2025高考数学一轮复习：抛物线 专项训练（原卷版）

2025高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练（原卷版）

【练基础】

一、单选题

1.（2024春.全国•高三校联考阶段练习）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕

其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成

的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频

带宽等特点.图2是图1的轴截面，A,8两点关于抛物线的对称轴对称，

是抛物线的焦点，NAEB是馈源的方向角，记为凡焦点尸到顶点的距离了与口径d的比值

《称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线馈源

a

的方向角6满足，tan6=-4正，则其焦径比为（）

A.B.—C.-D.—

4848

2.（2024•福建莆田•统考二模）己知尸为抛物线C:丁=4x的焦点，A为C上的一点，AF中

点的横坐标为2,贝（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2024•北京平谷•统考模拟预测）已知抛物线C：V=2px,点O为坐标原点，并且经过点

尸（1，%），若点P到该抛物线焦点的距离为2,贝川。门=（）

A.20B.2不C.4D.45

4.（2024新疆・统考一模）若歹是抛物线。：/=2°工5>0）的焦点，尸是抛物线C上任意一

点，P尸的最小值为9且A,B是抛物线C上两点，恒刊+忸尸|=5,则线段A2的中点到y

轴的距离为（）

53

A.3B.2C.—D.一

22

5.（2024・河南•校联考模拟预测）己知抛物线石:丁=4》的焦点为尸，过点厂的直线/交E于

A3两点，当/与圆C:（x-3）2+（y-l）2=l相切时，AB的中点Af到E的准线的距离为（）

6.(2024.陕西榆林.统考一模)如图1,某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设

计元素赋予了这座建筑轻盈、极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的

比例处理后可看成图2所示的抛物线C-.x2=-2py(p>0)的一部分，P为抛物线C上一点,

产为抛物线C的焦点，若/OFF=120,且|。尸|=浮，则。=()

7.(2024•辽宁•校联考模拟预测)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为凡点M在C上，

点4(一争()],若悄知|=手|9|,则cosZM/^=()

A.土昱B.土昱

22

C.D.±-

32

8.(2022・四川雅安・统考一模)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点P且倾斜角为锐角的直线

4与C交于两点A,3(横坐标分别为4，/，点A在第一象限)，4为C的准线，过点A

与4垂直的直线与4相交于点若|"|=|a冏，则丛=()

XB

A.3B.6C.9D.12

二、多选题

9.(2024・安徽•统考一模)已知。为坐标原点，点A(2a,0),8(2a,2a2)(中0),线段AB的中

点〃在抛物线C:f=2py(p>0)上,连接QB并延长，与C交于点N,贝|()

A.C的准线方程为y=B.点B为线段QV的中点

C.直线AN与C相切D.C在点M处的切线与直线QV平行

10.(2024•全国•模拟预测)已知抛物线C：d=2py(p>0)的焦点为R点4(2,1)在C上，P

为C上的一个动点，则（）

A.C的准线方程为x=TB.若M（0,3）,贝11|尸网的最小值为2四

C.若M（3,5）,则的周长的最小值为11D.在x轴上存在点E,使得NPEF为钝

角

11.（2024•辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线C:尤2=2py（p>0）的焦点为F

斜率为=的直线人过点厂交C于A，B两点，且点3的横坐标为4,直线4过点3交C于另

一点M（异于点A）,交C的准线于点直线AM交准线于点E,准线交y轴于点M则

（）

A.C的方程为V=4yB.|AB|=y

c.\BD\<\AE\D.|A©|-|A®|=4

12.（2024•江苏连云港•统考模拟预测）已知抛物线C：丫2=2°*（°>0）的焦点为区直线/

与C交于A（X1,%）,3（々，%）两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作垂直

于准线，垂足为M则下列结论正确的是（）

A.若直线/经过焦点凡且04QB=-12,则P=2

TT

B.若AF=3尸8,则直线/的倾斜角为,

\AB\「

C.若以AB为直径的圆M经过焦点R则谒的最小值为血

D.若以AB为直径作圆则圆M与准线相切

三、填空题

13.（2024・湖北•统考模拟预测）已知2）为抛物线6:/=2加（夕>0）上一点，过点7（0,1）

的直线与抛物线C交于48两点,且直线M4与"8的倾斜角互补，则.

