高二年级下册数学学考知识手册

祟自与品题逻辑

一、集合

1.集合的定义：一般地，把确定的、不同的对象看成一个整体，这个整体叫做集合,

这些对象称为元素。

2•集合

(1)确定性(2)互异性(3)无序性

(1)属于：如果。是集合/的元素，记作。WN,读作“。属于集合/”。

(2)不属于：如果。不是集合/的元素，记作。任力，读作“。不属于集合/”。

■常麒』

(1)非负整数集(自然数集)，记作N(2)正整数集，记作N*或N+

(3)整数集，记作Z(4)有理数集，记作0

(5)全体实数集，记作火

(1)有限集(2)无限集(3)空集：不含任何元素的集合，记作0

(1)列举法(2)描述法(3)venn图示法

1

7万―

(1)子集：一般地，对于两个集合/、B,如果集合/中的任意一个元素都是集合8的

元素，称集合/为集合8的子集，记作4=5(或52%)

(2)真子集：对于两个集合/和3,若4=5,但存在xeB且工任/,则称集合/是

集合3的真子集，记作(或)o

由〃个元素组成的集合/则有：

(1)/的子集的个数是2"；(2)/的真子集的个数是2"-1;

(3)/的非空子集的个数2"-1;(4)/的非空真子集的个数2"—2。

9加

(1)并集的定义：一般地，由所有属于集合/或属于集合6的元素组成的集合称为

集合/和集合笈的并集，记作/UB

(2)并集的运算性质

①=②=/③/U0=/

⑤川5=5。止5⑥4UCZ)="

2

10.如

（1）交集的定义：一般地，由属于集合/且属于集合6的所有元素组成的集，称为集合

/和集合3的交集，记作/n^。（2）交集的运算性质

①②/n/=/③/no=0④（/门8）74（/门8）=8

⑤4nB=/o/口⑥zn（cM=。

ii•扑集

（1）全集的定义：含有所研究问题中涉及的所有元素的集合称为全集，记为U。

（2）补集的定义：对于一个集合/,由全集U中不属于集合N的所有元素组成的集合称

为集合/相对全集U的补集，记作C。/。

（3）补集的运算性质

①NU"=U②么口5=0③=/

（4）摩根定律：

的（，00=（。必川（。心）；c“4U8）=（cd）n（ca）

（1）交换律：A[}B=B[}A-A[）B=B[）A

（2）结合律：/n（5nc）=（/n8）nc；/U（BUC）=（/UB）UC

（3）分配律：4n（8uc）=（zn8）u（4nc）；^u（snc）=（^us）n（^uc）

3

二、命题及其关系

1.MSX

命题：可以判断真假的陈述句叫命题，其中判断为真的命题为真命题，判断为假的命

题称为假命题，常用小写的拉丁字母"私JS,…表示命题。

(1)一般地，如果已知夕那么就说：°是q的充分条件，q是0的必要条件；

若poq,则O是q的充分必要条件，简称充要条件。

(2)充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件0与结论q之间的关系：

(1)全称量词与全称命题：短语"所有的"、"任意一个"在逻辑中通常叫做全称量

词，并用符号"V"表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.

(2)存在量词与特称命题：短语“存在一个"、"至少有一个"在逻辑中通常叫做存在

量词，并用符号"于‘表示；含有存在量词的命题，叫做特称命题.

4

函数

一、函数的概念

i.MtftBX：一般地，设3是非空的"Ml,如果对于集合/中的

X,按照某种确定的对应关系/,在集合3中都有ft/WM和它对应，那么就称

了：4-8为从集合/到集合5的一个函数，记作：歹=/(x),xw/。其中，x

叫做自变量，X的取值范围/叫做函数的定义域；与X的值相对应的y值叫做函数

值，函数值的集合｛/(x)|xe/｝叫做函数的值域。

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。

二、函数三要素

1.BXM

(1)定义域的注意事项

①一定是用集合表示的范围才能是定义域，单独的数时用"列举法"；一般表示范围

时用集合的"描述法"或"区间"来表示。

②出现任何情形时都要注意，让所有的式子同时有意义，即最后求的是所有式子有意

义的交集。

③求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免定义域发生变化。

(2)定义域的常见形式有分式、根式、复合函数以及抽象函数。

5

①具体函数定义域的常见类型:

