2024-2025学年新教材高中数学第四章对数运算和对数函数4.3对数函数4.3.2对数函数y=log2x与y=logax的图像和性质一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE6第四章对数运算与对数函数§3对数函数课时2对数函数y=log2x与y=logax的图像和性质学问点1对数函数的奇偶性1.☉%6@￥3*54@%☉(2024·滁州一中高一月考)函数f(x)=log2(3x+3-x)是()。A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案：B解析：因为3x+3-x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R。又因为f(-x)=log2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)为偶函数。故选B。2.☉%*3153#￥@%☉(2024·银川一中月考)函数f(x)=lg1x2+1+xA.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案：A解析：f(x)的定义域为R,所以f(-x)+f(x)=lg1x2+1lg1(x所以f(x)为奇函数,故选A。3.☉%##163￥0@%☉(2024·邢台二中高一月考)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f12=0,则不等式f(log4x)<0的解集是。答案：x|解析：由题意可知-12<log4x<12,即log44-12<log4x<log44124.☉%88￥￥6@￥1%☉(2024·丰城中学月考)已知函数f(x)=loga(3+2x),g(x)=loga(3-2x)(a>0且a≠1)。(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;答案：解:要使函数f(x)-g(x)有意义,必需有3+2解得-32<x<3所以函数f(x)-g(x)的定义域是x|(2)推断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明;答案：由(1)知函数f(x)-g(x)的定义域关于原点对称。f(-x)-g(-x)=loga(3-2x)-loga(3+2x)=-[loga(3+2x)-loga(3-2x)]=-[f(x)-g(x)],所以函数f(x)-g(x)是奇函数。(3)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围。答案：f(x)-g(x)>0,即loga(3+2x)>loga(3-2x)。当a>1时,有3+2x>3-2当0<a<1时,有3+2x<3-2综上所述,当a>1时,x的取值范围是0,当0<a<1时,x的取值范围是-3学问点2对数函数的单调性5.☉%448￥@9@@%☉(2024·长治二中月考)若y=-3log(2a-3)x在(0,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为()。A.(0,1)B.(0,1)∪(1,+∞)C.32,2答案：D解析：由已知,得y=log(2a-3)x在(0,+∞)上是增函数,所以2a-3>1,解得a>2,故选D。6.☉%@1￥*0*56%☉(2024·南充一中高一月考)下列函数中,在(0,2)上为增函数的是()。A.y=log12(x+1)B.logC.y=log21xD.y=log12(x2答案：D解析：选项A,C中函数为减函数,(0,2)不是选项B中函数的定义域。选项D中,函数y=x2-4x+5在(0,2)上为减函数,又12<1,故y=log12(x2-4x+5)在(0,2)7.☉%￥*174##3%☉(2024·天津七中月考)函数f(x)=|log12x|的单调递增区间是(A.0,1C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案：D解析：f(x)的图像如图,由图像可知单调递增区间为[1,+∞)。故选D。8.☉%￥0#7#0@6%☉(2024·南阳一中月考)已知log12m<log12n<0,则A.n<m<1B.m<n<1C.1<m<nD.1<n<m答案：D解析：因为0<12<1,log12m<log12n<0,所以m>9.☉%2@4@73*@%☉(2024·日照一中高一月考)已知f(x)=loga(3-2ax)在[1,2]上是增函数,则实数a的取值范围是()。A.(0,1)B.0C.0,34答案：C解析：设u(x)=3-2ax,因为f(x)=loga(3-2ax)在[1,2]上是增函数,所以0<a<1,u(2)>0,即0<a<110.☉%9￥6*￥6#2%☉(2024·衡水中学月考)已知函数f(x)=lg|x|。(1)推断函数f(x)的奇偶性;答案：解:要使函数有意义,x的取值需满意|x|>0,解得x≠0,即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),所以f(-x)=f(x)。所以函数f(x)是偶函数。(2)画出函数f(x)的图像的草图;答案：解:由于函数f(x)是偶函数,则其图像关于y轴对称,将函数y=lgx的图像对称到y轴的左侧与函数y=lgx的图像合起来得函数f(x)的图像,如图。(3)利用定义证明函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数。