14.（2024.山东威海.统考一模）已知椭圆+方=1（。>匕>0）的右焦点为尸，以P为焦点

的抛物线y2=2pMp>0）与椭圆的一个交点为跖若垂直于X轴，则该椭圆的离心率为

15.（2024•新疆乌鲁木齐•统考一模）设。为坐标原点，抛物线C：、2=2°彳他>0）的焦点为厂,

过点尸作x轴的垂线交C于点尸，。为x轴正半轴上一点，且|OQ|=5,若/。尸。=45。，则C

的准线方程为.

16.（2024•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）已知抛物线/=2px（x>0）,尸（2,1）为抛

物线内一点，不经过尸点的直线/：y=2x+机与抛物线相交于A,B两点，连接AP,8尸分别交

抛物线于C,r>两点，若对任意直线/,总存在4,使得4尸=彳尸(7,2尸=您。(/1>0"/1)成

17.(2024•安徽蚌埠・统考二模)已知抛物线C：V=2px,点4(1,2)在C上，A关于动点

T90)(/<3)的对称点记为跖过M的直线/与C交于尸(士,弘)，。5，％)，M为P,。的

中点.

(1)当直线/过坐标原点。时，求△AP。外接圆的标准方程；

(2)求△APQ面积的最大值.

18.(2024.山东日照.统考一模)已知抛物线C：无2=2py(p>0)的焦点为为C上的动

点，EQ垂直于动直线y=《r<0),垂足为Q,当△EQF为等边三角形时，其面积为

(1)求C的方程；

22

⑵设。为原点，过点E的直线/与C相切，且与椭圆土+乙=1交于两点，直线OQ与A3

42

交于点M,试问：是否存在乙使得|AM|二忸四|?若存在，求/的值；若不存在，请说明理

由.

【提能力】

一、单选题

19.(2024•陕西咸阳•校考一模)设尸为抛物线C：：/=2px(p>0)的焦点，点A在C上，

且A到C焦点的距离为3,到y轴的距离为2,则。=()

A.1B.2C.3D.4

20.(2024春・福建南平•高三校联考阶段练习)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点尸的直

线交抛物线。于A(xi,yi),B(X2,券)两点，设|冏=祇，|EB|=72,若〃，xl-x2,m+n

成等比数列，则%=()

B.3

C.3或g

22

21.（2024・吉林・统考二模）己知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点P与椭圆E：?+q=l的

