ABC的()

A.垂心B.重心C.内心D.外心

14.［北京西城区模拟］已知AZBC为等边三角形,且边长为2，则标与前的夹角大

小为,若|丽|=1,CE^EA，则而•BE的最小值为.

15.［湖南高三模拟］已知平面向量a,b,c均为单位向量,且|a-川=1，则

(a-b)(b-c)的最大值为.

16.已知平面上两个不共线的向量a,b，其中a=(1,2),|b|=2.

(1)若(a+2b)1(2a-b),求向量a与向量b夹角的余弦值;

(2)若向量a在向量b上的投影向量为-的,求向量b的坐标.

［C级素养提升］

17.［山西忻州模拟］圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，

是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，是圆。的一条直径，且

|2B|=4,C,。是圆。上的任意两点，|CD|=2，点P在线段CD上，则方•PB

的取值范围是()

D

A0.[V3,2]B.[-1,0]C,[3,4]D.[1,2]

18.已知在△4BC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,向量

m—(sin4sinB),n=(cosB,cosZ),mn—sin2C.

(I)求角C的大小；

(2)若Sina,sinC,sinB成等差数列，且襦-(AB-Zc)=18，求c.

2025高考数学一轮复习53-平面向量的数量积及其应用■专项训练【解析版】

［A级基础达标i

1.已知向量a=(-2,6),b-(1,久)，若a与b反向，则a•(3a+b')-(D)

A.-30B.30C.-100D.100

［解析］选D.由已知得a与b共线，则-2%=1X6，解得久=—3，所以b=(1,—

3),所以3a+b=3(-2,6)+(1,—3)=(-5,15),因此a.(3a+瓦)=(-2,6)•

(-5,15)=100.故选D.

2.已知向量CL,b满足a-(迷,2逐),ab-6,\a-b\-7,则|b|一

(B)

A.5B.6C.7D.8

［解析］选B.由题知，|a|=而=5.又a,b=6,\a-b\-7，所以|a-

b\2=\a\2-2a-b+\b\2=49，即25-2x6+=49，所以|b|=6.故选B.

3.已知正方形ABCD的边长为3,丽=2前，则族•丽=(A)

A.3B.-3C.6D.—6

［解析］选A.因为正方形ABCD的边长为3,DE^2EC,则获.丽=(而+朝).

(AD-ZB)=(AD+1AB)•(AD-AB)=AD2-|AD-AB-|AB2=32-|x32=3.

故选A.

4.已知单位向量a,b满足a,b=0,若向量c-巾a+42b,则sin(a,c)=

(B)

A.包B.四CD.在

3399

［解析］选B.因为|a|=|b|=1,

且a•b=0,c-巾a+42b,

所以|c|二J(V7a+V2b)2=ylla1+2V14a-b+2b2=3,

ac-a(ba+V2b)=小出+V2a-b=布,

所以cos<a©=赢=%

因为(a©G［0,-ir］,

所以Sin(a,c)=Jl一(?)=y'故选B.

5,已知△ABC的外接圆圆心为。,且2A0^AB+AC,=|荏|,则向量瓦5

在向量就上的投影向量为(A)

A.-~BCB.—~BCC,--BCD.--~BC

4444

［解析］选A.由2同=血+就知，。为BC的中点,根据题意作图.

因为。为AABC的外接圆圆心，

所以0A=OB=0C.

因为|西=国，

所以AB=OB=0A=0C,

所以△AOB为正三角形，乙4B。=60°,

所以瓦5在阮上的投影向量为，前=；前•故选A.

Z4

6.［湖南临澧高三模拟］(多选)已知向量a=(1,3),b=(2,-4)，则下列结论

正确的是(AC)

A.(a+b)iaB.\2a+b\-Vio

C.向量a与向量b的夹角为4D.b在a上的投影向量的坐标是(1,3)

［解析］选AC.对于A,a+b=(3,-1),贝(］(a+b).a=3-3=0,故(a+b)1

a,A对；

对于B,2a+b=(4,2),故12a+b|=V42+22=2V5,B错；

对于c,设向量a与b的夹角为e，则cose=32=—彳怒后=—4，因为ow

|a||b|V10x2v52

0<TI，故”牛，C对；

对于D,b在a上的投影向量为|加cos张需=_a=(_1,_3),D错.故选AC.

7.［广东东莞模拟］(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.

假设行李包所受的重力为G,所受的两个拉力分别为Fi，尸2,若IF/=\F2\且B

与尸2的夹角为e，则以下结论正确的是(ACD)

A.IBI的最小值为B.9的范围为［0河

C.当"”寸，IBI="|G|D.当。=W时，|F/=|G|

［解析］选ACD.由题意知，尸1+尸2+G=0,可得尸1+尸2=-G,两边同时平方得

|G|2=|玛|2+|F|2+2|f11.|F|COS0=2国2+2|玛『cose,所以|户1|2=.

22■十cost/)

当。=0时，IBImin/⑹；当。=三时，图=苧旧|；当\=4时,

IF1I=|G|；当。=n时，竖直方向没有分力与重力平衡，不成立,所以。G［0.7T),

故A,C,D正确.