a.分式中分母不为零

b.偶次根式非负

c.当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集

联系・■»»»的求族

(1)待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法

(2)配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，/[g(切的表达

式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数/(X)的定义域不是

原复合函数的定义域，而是g(x)的值域

(3)换元法：已知复合函数f[g(切的表达式时，还可以用换元法求f(X)的解析式

(4)代入法：求已知函数关于某点或某条直线的对称函数时，一般用代入法

(5)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象时，则可以对变量进行置换，设法构造方

程组,通过解方程组求得函数解析式。

(1)值域的概念：值域是由定义域和对应关系/(共同作用的结果，是个被动变量，所

以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

(2)函数求值域的方法

6

①二次函数求值域（配方法，图像法）

②根式求值域（换元法，平方法，单调性法）

③分式求值域（分离常数法，判别式法，有界法，基本不等式法）

三、函数的性质

（1）函数单调性的定义：一般地，设函数y=/（x）的定义域为/,如果对于定义域/

内的某个区间。内的任意两个自变量X1、",当再＜当时，都有/（$）＜/■（0）（或

/a）＞/■（/））,那么就说了（X）在区间D上是增函数（减函数）

（2）函数最值的定义

最大（小）值：一般地，设函数歹=/（x）的定义域为/,如果存在实数■满足：①对

应任意的xe/,都有〃无）＜〃；②存在/€/，使得/（%）=〃，那么称反是

函数歹=/（x）的最大值。（反之为最小值）

（1）函数奇偶性的概念

一般地，对于定义域关于坐标原点对称的函数/（x）,如果对于函数定义域内任意一

个X,都有f（r）=/薄么■效俅

7

一般地，对于定义域关于坐标原点对称的函数/(X),如果对于函数定义域内任意一

个X,都有=—%光),那么做■■敷。

(2)奇偶函数的图象

奇函数—图象关于原点成中心对称的函数，

偶函数—图象关于歹轴对称的函数。

(3)判断函数奇偶性的方法

①定义法：对于函数/(x)的定义域内任意一个X,都有/(—九)=/(尤)，则为偶函

数;对于函数/(X)的定义域内任意一个x,都有/(—尤)=一/(九)，则为奇函数

a.判断星义迫壁壬星幽宾

b.比较/(—x)与/(x)的关系

c.扣定义，下结论

②图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶

函数

1X—|—]

xx

③常见的奇函数：J"+'sincox.ax±—.a-a~.logfl----

XX-l

常见的偶函数：X2\COSS、/(恸)、/(x2).ax+a~x

④运算法

设/(x),g(%)的定义域分别为。i,。2,在它们的公共定义域D上,有下列结论：

8

/W偶偶奇奇

g(x)偶奇偶奇

/(x)±g(x)偶不能确定不能确定奇

/(x)+g(x)偶奇奇偶

〃x)-g(x)偶奇奇偶

(i)对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴

(或对称中心)对称。

(2)轴对称的等价描述

①小+力=/(%)关于％=。轴对称(当a=0时，恰好就是偶函数)

②/(a—x)=+/(尤)关于％=应券轴对称

③/~(x+a)是偶函数，贝IJf(x+a)=—九+a),进而可得到：/(%)关于x=a轴

对称

⑶中心对称的等价描述

①/(a_x)=+x)=/(x)天王(a,0)中心对称(当a=0时，是奇函数)

9

②/(tz—x)=—/(b+x)=/(x)关于中心对称

③/(4-%)+/'仿+尤)=20=/(“关于"自,c］中心对称

④/(x+是奇函数，则f(x+a)=-f(-x+a),进而可得到：f(x)近(a,0)