一个焦点重合，则下列说法不正确的是（）

A.椭圆E的焦距是2B.椭圆E的离心率是g

C,抛物线C的准线方程是尸-1D.抛物线C的焦点到其准线的距离是4

22.（2024秋・广西河池•高三统考期末）已知抛物线丁=2。真「＞0））的焦点为产，准线为/,

过厂的直线与抛物线交于点A、B,与直线/交于点。，若=即|=4,则支（）

A.1B.-C.2D.3

2

23.（2024・四川成都・成都七中校考二模）已知点A是抛物线炉=4y的对称轴与准线的交点，

点8为抛物线的焦点，尸在抛物线上且满足|R4|=〃z|P3|,当加取最大值时，点尸恰好在以

A,2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A.B.^±1C.V2+1D.75-1

22

24.（2022.四川成都.成都市第二十中学校校考一模）在平面直角坐标系尤2y中，。为坐标原

点，〃（外,几）为任一动点.条件P：直线VO与直线x=T相交于点条件夕：

动点"（的兀）在抛物线丁=4尤上.则。是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

25.（2022•河南•模拟预测）已知抛物线C:y2=T2x的焦点为尸，动点M在C上，圆Af的

半径为1,过点尸的直线与圆M相切于点N,则打八成的最小值为（）

A.7B.8C.9D.10

26.（2024・陕西西安・西安市东方中学校考一模）已知抛物线C：＞2=T2X的焦点为尸，抛

物线C上有一动点尸，2（-4,2）,则|尸同+归。|的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

二、多选题

27.（2024•全国•高三专题练习）过抛物线C:/=2px上一点A（l,-4）作两条相互垂直的直

线，与C的另外两个交点分别为M,N,则（）

A.C的准线方程是x=-4

B.过C的焦点的最短弦长为8

C.直线MN过定点（0,4）

D.当点A到直线MN的距离最大时，直线的方程为2x+y-38=。

28.（2024.全国•高三专题练习）已知点4（-1,0）,5（1,0）,G（0,l）,抛物线C:/=4x.过

点G的直线/与C交于尸（士,%）,。（々,为）两点，直线ARA。分别与C交于另一点耳尸，则

下列说法中正确的是（）

A.yl+y2=yly2

B.直线跖的斜率为g

C.若的面积为殛（。为坐标原点），则OE与。尸的夹角为9

66

D.若加为抛物线C上位于x轴上方的一点，|A〃|=rpWB|,则当/取最大值时，一ABM的

面积为2

29.（2024・全国•高三专题练习）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的准线产-1与x轴相交于点

K,过抛物线C的焦点厂的直线/与抛物线C相交于八。两点，且只。两点在准线上的投影

点分别为"、N,则下列结论正确的是（）

A.p=2B.|尸。|的最小值为4

2

口加IM血NI为定值3I/PK—QKF

30.（2022•广东韶关•统考一模）设A是抛物线C:d=4y上一点，尸是C的焦点，A在C的

准线/上的射影为M,M关于点A的对称点为N,曲线C在A处的切线与准线/交于点P,

直线NF交直线/于点Q,则（）

A.尸至卜距离等于4B.FM±FN

C.△RPQ是等腰三角形D.IMQI的最小值为4

三、填空题

31.（2024•陕西西安・统考一模）若抛物线V=2pMp>。）上一点A到焦点和到x轴的距离分

别为10和6,贝!]p的值为.

TT7T

32.（2024・全国•模拟预测）已知抛物线及V=12x的焦点为片直线/的倾斜角ae,

/与抛物线交于AQ，X）,以程力）两点，且斗9=49,过尸作/的垂线，垂足为DP为抛

物线上任意一点，则|尸耳+|「口的最小值为.

33.（2024•河南•长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线D:产=©的焦点为尸，准

线为/,点P在。上，抬与/垂直，垂足为A,若|R4|=|AF|,则△w的面积等于.

34.（2024・湖南衡阳•校考模拟预测）3知抛物线C:y2=2x的焦点为F,圆0:炉+丁=3与

C交于两点，其中点M在第一象限，点尸在直线x=-2上运动，记

OP=AOM+〃ON（2,〃eR）.

①当OP〃OM时，有苧；

3

②当。尸_LON时，有2=-万；

③，PMN可能是等腰直角三角形；

其中命题中正确的有.

四、解答题

35.（2024•浙江嘉兴・统考模拟预测）己知抛物线C：y2=2px（p>0）,过焦点厂的直线交抛

物线C于A,B两点,>|AB|=|AF|-|BF|.

（1）求抛物线C的方程；

⑵若点尸（4,4）,直线以，PB分别交准线/于N两点，证明：以线段即V为直径的圆

过定点.

36.（2024春・广东揭阳•高三校考阶段练习）已知抛物线£：丁=2/（2>0）的焦点为忆点

13

/关于直线y=的对称点恰好在y轴上.