8.［山东招远模拟］(多选)在Rtz\2BC中，乙4=90。,AB=2,2C=4，点P

在AZBC斜边BC的中线2。上，则(而+无)・标的值可能为(CD)

255

A.—B.8C.-D.2

82

［解析］选CD.以a为坐标原点，以荏，尼的方向分别为％轴，y轴正方向建立平

面直角坐标系，如图所示，则B(2,0),C(0,4),D(l,2),设P(x,2x),xE［0,1］,

所以而—(2—x,—2%),PC—(―%,4—2x),AP=(%,2%),

则丽+玩=(2—2%,4-4%),

所以(而+PC)-AP=-10/+10%

所以当％；时，数量积取得最大值之，当％=1或%=0时，数量积取得最小值0.

gP（PB+PC）-APE[0,|].故选CD.

9.［上海高三开学考试］已知点4(-2,3),，则前的单位向量为(|二号.

(用坐标表示)

［解析］由题知，荏=(3,-4),

|AB|—J32+(-4)2—5,

则荏的单位向量为番=3(3,-4)=(|,一§.

10.［高考全国卷甲］设向量a的夹角的余弦值为9，且以|=1,向=3，则

(2a+b)b=11.

［解析］设a与b的夹角为e,则cose=|.

又|a|=1,\b\=3，所以=•b=|a||b|cos£=1,

所以(2a+b)-b-2ab+b2-2ab+\b\2=2x1+32=11.

11.已知向量b=(l,0)，向量a满足|a|cos〈a,b)=一6，则a.b=-12;若

(入a+b)1b,则实数入的值为｝.

［解析］设a,b的夹角为。，因为b=(l,遮)，所以|b|=VfT^=2.因为

|a|cos0=-6,所以a-b=\a\'\b\cos0--12,因为(入a+b)lb,所以(入a+

b)•b=0,所以入a・b+加=0，所以一12入+4=o,解得人=1.

12.在△ABC中，点。为其外心，鱼豆1+2南+厄=0，若BC=2，贝］。4=

7.

［解析］设△ABC外接圆的半径是R,

由+20B+0C=0得V2U2=-20B-0C,

贝第2.瓦52=4OB2+0C2+40B-~0C,

即2R2=4R2+R2+4R2cosZBOC,

化简得cosNBOC=-'.

4

设NBOC=26,则在等腰三角形BOC中，sin。=孚.所以（M=%=罕.

42s\n07

［B级综合运用］

13.若。在△ABC所在的平面内，角a,B,C所对的边分别是a,b,c，满

足以下条件a-OA+b-OB+c-OC^0，则。是△ABC的(C)

A.垂心B.重心C.内心D.外心

［解析］选C.因为标=瓦5+荏，瓦=瓦5+就且a•瓦5+6・加+c・沃=0,

所以(a+b+c)-OA+b-AB+c-AC—0，化简得4。=a^+c,

设方=^十点i，又需与例分别为荏和前方向上的单位向量,所以4P平分

NBZC.又而,AP共线，故4。平分ZB4C,同理可得B。平分乙4BC,CO平分

乙4cB，故。是△ABC的内心.故选C.

14.［北京西城区模拟］已知AZBC为等边三角形,且边长为2，则前与前的夹角大

小为12©,若|丽|=1,CE^EA，则诟•BE的最小值为二二悔.

［解析］由题意知，如图，B=60°,

所以〈同，就〉=120。.

因为|丽|=1,所以点。在以点B为圆心，1为半径的圆上.

因为方=EA,所以点E为AC的中点，

贝廊=厚+；就.

又布=荏+丽,

所以而•BE=(ZB+BD)-QBI+|BC)

=--\AB\+-AB-BC+-BD-BA+-BD-BC

=-|x4+|x2x2xCOS1200+|BD•(函+前)

=-3+BD-BE=-3+|BD||5F|COS(RD,BE)

——3+V3cos(BD,BE).

又而函G［0,180°］,

所以COS(丽，就〉min——1,

所以(而-BE}.=-3-V3.

15.［湖南高三模拟］已知平面向量a,b,c均为单位向量,且|a-b|=1，则

(a-b)(b-c)的最大值为}.

1

［解析］由题得|a-=a?一2a,b+加=2-2a•b=1，解得,

所以(a-b)-(b-c)-(^a-b)-b-(a-b)-c-ab-b2-\a-b\|c|cos(a-

b,c)

=1—cos(a—b,c)=—|—cos(a—b,c).

因为cos〈a—b,c>e［—1,1］,所以(a—b),(b—c)e［—g，］,

所以(a-b)-(b-c)的最大值为;.

16.已知平面上两个不共线的向量a,b，其中a=(1,2),|加=2.

(1)若(a+2b)1(2a-b),求向量a与向量b夹角的余弦值；

［答案］解：因为a=(1,2),

所以|a|—Vl2+22=V5.

因为(a+2b)i(2a-b),

所以(a+2b)-(2a-b)=0,

2

即2a2+3。•b-2b2=2x(V5)+3a-b-2x22=2+3a-b^o,

所以a-b=—；

._2

则cos〈a协=漓而=是V5

15

(2)若向量a在向量b上的投影向量为-的,求向量b的坐标

［答案］由题意得|a|,cos(a,b)=—1,

则cos(a,b)=-y

设b=(x,y),

a-b=x+2y=\a\•\b\­cos{a,b)=-2,

则

\b\=J/+y2—2f

=-2,

解得

;1<=0,

所以b=g—0或b=(-2,0).

IC级素养提升］

17.［山西忻州模拟］圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”彳口“饱满”，

是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，是圆。的一条直径，上

|4B|=4,C,。是圆。上的任意两点，|CD|=2，点P在线段CD上,则演.而

的取值范围是(B)

D

B

c

A.[V3