中心对称。

•MMUtt

(1)函数周期性的定义：设/(X)的定义域为。，若对Vxe。，存在一个非零常数

T,有/(x+T)=/(x),则称函数/(X)是一个周期函数，称7为/(X)的一个周

期。

(2)周期性的理解：可理解为间隔为T的自变量函数值相等

若/(X)是一个周期函数，则/(x+T)=f(x),那么

/(九+2T)=/(x+T)=/(x),即27也是/(x)的一个周期，进而可得：

左丁优eZ)也是/(x)的一个周期。

(3)最小正周期：正如上面所说，左T(左eZ)也是/(x)的一个周期，所以在某些周期

函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数

都有最小正周期，比如常函数/(x)=C。

10

(4)函数周期性的判定

①〃九+。)=/(九)：可得了(£)为周期函数，其周期T=同

②“x+G=〃x+6)：可得/•(》)为周期函数，其周期T=b—4

③/(x+a)=-/(x+b)n/(九)的周期T=2,_耳

+k

©/(%+«)=(左wO)n/(x)的周期T=2,一目

/(x+»

l+/(x)

⑤/(x+a)=n/(x)的周期丁=4同

1-/(x)

⑥/(x)=/(x-a)-/(x-2tz)=>/(x)的周期T=6同

⑦若一个函数有两个对称性，则必为周期函数

a.相邻对称轴间为半个周期

b.相邻对称中心间为半个周期

c.一个对称轴和与之相邻的对称中心间为四分之一个周期

四、基本初等函数

(1)“次方根与分数指数幕

①一般地，如果x"=a,那么x叫做。的"次方根，其中〃>1,且〃eN*

②式子而叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数。

11

(2)根式的性质：

①〃与加之间关系：

a.当n为偶数时,a>0b.当"为偶数时,标表示。的正"次方根

c.当n为奇数时,而表示。的〃次方根

②〈注意事项〉

I-[a,n=2k+\.kEZl

a.(诡=<,7,b.O的任何次方根都是0,记作皿=0

\a\,n=2k.keZ

c.(折)=tz,6Z>0；an=(<a>0)

d.0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数嘉没有意义。

(3)对于任意实数r,s,均有下面的运算性质

①。"二/+$(Q>0/,S£R)②(Q'『二Q"(a〉0",sWR)

③("J=arbr(a>0,b>0jeR)

2.

(1)7=优(Q〉0)且(QW1)叫做指数函数,其中'是自变量，Q为常数,函数定

义域为尺。

指数函数y-axy=ax

定义a>\0<tz<1

12

1.定义域为尺3.图象过定点(0,1)

相同点

2.值域为(0,+8)4.非奇非偶

在A上是增函数在A上是减函数

不同点x>0时，ax>1x>0时，ax<1

x<0时，ax<1x<0时，ax>1

(2)指数函数底数变化与图像分布规律

(D1/④

__CX_

O*

①N>0,②log。1=0,(3)logaa=1

贝U：0<b<a<l<d<c

(3)指数式大小比较方法

①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.

②中间量法。③分类讨论法④比较法

13

（1）对数的概念

如果d=N（a>0,且awl）,那么数b叫做以。为底N的对数，记作：log°N=b

其中。叫做对数的底数，N叫做真数。

⑵对数log〃N（a>0,且awl）具有下列性质：

①。和负数没有对数，即N>0②1的对数为0,即logj=0

③底的对数等于1,即log.a=1

（3）两种特殊的对数

①log]oN=lgN;

②以e（e是一个无理数，e=2.7182…）为底的对数叫做自然对数，

logeN=lnNo

（4）对数的运算法则

已知log”M、log”N（〃〉0且。。1,M、N>0）

①log.（胸）=log〃M+log.N②log,弋=logflM-log,N

n

@logaM=nlogflM

14

(5)对数公式

b_z

①对数恒等式：a=：oabg“N=N②换底公式

log。N=b

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在。>0,awl,朋r>0的前提下

有:

a.logM^\og„Mn(neR)b.log”M=log」M(0>0,cw1)

aa“log,a'

,,1

C」Og/=^----------a>0,aw1/>0,bw1)

log〃

4JCNKM

(1)对数函数定义:一般地，函数歹=108“工(。〉0,且。/1)叫做对数函数，其中x是自

变量，函数的定义域(0,+8)。

(2)对数函数性质

对数函数y=log”%y=iog“工

定义a>l0<tz<1

1.定义域为(O,+8)3.图象过定点(1,0)

相同点

2.值域为尺4.非奇非偶

不同点在(0,也))上是增函数在(0,+s)上是减函数

15

当x>l时，logax>0;当x>l时，logflx<0;

5JBMt

（1）黑函数概念：形如歹=九"（。《人）的函数，叫做事函数，其中a为常数.