（1）求抛物线E的标准方程；

（2）直线/：、=%（尤-2）,2#）与抛物线E交于A,8两点，线段A8的垂直平分线与x轴交

,、\AB

于点C,若。（6,0）,求1万的最大值.

37.（2024.广东广州・统考二模）已知直线/与抛物线C:丁=©交于A,8两点，且与x轴交

于点“（。,0）（。>0）,过点A,8分别作直线小x=-a的垂线，垂足依次为4，月，动点N

在4上.

（1）当。=1,且N为线段A片的中点时，证明：AN1BN；

（2）记直线N4,NB,NM的斜率分别为瓦，k2,匕，是否存在实数2,使得《+&=2%?

若存在，求2的值；若不存在，请说明理由.

38.（2022・浙江.模拟预测）己知抛物线E：y2=2px（p>0）,其焦点厂与准线的距离为6,

若直线乙与E交于民C两点（直线2C不垂直于x轴），且直线所与E另一个交点为A,直

线CP与E另一个交点£).

(1)求抛物线E的方程；

⑵若点N(-1,O),满足NQVF=NBNF恒成立，求证：直线AZ)过定点.

2025高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练（解析版）

【练基础】

一、单选题

1.（2024春.全国.高三校联考）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称

轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反

射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等

特点.图2是图1的轴截面，A,8两点关于抛物线的对称轴对称，尸是抛物线的焦点，Z

是馈源的方向角，记为凡焦点尸到顶点的距离了与口径d的比值!称为抛物面天线的

a

焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线馈源的方向角。满足，

tan6=-4正，则其焦径比为（）

A.B.—C.-D.—

4848

【答案】C

【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：y2=2px（p>0）,（go］，%=:，

代入抛物线方程可得x,根据tang=g,解得P与d的关系，即可得出4

23a2d

【详解】如图所示，建立直角坐标系，

设抛物线的标准方程为：y2=2px（p>o）,FR,0

yA=~,代入抛物线方程可得：［^\=2px,解得x=，，

2\2）8P

2tanf_

由于tane=-------Zr=-46，得tan&=正或tan2=-2^（舍）

1an/2225

2

d

20V5「「

又P储=七口5=万,化为：4岛2_8即一氐/2=0,

2一面

解得p=^~d或p=d（舍）

;上=上力

d~2d~4

故选：C.

2.（2024・福建莆田•统考二模）已知尸为抛物线。：丁=4.%的焦点，A为C上的一点，AF中

点的横坐标为2,贝HAB|=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根据河中点的横坐标求出A点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.

【详解】由题意得：F（l,0）,准线方程为4-1,

设A（机小，则川中点的横坐标为等，

故罗=2,解得：根=3,

由抛物线的焦半径可知：|AP|=3+1=4.

故选：B

3.（2024.北京平谷・统考模拟预测）已知抛物线C:;/=2px,点。为坐标原点，并且经过点

P。,%）,若点尸到该抛物线焦点的距离为2,贝”。门=（）

A.2A/2B.2A/3C.4D.75

【答案】D

【分析】由焦半径公式列出方程，求出。=4,得至IJy；=4,求出IO尸I的长.

【详解】抛物线准线方程为彳=-5，由焦半径可知：1+5=2,解得：p=2.

则C:/=4x,此时必=4,则|。尸|=,F+4=6.

故选：D

4.（2024•新疆•统考一模）若/是抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，尸是抛物线C上任意一

点，尸尸的最小值为：，且A,8是抛物线C上两点，|AP|+忸司=5,则线段A2的中点到，

轴的距离为（）

53

A.3B.2C.—D.一

22

【答案】B

【分析】根据题意可知。=1,利用抛物线的定义和梯形的中位线即可求解.

根据题意可知勺g,P=l

如图，取中点E,分别过点A、B、E■作4£>，/,2。1_/,£6_1/于点。、C、G,

OG与y轴交于点H.