答案：证明:设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=lg|x1|-lg|x2|=lg|x1|因为x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,所以|x1|>|x2|>0。所以x1x2>1。所以lg所以f(x1)>f(x2)。所以函数f(x)在(-∞,0)上是减函数。题型1对数函数中奇偶性、单调性的综合应用11.☉%9**@28*6%☉(2024·株洲醴陵一中高一期中)定义在R上的函数f(x)=ln(1+x2)+|x|,满意f(2x-1)>f(x+1),则x的取值范围是()。A.(2,+∞)∪(-∞,-1)B.(2,+∞)∪(-∞,1)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(2,+∞)∪(-∞,0)答案：D解析：因为f(x)=ln(1+x2)+|x|,所以f(-x)=ln(1+x2)+|-x|=ln(1+x2)+|x|=f(x),所以f(x)是偶函数。当x≥0时,f(x)=ln(1+x2)+x为增函数,则不等式f(2x-1)>f(x+1)等价于f(|2x-1|)>f(|x+1|),即|2x-1|>|x+1|,平方得(2x-1)2>(x+1)2,即x2-2x>0,结合图像得x>2或x<0。故选D。12.☉%10￥09@￥#%☉(2024·青岛二中高一期中考试)若函数f(x)=log13[(2a-1)|x|+3]a≠12的定义域为R,A.f(x)在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.f(x)在12D.f(x)在[0,+∞)上是减函数,在(-∞,0]上是增函数答案：D解析：由于底数13∈(0,1),所以函数f(x)的单调性与y=(2a-1)|x|+3的单调性相反。因为f(x)的定义域为R,所以(2a-1)|x|+3>0对于随意的实数x恒成立,所以2a-1>0,即a>12。又当a>12时,y=(2a-1)|x|+3在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,在(-∞,0]上是增函数,13.☉%@93#10@#%☉(2024·巴东一中期中)比较大小:log22log23。答案：>解析：因为函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且2>3,所以log22>log23。14.☉%#96*6￥0#%☉(2024·凉山州一中高一月考)假如函数f(x)=(3-a)x,g(x)=logax的增减性相同,则a的取值范围是。

答案：(1,2)解析：由题意,得0<3-a<1,015.☉%@@264*2￥%☉(2024·武汉二中月考)已知a=5-12,函数f(x)=ax,若实数m,n满意f(m)>f(n),则m,n的大小关系为答案：m<n解析：因为2<5<3,所以1<5-1<2,12<5所以f(x)=ax在R上是减函数。由f(m)>f(n),得m<n。16.☉%58##6*#0%☉(2024·张家口一中月考)已知f(x)=log12(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是答案：(-4,4]解析：二次函数y=x2-ax+3a的图像的对称轴为直线x=a2,由已知,可得a2≤2,且满意当x≥2时y=x2-ax+3a>0,所以a2≤2,题型2对数函数的值域与最值17.☉%@￥2@2@49%☉(2024·天津耀华中学高一检测)若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为()。A.14B.1答案：B解析：依题可知,a0+loga(0+1)+a1+loga(1+1)=a,整理得1+a+loga2=a,即loga2=-1,解得a=12。故选B18.☉%21￥￥￥53@%☉(2024·北京十一校联考自主招生)若函数f(x)=lg(x2-2ax+a)的值域是R,则a的取值范围是()。A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)答案：D解析：由题意得,二次函数y=x2-2ax+a有零点,因此Δ=4a2-4a≥0,解得a≤0或a≥1,故选D。19.☉%8@#88*7@%☉(2024·双流中学月考)函数y=logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值为。

答案：2或12解析：①当a>1时,函数y=logax在[2,4]上是增函数,所以loga4-loga2=1,即loga42=1,所以a=2②当0<a<1时,函数y=logax在[2,4]上是减函数,所以loga2-loga4=1,即loga24=1,所以a=1由①②知a=2或a=1220.☉%@84#￥17*%☉(2024·徐州第一中学高一期中)已知2x≤256且log2x≥12(1)求x的取值范围;答案：解:由2x≤256,得x≤8,由log2x≥12,得x≥2,故2≤x≤8(2)求函数f(x)=log2x2·log2x答案：由(1)得2≤x≤8,所以12≤log2x≤3又f(x)=log2x2·log2x4=(log2x-1)·(log2x-2)=log所以当log2x=32时,f(x)min=-14;当log2x=3时,f(x)max21.☉%5@#036##%☉(2024·荆州中学高一月考)已知a>0且满意不等式22a+1>25a-2。(1)求实数a的取值范围;答案：解:因为22a+1>25a-2,所以2a+1>5a-2,即3a<3,所以a<1,即0<a<1。