（2）幕函数的性质

①图象分布：幕函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.黑函数是偶函数

时，图象分布在第一、二象限（图象关于y轴对称）；是

奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对

称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

②过定点：所有的事函数在（0,+8）都有定义，并且图象

都通过点（1,1）.

③单调性：如果a>0,则事函数的图象过原点，并且在［0,+8）上为增函数.如果

«<0,则幕函数的图象在（0,+8）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近X轴与

y轴.

16

④图象特征：幕函数7=无。尤€(0,+8),当£>1时，若O<X<1,其图象在直线

y=x下方,若X>1,其图象在直线y=x上方,当。<1时,若0<X<L其图象

在直线y=x上方,若x>1,其图象在直线y=%下方.

五、函数图像及其应用

(1)平移变换：左加右减，上加下减

(2)对称变换

①函数歹=/(X)与函数y=/(―X)的图像关于J，轴对称

函数歹=/(%)与函数y=—/(x)的图像关于x轴对称

函数歹=/(x)与函数y=-f(-x)的图像关于坐标原点(0,0)对称

②y=|/(x)|的图像是将函数/(x)的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的

部分关于x轴对称翻折上来得到的

2,点定义及■点存在施■

⑴对于函数y=“X),我们把使/(九)=0的实数x叫做函数了="X)的零点.

强调：也不是点，而是对应方程的根，墨x■交点的例fe标.

17

(2)零点存在定理(唯一性定理)：如果函数了=/(x)在区间［见句上的图像是连续不

断且独的一条曲线，并且宣/(。/(6)<0,那么函数y=/(x)在西|(a,b)内

3.方■的帆点的关JK

⑴方程“X)=0有实数根-函数了=/(X)的图像与X轴有公共点o函数

歹=/(x)有零点。

(2四/⑺-g⑺=OWMMK011了=/(x)HBM尸g6)的BMW公

MjiK<=>mty=f(x)-g(x)

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而等式

一、不等式的基本性质

性质1对称性若a>b,贝6<a

性质2传递性如果a>b,b>c,那么a>c

性质3同加保序性如果那么a+c>6+c

性质4移项法则若a+b>c,贝

性质5乘正保序性如果“c>0,那么ac>bc

性质6乘负反序性如果a>b,c<0,那么ac<be

性质7同向相加保序性如果仇那么a+c>6+d

性质8正数同向相乘保序性如果a>b>0,c>d>0那么ac>bd

性质9非负乘方保序性如果a>b>0,那么0<L<:

性质10非负开方保序性如果a>b>0,那么a">b"(nGTV*)

性质11同号取倒数反序性如果a>b>0,那么赤》&(nGN*>1)

二、不等式的解法

不

（1）区间形式

不等式的解集经常用区间来表示，设。,6都为实数，并且我们规定:

集合｛尤4x46｝叫做闭区间,表示为可;

集合｛x[a<x<6｝叫做开区间，表示为（。,6）;

集合｛x[a<x<6｝或｛x[a<x<b｝叫做半开半闭区间,分别表示为[a,6）或（a,6];

19

实数集&表示为（T»,+°O）,集合卜卜2。｝,｛x\x>a],｛小叫和｛相<：｝分别用区

间[a,+8）,（凡+⑹，（一叫”和（―⑼表示；。与b也叫做区间的端点，"+8"读

作"正无穷大"，"-8"读作"负无穷大”.

（2）解一元二次不等式的步骤

①对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；

②计算相应的判别式A=b2-4ac；

③当A>0时，求出相应的一元二次方程的两根；

④根据一元二次不等式解的结构，写出其解.