根据抛物线的定义可得：\AF\^\AD\,\BF\^\BC\

.-.|AD|+|BC|=|AF|+|BF|=5.

因为GE为梯形ABC。的中位线，所以=忸

所以线段AB的中点到>轴的距离附=网|3=}3=2.

故选：B

5.（2024・河南•校联考模拟预测）已知抛物线石:丁二©的焦点为P,过点P的直线/交E于

A8两点，当/与圆C:（x-3）2+（y-l）2=l相切时，A3的中点加到E的准线的距离为（）

3「5〃17八25

A.-B.-C.—D.—

2248

【答案】D

【分析】根据题意，设直线/的方程为了=切+1,4（芯,另）,3优,力），由直线与圆相切可得加，

再联立直线与抛物线方程，结合焦半径公式即可得到结果.

【详解】由题意知/。,0）,设直线/的方程为尤=冲+1,4（和%）,3（与力）.

因为直线/与圆（?：0-3）2+0-1）2=1相切,

%|3-m-解l||2-m|得“♦3，

所以圆心C（3,l）到/的距离』=

所以直线/的方程为x=1y+l,联立x=得/一3y-4=0,贝1|%+%=3,

y2=4x

所以A3的中点M到E的准线的距离为

3

x+x夕_4（%+%）+2-x3+2

{214125•

+1=---------+1=—

22228

故选:D

6.（2024・陕西榆林・统考一模）如图1,某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设

计元素赋予了这座建筑轻盈、极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的

比例处理后可看成图2所示的抛物线<7:/=一24（0>0）的一部分，尸为抛物线C上一点,

尸为抛物线C的焦点，若NOEP=120,且|0尸|=殍，则片（）

【答案】A

【分析】写出焦点坐标，设|尸尸|=2。，由NOEP=120得出尸点坐标，根据焦半径公式得P=。,

再由|。尸|=亨求得入

【详解】由题意知尸［。,一£|,设|尸产|=2匹贝"［耳，一微一，，

由抛物线的几何性质知4+a+《=2a,则

22

所以尸［石p厂学），

所以|OP|=J3P2+12=g,

解得p=l.

故选：A.

7.(2024.辽宁・校联考模拟预测)已知抛物线C：y2=2px(〃>0)的焦点为尸，点M在。上，

点A,go],^\AM\=^-\FM\,则COSZME4=()

A.+克B.+如

22

C.土也D.±-

32

【答案】B

【分析】由抛物线的定义可得|〃N卜|FM|,求得cosNAMN,sinNAMN,由MN〃AF得

NMAF=NAMN,在aAV4中由正弦定理求得sin/Affi4,即可得到答案.

【详解】由题意知点A为抛物线C的准线与无轴的交点，如图，

过点M作MN垂直于准线于点M^\FM\=2a,贝I]|AM|=N,

由抛物线的定义可得|例=时|=2a,所以cosZAMN=篇=竿，所以$也ZAMN=q.

又MN〃AF,所以所以sin/M4尸=@.

5

在尸中，由正弦定理得卜山40a=|9卜in/Affi4,

£V5

所以\AM\sinZMAF]

m以sinZMFA=J——L——-------=---------2-=一'

\FM\2a2

所以cos/MK4=±Jl一出=±冬

故选：B.

8.(2022・四川雅安・统考一模)过抛物线。：9=2/(2>0)的焦点尸且倾斜角为锐角的直线

4与C交于两点A,8（横坐标分别为4，/，点A在第一象限），4为C的准线，过点A

与4垂直的直线与4相交于点若|人其=|「加|,则区=（）

XB

A.3B.6C.9D.12

【答案】c

【分析】由已知可求得直线4的斜率为相，则直线4的方程为联立直线与

抛物线的方程，可求出乙，上,即可解得结果.

【详解】设直线4的斜率为3倾斜角为e,[。＜夕＜方）

由抛物线的定义知，|AM=|A同，又|A同=|FN|,所以△加为等边三角形，且4W//X轴,

所以6=ZFAM=~,贝!Jk=tan0=6.