（3）解一元二次不等式的技巧

常画出对应的二次函数的简图，通过图像写出解（数形结合）；

当。>0,A>0时，解除一元二次方程的根后，常用口诀：""大于取两边，小于取中

间”.

（4）含参数的一元二次不等式的解法（分类讨论思想）

①当二次项系数含参数时，按/项的系数。的符号分类，即分。三种情

况；

②按判别式△的符号分类,即分△>0,A=0,A<0三种情况；

若A>0,但两根西,工2的大小未定，即分无1>工2，再<工2两种情况.

20

2育次不答式

(1)一元高次不等式的概念：只含有一个未知数且未知数的最高次不小于3的不等式叫

做一元高次不等式；

(2)一元高次不等式常用"数轴标根法"，又称"穿针引线法”，其步骤是：

①调号：不等式变形后最高次项系数为正数，右侧为0；

②因式分解：将不等式左侧化为若干因式的乘积；

③标根：在数轴上按照从小到大的顺序依次标出各个因式各根；

④引线：从"最右根"的右上方开始画曲线，注意"奇穿偶回"(奇次根穿透，偶次

根不穿透)；

⑤结论：根据图象，写出解集；

分式不等式的概念：分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.若/(X)与g(x)是

关于X的多项式，则型如卓＞0(或20)或卓＜0(或V0)(其中/(x),g(x)

g(x)g")

为整式且g(x)wO)的不等式为分式不等式；解分式不等式的关键是转化为整式不等

式：

fix)>0o/(x)g(x)>0;②44

<0<=>/(x)g(x)<0;

XX

③工④&l<0o7(x)g(x)W0

③g(x)一1g(x)/0，④g(x)一[g(x)w0

21

绝对值的几何意义：国表示实数X在数轴上所对应的点到原点的距离；

绝对值的代数意义：当XNO时，|x|=x;当x<0时，国=一无；

不等式国>>0)的解集为(f,-a)U(见”),不等式国<。(。>0)的解集为

(~a,a);

解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值，但也要尽量想方法避免讨论：

|/(x)|<g(x)O-g(x)</(x)<g(x)；

\f(x)|>g(x)o/(x)>g(x)或/(x)<—g(x);

|/(x)|>|g(x)|o[/(x)]2>[g(x)T；|/(x)|<|g(x)|o[/(x)]2<[g(x)]

|/(x)|+|g(x)|>/z(x)：

绝对值不等式的性质：||a|-|*||<|a±6|<|a|+网.

5.WFW

只含有一个未知数，并且未知数在根号中的不等式叫做无理不等式；解根式不等式的

关键是转化为有理不等式，同时注意考虑定义域：

"(x)>Jg(x)o,g(x)20；

[/(x)>g(x)

三、基本不等式

①基本不等式1：对任意实数a和6,有/+加22打，当且仅当a=6时等号成立；

22

②基本不等式2:对任意实数。和6,有与2疝，当且仅当“=6时等号成立；

2

2//a2+b2

③均值不等式：,a,beR+；(口诀：调几算平方)

ab

基本不等式/+822再使用的三个条件：一正二定三相等(和定积最大，积定和最

小)：

(1)一正：42都必须是正数

(2)二定：①在/+8为定值时，便可以知道的最大值；

②在N8为定值时，便可以知道N+3的最小值；

(3)三相等：当且仅当/=8时，等号成立

④柯西不等式：(/+〃)卜2+/)n(在+庆/)2；

公式变形M+bdM如+⑹仔+/),当且仅当〃=历(或二一7)时，等号成

立。

23

平面向量

一、向量的坐标表示及运算

1启■的几何标

①带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.用②

有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方

向.用字母…或用48,8。,…表示；

③向量五方的大小，也就是向量次的长度（或称模）,记作I益

④长度为零的向量叫做零向量（规定：零向量与任意向量平行）；

⑤长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

2.甲e向■■相售阚・

①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.注意：零向量与任意向

量平行.

②长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，与展长度相等方向相反的向量叫做：的

相反向量.

24

3.商■的和赫及xnmx

①已知非零向量a,B在平面内任取一点O,OA-a,AB^b,则向量。8叫做a与刃的

和，记作a+石，即。+石=。/+Z8=。8,这种求向量和的方法叫做向量加法的三角

形法则.

②以同一点O为起点的两个已知向量为邻边作平行四边形ABCD,则以O为起点的

对角线反就是a与］的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法

则.

③加法运算律：a+b=b+a(交换律)；(5+S)+；=a+(S+5)(结合律).

4.向量的减法及其几何意义

定义£-石=£+⑶,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量；

AB=a,AD=b,贝UAC=a+b,DB-a-b',

①定义：实数几与向量"的积是一个向量，记作力£,它的长度与方向规定如下:

kN=w忖；

25

②当4>0时,2。与Q的方向相同；当4Vo时,4。与Q的方向相反；当。二丽寸,

Aa=6；

③数乘运算律：设入〃是两个实数，贝心4加）=（刈2（结合律）；

（2+/j）a=Aa+/2a（第——分配律）；+b^=Aa+Ab（第二分配律）；

④向量共线定理：向量[与。（2/6）共线的充要条件是存在唯一一个实数"使

b=Xa；

6.肉■的坐标表示及皿

设。=（%,弘），3=贝!]:

@a+b=（xt+”]+%）;②"3=（%-巧，％一%），

_11

③%〃二（/!再,4%）；④“//bo』为=%2乂.

设,8（%2，、2）则:

①43二（马-石,歹2-％）；②|朗=J（%2-、1）2+（%-%）2.

二、向量的数量积

1.由两点间距离公式，可求得向量£的模：忖=&+必2；

2.对于两个非零向量4和B,如果以。为起点，作。｛=〃,

OB=b,那么射线CM,OB的夹角夕叫做向量Z与向量B的夹

26

角,g的取值范围是［0,句；当e=0时，表示向量a与向量b方向相同；当夕=万

时,表示向量々与向量B方向相反；

3.如果两个非零向量Z和b的夹角3（0V",那么把同.Wcose叫做向量£和石的

数量积，记作a%,即鼠否=同•同cos6；特别的，a-a=a,a-6=0;

4.向量数量积满足下列性质：

①/=/=同20,当ZG=o时,a=6；②

==@a-^）+c^=a-b+a-c

5.对于用坐标表示的向量0=（再,弘）3=（尤2）2），有°石=西/2+为%，即两个向量的

数量积等于它们对应坐标的乘积之和：

6.两个非零向量4和石垂直的充要条件是ad=o,即玉+必%=°；

7.两个非零向量。和B平行的充要条件是。=与，即xxy2-x2yt=0;

8.两个非零向量£和b的夹角公式cos。=%=,"匹+..

HW&+广4+为2

三、平面向量相关定理

1.平■由

-**—»

如果6，与是同一平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且

只有一对实数4,使£=4录+4易；我们把不平行的向量叫做这一平面内所

有向量的一组基.

27

平面内一组基底火，无，及任一向量而，OP^mOA+nOB,若点尸在直线42上或

在平行于42的直线上，贝！］,〃+〃=左（定值）反之也成立，我们把直线42以及与①直线

平行的直线成为等和线；

②当等和线恰为直线NB时，k=l；

③当等和线在点和直线之间时，Are（0,1）；

④当等和线在直线之外时，左e（l,+oo）；⑤当等和线过。点时，k=0；

⑥若两等和线关于O点对称，则定值及互为相反数；

⑦定值后的变化与等和线到。点的距离成正比.

三角函数

一、任意角与弧度制

（1）任意角：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形

28

(2)象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半

轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角

2.WM

(1)弧度制概念：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角

(2)角度制与弧度制的转换：万=180°

(3)扇形弧长面积公式：/=axr,S^-1-r

2

二、任意角的三角函数

如图，

在平面直角坐标系中,a是任意角，终边上任意一点尸(除原点)的坐标为(苍了)，它与原

点的距离为尸&=必衣>0),那么

口叫做a的正弦,记做sina,即sina=2；

rr

XY

—叫做a的余弦，记做cosa,即cosa=±;