则直线6的方程为＞=

y2=2px

联立直线4的方程与抛物线的方程＜y=^（_p]可得12—-20px+3P2=0,

4>XB，

解得玉=[p,羽=£,显然所以乙=1°,XB=­,

2626

＞p

所以，丛=尹=9.

%:P

故选：C.

二、多选题

9.（2024.安徽.统考一模）已知。为坐标原点，点&（24,0）,5（2区24）（中0）,线段AB的中

点加在抛物线C:/=2py（p＞0）上,连接。8并延长，与C交于点N,贝。（）

A.C的准线方程为y=-；B.点5为线段ON的中点

C.直线AN与C相切D.C在点M处的切线与直线QV平行

【答案】BCD

【分析】将代入抛物线得p=2,则得到其准线方程，则可判断A,联立直线。8

的方程与抛物线方程即可得到N（4a,4/）,即可判断B,利用导数求出抛物线C在点N处的

切线方程，令、=0,则可判断C,再次利用导数求出抛物线在“（2凡4）处的切线斜率，则

可判断D.

【详解】对A,根据中点公式得vQad）,将其代入C:尤2=2Q得4/=2/0，则p=2,

所以抛物线C:/=4y的准线方程为y=-l,故A错误，

对B,网2/2/）（4*0）,则直线03的斜率为。，则直线03的方程为〉=砥，

将其代入C:x?=4y得尤②=4依，解得x=4a或。（舍去），此时y=4°2,

则N（4a,44）,所以B为。N中点，故B正确；

对C,C:x2=4y,即y=工x?,则,x,

42

故抛物线C在点N处的切线的斜率为gx4a=2a,

故切线方程为y-4a2=2a（x-4a）,

令y=0得x=2a,所以直线AN为C的切线，故C正确；

对D,抛物线C:/=4y在处的切线方程的斜率为:x2a=a,

而直线ON的斜率为。，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，

所以C在点M处的切线与直线ON平行.

故选：BCD.

10.（2024・全国•模拟预测）已知抛物线C：d=2py（p>0）的焦点为R点4（2,1）在C上，P

为C上的一个动点，则（）

A.C的准线方程为x=TB.若M（0,3）,则1PM的最小值为2&

C.若“（3,5）,则△尸MF的周长的最小值为11D.在无轴上存在点E,使得ZPEF为钝

角

【答案】BC

【分析】根据题意求出P,即可求出准线，即可判断A；设点尸（知几），%20,则x；=4y0,

根据两点的距离公式结合二次函数的性质即可判断B；过点尸作PN垂直于C的准线，垂足

为N,连接MN,再结合图象，即可求得的周长的最小值，即可判断C；设E&。），

再判断E尸.<0是否有解即可判断D.

【详解】A选项：因为点4（2,1）在抛物线C:无2=2py上，所以2?=2p,解得p=2,

所以抛物线C的方程为》2=4y,所以C的准线方程为y=-l,故A错误；

B选项：设点P（%,九），%-0>则片=4几，

因为M（0,3）,所以1PM2=片+（为一3）2=货一2%+9=（%-1）2+828,

当且仅当为=1时等号成立，

所以归“上=2血，故B正确；

C选项：过点P作PN垂直于C的准线，垂足为N,连接MN,则|尸陷=|尸石,

易知E（O,1）,“（3,5）,所以惘川=,32+（5_1『=5,

所以△PMF的周长为

\MF\+\MP\+\PF\=\MF\+\MP\+\PN\>\MF\+\MN\=5+6=11,

当且仅当M,P,N三点共线时等号成立，

所以△PMF的周长的最小值为11,故C正确；

D选项:设E&0),则砺=(T,1),EP=(x0-t,y0),

2

所以EF-EP=—t(^x0—t^+y0—t—xot+%,

因为点P(x0，儿)在C上，所以片=4几，即为=§,

所以=〃一知+>0,

EF•EP

所以侬"即=可网N0,故ZPEF不可能为钝角，故D错误.