rr

上叫做。的正切,记做tana,即tana=上；

xx

特别地,角。终边上与单位圆的交点坐标为(x,y),则

sina=y,cosa=x,tana=—

x

29

2.HA=AB*n*«^JK

(1)平方关系：sin2a+cos2tz=1,(sina±cosa)2=l±2sinacosa

(2)商数关系：tana=-------

coscr

"奇变偶不变，符号看象限"，说明：①先将诱导三角函数式中的角统一写作

n--±«；②无论有多大，一律视为锐角，判断〃•工土a所处的象限,并判断题设三

22

角函数在该象限的正负；③当〃为奇数是，"奇变"，正变余，余变正，〃当为偶数

时，"偶不变"函数名保持不变即可

44nlM辐

a井口角公式

sin(c+4)=sinacos/?+cosasin0

cos(c+4)=coscos/3-sinasin(3

史丹也

1-tanatan0

(2)差角公式

sin(c一4)=sinccos[3-cosasin[3

cos(a-/3)=cosacos4+sinasin(3

30

1+tanatan0

5.仲川瞄武

(1)二倍角公式

sin2。=2sinacosa

cosla-cos2a-sin2a-1cos2sin2a

-2tana

tan2a=-----------

1-tana

641M球

asina+bcosa=yja2+b2sin(a+0),tan0=2(a6w0),角。的终边过点

特殊地，若asinc+Z?cosc=，。2+〃或一J/+〃j则tana=—

a

三、三角函数图像性质

31

卜xwk兀+gkezj

定义域(-GO,+GO)(-00,+oo)

值域[-M][-1』(-00,+oo)

T=71

周期性T=?冗T=2TT

奇偶性奇函数偶函数奇函数

单调增区IR、7RJ1/7r

_,71_,711——+kjc»—+kyr\\kG2

2kji----.2kiiH—kG\2k?i-万,2左左](kwZ

L22_

间

单调减区无

…71,3%

2k冗H—,2k兀~\-----(k£[2人;r,2k兀+万](左£Z)

L22

间

对称轴x=kji+^(keZ)x=k兀｛keZ)无

上"+],()](左eZ)‘容0)(keZ)

对称中心(k7i,0)(kGZ)

四、解三角形

1.lEttn

~^—=L=^—=2R（其中火为三角形外接圆半径）

sinAsinBsinC

32

2.AMB

b1+c2-a2

cosZ二

2bc

a2+c2-b2

cosB=

2ac

a2+b2-c2

cosC=

lab

3.正余9m的交海

a_bc_a+b_a+b+c

(1)和比:

sinAsinBsinCsin力+sinBsin^4+sin5+sinC

(2)余弦定理变形:

Q2=/+。之—2bccos4

b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

4.三角形内角和H

(1)内角和定理：/+5+。=万

(2)和差角变形：sin/=sin(5+C),cos/=—cos(5+C)

33

立Ann何

简单几何体

一、多面体

■・体:在数学中，我们把由平面多边形（或三角形）围成的封闭体叫做多面体；构成

多面体的各平面多边形（或三角形）叫做多面体的面；其相邻多边形（或三角形）的

公共边叫做多面体的棱；棱与棱的交点叫做多面体的顶点.

如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都相互平

行，那么这个多面体叫做棱柱；

■体：底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形的棱柱

叫做平行六面体；

侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面都是矩形，直棱柱的高

与侧棱的长相等；

③正峥：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；

GHS体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体；

34

®E方体：所有棱长都相等的长方体叫做正方体.

2.««

如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个

多面体叫做棱锥；

①如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么

这个棱锥叫做正棱锥；正棱锥的各条侧棱长相等，各个侧面都是全等的等腰三角形，

正棱锥的高与其顶点到底面中心的距离相等；

曲西■体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.

3.«a

定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台.

4JE”体

定义：多面体的各个面都是全等的正多边形，且各个多面角都是全等的多面角；

■奥：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共五种.

35

二、旋转体

加期*:平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条r可

定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴.

①圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；②圆柱有两个相互平行的底面.

2.M

①圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；

②每条母线与轴的夹角都相等.