故选：BC.

11.(2024•辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测)已知抛物线C:f=2py(p>0)的焦点为F

3

斜率为=的直线乙过点厂交C于A，B两点，且点B的横坐标为4,直线4过点2交C于另

一点M(异于点A),交C的准线于点。，直线AM交准线于点E,准线交y轴于点N,则

()

A.C的方程为V=4yB.|AB|=^

C.\BD\<\AE\D.|A©|-|A®1=4

【答案】ABD

【分析】对于A,根据题意设得£2的坐标，再由直线乙的斜率求得P,从而求得抛物线C

的方程，由此判断即可；对于B,联立直线乙与抛物线C的方程，求得AB的坐标，进而求

得|他由此即可判断；对于D,设加［见，；从而利用直接法求得及D的坐标关于加的

表达式，从而证得|NE>HNE|=4,由此判断即可；对于C,举反例排除即可.

【详解】对于A,由题意得户所以上_p~23,整理得p2+6p—16=0,

4

又p>0,解得p=2,所以。的方程为N=4y,故A正确；

对于B,由选项A知双曲线。的准线方程为产一1,5(4,4),尸(0,1),直线。的方程为

31

y=/+l,

Y=4y<

联立3，解得尸一1或尸4,所以4-1,了，

y=-x+lI

I4

则同同=34+1)2+(4_；1=］，故B正确；

对于D,设点由题意知加丹1且加丹4,所以直线K4:y-；="(x+l),

令.kf得/日』Km+4口即厂七m丁+4/八"，故”|一河厂|=m+"4，

同理可得D1则］,故加以=加?，所以加分|陷=驷=4,故D正确；

Im+4)m+4m+4m-1

对于C,当m=2时，£(-6,-1),。］，-“，则|AE|=乎，忸必=浮，则忸0>|AE|,

故C错误.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是设M班,号,从而利用熟练的运算能力将瓦。的坐

标表示为关于根的表达式，从而得解.

12.（2024.江苏连云港•统考模拟预测）已知抛物线C：丫2=2°*（夕＞0）的焦点为区直线/

与C交于4（网,％）,3（々，%）两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作垂直

于准线，垂足为M则下列结论正确的是（）

A.若直线/经过焦点F且04QB=-12,则P=2

71

B.若AP=3P2，则直线/的倾斜角为§

\AB\「

C.若以AB为直径的圆M经过焦点R则扇的最小值为血

D.若以AB为直径作圆则圆M与准线相切

【答案】BC

【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程,

得到两根之和，两根之积，由0402=-12列出方程，求出P=4,A错误；B选项，先得

到直线/经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两

根之积，结合％=-3%求出直线/的斜率，得到倾斜角；C选项，设|A同=〃?,忸刊=",由抛

\AB\

物线定义结合基本不等式得到谒的最小值；D选项，与C一样，考虑直线/不经过焦点

时，得到圆M与准线相离，D错误.