①点。到球面上任意点的距离都相等；

②球面上联结两点的最短路径，该路径的长度就是球面上两点之间的距离；

③联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两

点的球面距离；

④任意平面与球面的交线都是圆；

36

⑤我们规定，当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线

是小圆.

圆柱的表面积：S全=2S底+S侧=2〃/+2%4（h,尸分别为圆柱的高和底面半径）；

正锥体的表面积：S全=S底+S恻=S底（〃'，厂分别为斜高和底面周长）；

圆锥的表面积：S全=$底+$恻=乃/+）班'（〃'，r分别为母线的长和底面半径）；

球的表面积公式：S球=4”2（厂为球的半径）.

2g的

祖晅原理：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任

意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等；

棱柱的体积：％柱=5底x〃（〃为棱柱的高）；

37

圆柱的体积：愉柱=5底x%=乃/〃（〃为圆柱的局）；

棱锥的体积：“锥=；xS底x/z（介为棱锥的高），等底等高的棱锥体积相等；

圆锥的体积：联锥=：xS底x/zu；//%（〃为圆锥的高，厂为圆锥的底面半径）；

球的体积公式：喂（，一为球的半径）；

将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间距离问题

时，通常需要将空间几何图形展开转化为平面问题进行研究.

四、直观图与斜二测画法

1・二■■磕：规定按如图所示的位置和夹角作三条轴分别表示前后方向、左右方向

以及铅垂方向的轴，依次把它们叫做X轴、.1，轴和Z轴，规定在），轴和二轴方向上线段

的长度与其表示的真实长度相等，而在X轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度

的二分之一，根据这样的规定，从而画出空间图形的直观图；用这种方法画的空间图

形直观图叫做斜二轴测图，这样的画图方法简称"斜二测"画图法；

2.■■MIUTUttR：

①平行直线的直观图仍是平行直线；

②线段及其线段上定比分点的直观图保持原比例不变；

③直观图与原图的面积比为变.

4

38

3.空■几何体的皿・，用•二M院耒■,M■是：

①原图中与X轴，y轴，z轴两两垂直，交于点。；

②在画直观图时，画成对应的X'轴，/'轴，z'轴，交于点。，其中/轴与了之③间

的夹角Zx'O'y'为45°,它们确定的平面表示水平面；

④在原图形中与坐标轴平行的线段在直观图中仍与坐标轴平行；

⑤平行于无轴，z轴的线段平行长度不变，平行于了轴的线段长度减半.

空间直线与平面

一、平面及其相关性质

1.平■的■EMlt:平面具有"平”的特征，无厚度，无边界在空间延伸至无限；

平面可以用大写的英文字母或小写的希腊字母表示；

2里示点线■位UK的集»■：空间的直线和平面都可以看作点的集合，点与它

们的关系可以用集合的语言表示；例如点/在直线/上，或直线/经过点/，记作

点8不在直线/上，记作/£/；点/在平面a上，或平面a经过点/,记作

Nee;点8不在平面a上，记作8任々；如果直线/上的所有点都在平面口上，那么

称直线/在平面a上（或平面a经过直线/）,记作/ua.

39

B-B・

/以/XZ^/

3用大H

①公理1：如果直线/上有两个点在平面a上，那么直线/在平面a上；

公理1用集合语言表述如下：若/e/,8e/且/ear,Bea则，u“；

作用：判定直线在平面内的依据；判定点在平面内的方法.

②公理2：如果不同的两个平面a,夕有一个公共点/,那么a,夕的交集是过点力的

直线；

公理2用集合语言表述如下：若存在Zean/，则anp=/,且//；

作用：可用来确定两个平面相交的依据；判断或证明多点共线；判断或证明多线共

点；

③公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面；

作用：①给出了确定一个平面的依据；②证明点线共面；

推论1:一条直线和直线外的一点确定一个平面；

推论2：两条相交的直线确定一个平面；两条平行的直线确定一个平面；

④公理4：平行于同一直线的两条直线相互平行.

40

二、直线与直线的位置关系

①异面直线

如果空间的两条直线/一（既不平行，也不相交，这时不可能存在一个平面，使它既

经过直线4,又经过直线我们把不能置于同一平面的两条直线4,4叫做异面直

线；