【详解】A选项，由题意得：/2。）准线方程为x=",

当直线/的斜率为0时，此时，直线/与C只有1个交点，不合题意，

故设直线/：x=^"+机y,与y2=2px联立得：y1-Ipmy-p2=0,

故%+%=2pm,%丁2=~P2，

则再％=（；）=f，所以0A.02=%/+y%=0_/=T2,

解得：p=4,A错误；

B选项，因为AF=3尸8,所以A,冗8三点共线，即直线,经过抛物线焦点，

当直线/的斜率为0时，此时，直线/与C只有1个交点，不合题意，

故设直线/：x=1+my,与V=2px联立得：y2-2pmy-p2=0,

故%+%=2pm,%%=~P2，

因为A/=3/3,所以X=-3%，

代入M+%=2pm,%%=一中，得至！J%=~pm,-3yl=-p2，

即in2=—,

3

因为点A在第一象限，所以%＞0,故％＜。，即—P根＜。，m＞0,

解得：m=^~

3

故直线/的斜率为'=设直线/的倾斜角为8（0＜。＜兀），则tan”/,

7T

解得：6=5，B正确；

C选项，^\AF\=m,\BF\=n,过点A作AQ_L准线于点Q,过点B作，准线于点P,

因为以A8为直径的圆M经过焦点F所以？1F_L8F,

贝U|AB|=,

由抛物线定义可知：由N|忸尸।=M司;忸1=号,

由基本不等式得：苏+冏2＞2mn,贝!]2（川+/"2冽〃+/+/=（m+n）2,

当且仅当机=〃时，等号成立，

|AB|_Jm2+犷2ym2+n2r-

故k八等

w\MN\~m+nm+n,C正确;

2

D选项，当直线/不经过焦点尸］,0j时，设|Ab|=m忸同=〃，

由三角形三边关系可知：|/用+忸同＞|/明，

由抛物线定义可知结合C选项可知：|”|+忸4=2|削|＞|帅|,即阿N|＞绰，

若以为直径作圆M,则圆M与准线相离，D错误.

故选：BC

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，

再求这个函数的最值或范围.

三、填空题

13.（2024・湖北•统考模拟预测）已知M（1,2）为抛物线C:V=2PMp＞0）上一点，过点T（0,l）

的直线与抛物线C交于A,B两点,且直线MA与MB的倾斜角互补,则|窗口"|=.

【答案】2

【分析】由题可得y2=4x,然后利用韦达定理法，两点间距离公式结合条件即得.

【详解】由点知。,2）在抛物线＜7:丁=2°尤上得：22=2p,即p=2,

所以抛物线C的方程为：y2=4x,

设直线A5的方程为、=履+1,A。,％）,B（x,,y2）,

由直线AM与MB的倾斜角互补得上MA+L=°，

।4(%+%+4)_°

即%-2x2-2~y^_1yl_1~(y1+2)(y2+2)~，所以％+%=-4,

44

联立19一以，得"-4y+4=0,

44

所以乂+%=7，%%=：，

4

所以：=—4,即左二—1,所以y%=-4,

所以|利.|烟=业+（%一1）2.Jx；+（%T）2=址+的Y-但日

故答案为：2.

22

14.（2024•山东威海・统考一模）已知椭圆1r+%=1（。>6>。）的右焦点为足以厂为焦点

的抛物线y2=2px（0>0）与椭圆的一个交点为若垂直于x轴，则该椭圆的离心率为

【答案】A/2-1##-1+V2

【分析】利用抛物线和椭圆交点及简单性质，列出关系式，求解椭圆离心率即可.

【详解】根据椭圆和抛物线对称性及"FU轴，由M在抛物线上得火多"），M在椭圆上

得加（。,一）

a

c=G^.则由条件得：9c且p=^

2a

2ac=b12ac=a1—c2

即得/+2e-l=0.

解得0=-1+点,6=-1-鱼（舍去），所以e=-l+后

故答案为：0-1

15.（2024.新疆乌鲁木齐.统考一模）设。为坐标原点，抛物线G产=2加（°>0）的焦点为厂，

过点尸作x轴的垂线交C于点P，。为x轴正半轴上一点，且|0。|=5,若/OPQ=45。，则C

的准线方程为.

【答案】x=-3

【分析】由题知进而根据582=小。。卜|尸司=3。印尸。卜山/。尸。计算即可.

【详解】解：如图，由题知尸］，。）将―考代入方程产=2»得产土P,故尸已。）

所以例=卜+/$，同l="/j+p2,

所以s=g•|00卜|尸司=g|OP||P@SinZOPQ,

因为一^1+/,整理得p2_4p