2025届高三数学一轮复习：解析几何中优化运算的方法 专项训练

2025年高考数学一轮复习-解析几何中优化运算的方法-专项训练

一、基本技能练

1.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30。的直线交C于A,3两点,

。为坐标原点，则△A03的面积为（)

A.4B.&

C奂

」32D4

2.已知椭圆C：a+丁=1的左、右顶点分别为Ai，A2,点尸在椭圆。上，且直线

必2的斜率的取值范围是[—2,-1],那么直线以1的斜率的取值范围是（）

「13]「33]

A.[],4B[g，]

Dy，i

3.已知斜率为左（左＞0）的直线I与抛物线C：y2=4x交于A,3两点，。为坐标原点,

航是线段A3的中点，尸是C的焦点，的面积等于3,则左=（）

1

A-4B.2

C,^D.平

72

4.椭圆■+]=1上的点到直线x+2厂啦=0的最大距离是（）

A.3B，VH

C.2也D.VTO

5.已知点A（0,一4），3（2,0）,点P为函数y=2护，图象上的一点，则|以|

十|P3|的最小值为（）

A.1+2小B.7

C.3D.不存在

6.已知椭圆「3+台=10＞。＞0）的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点R且斜率为

如:>0）的直线与：T相交于A,3两点，且酢=3彷，贝1]左=（）

A.lB.2

C.小D.y[2

7.抛物线产=2川3>0）的焦点为F,过焦点F且倾斜角为前勺直线与抛物线相交于

A,3两点，若依3|=8,则抛物线的方程为.

8.已知点pg,，为椭圆：弓十丁=1内一定点，经过点p引一条弦，使此弦被点

P平分，则此弦所在的直线方程为.

v2v2

9.已知双曲线”一7=1伍>°，人>0），过原点的直线与双曲线交于A,3两点，以线

段A3为直径的圆恰好过双曲线的右焦点R,若的面积为2a2,则双曲线的

离心率为.

%2丫2%2

10.已知双曲线Ci：石一月6>0）与。2：葭一筋=iQ>o,历>0）有相同的

渐近线，若C1的离心率为2,则C1的离心率为..

H.已知椭圆C：最+，=1（。9>0）,直线/：y=kx-\-a,直线/与椭圆C交于

N两点，与y轴交于点P,。为坐标原点.

（1）若左=1,且N为线段的中点，求椭圆C的离心率；

（2）若椭圆长轴的一个端点为0（2,0）,直线QM,QN与y轴分别交于A,3两点，

12.在平面直角坐标系xOy中，已知点八（一加7,0）,仍（，行，0）,点M满足IMAI

一|MB|=2.记M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

⑵设点T在直线x=T上，过T的两条直线分别交C于A,3两点和P,。两点，

^.\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

二'创新拓展练

13.（多选）已知斜率为小的直线/经过抛物线C：产=2内（/?>0）的焦点F与抛物线

C交于点A,3两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点。，若履3|=8,

则以下结论正确的是()

A,丽十丽=1B.\AF\=6

C.\BD\=2\BF\D.R为AD中点

14.已知A,3是抛物线y2=4x上的两点，R是焦点，直线AR,的倾斜角互补，

记AEA3的斜率分别为左1,左2,则看一看=.

15.已知P是圆C：(x—2)2+(y+2)2=l上一动点，过点尸作抛物线/=8y的两条

切线，切点分别为A,B,则直线A3斜率的最大值为.

16.已知点A为圆3：(x+2)2+y2=32上任意一点，定点C的坐标为(2,0),线段

AC的垂直平分线交AB于点M.

⑴求点M的轨迹方程；

⑵若动直线/与圆。：/+产=|相切，且与点〃的轨迹交于点石，F,求证：以

为直径的圆恒过坐标原点.

参考答案与解析

一'基本技能练

1.答案D

9

349

解析抛物线C：y2=3x中，2P=3,P=2f故SAOAB=2sjng=2sin30。=7

2.答案B

、b13

解析由周角定理得左Rh•鲂42=—»=—不

又左以21一2,-1],

_3

.,一a「33「

mi=e,

,,m2Ls4_-

3.答案B

解析设A3的中点Mxo，刈)，由中点弦的性质得左弋(yoWO).

2

由抛物线方程知p=2,所以左=云，另焦点网1,0),

又S&OFM=3,可知gxiXyo=3,

,21

所以泗=6,再代入左=正=1

72

4.解析设椭圆行+，=1上的点P(4cos0,2sinff),

则点P到直线x+2y—也=0的距离为

|4cos0+4sin夕-钧|,也++/一啦

4忑=诉，

所以九x=L也之理匚①,故选D.

V5

5.答案B

解析由>=2，1+/,得于一好=1(>>0).

2

设点4(0,小)，即点4(0,小)，A(0,一小)为双曲线:一/=1的上、下焦点.

由双曲线的定义得照|一照1=4,

则|B4|+|P3|=4+照1+|P3|N4+|54|=7,当且仅当3,P,4共线时取等号，故

选B.

6.答案D

解析依题意。=

20,2，

因为叁=3访,

A—1

所以设直线的倾斜角为则

4=3,a,e(2+1)cosa

得2=(3+1)cosa'lcosa|=3'

又k>0,/.ctG^O,舒，

得cosa=3，所以々=tanoc=-yj-2.

7.答案V=2x

解析凶司=羔=，^=8P=8,

sm《

.•.2=1,.,.抛物线的方程为f=2x.

8.答案2x+4v~3=0

解析直线与椭圆交于A,3,P为A3中点.

=

由kAB-koP_*得左ABX1=—g,

即kAB二一；,

则直线方程为丁一；=一|j，

即2x+4y—3=0.

9答案小

因为以A3为直径的圆恰好过双曲线的右焦点网c,0）,

jr

所以S^AF'F~S/\ABF~2^2且NFAF=N6=],

根据双曲线焦点三角形面积公式，得

C7

tan]

02

所以2/=〃，即添=2,

io.答案芈

解析设双曲线Cl,C2的半焦距分别为Cl,C2,

因为。的离心率为2,

所以G的渐近线方程为y=±*=士"MlTx=，/22一lx=±^x,

所以。2的渐近线方程为

尸土竟X=±V§X,

所以胃=小，

所以C2的离心率为“=、/^俯=半.

11.解（1）由题意知直线/：y=x+a与x轴交于点（一a,0）,

•••点/为椭圆C的左顶点，即M（—a,0）.

则e2=]=l—*=|,：.e=*,

即椭圆C的离心率6=坐.

(2)由题意得a=2,

・,•椭圆C：Z?2%2+4y2=4b2(b>0),

Z?2x2+4y2=4/?2,

联立<

y=kx~\~2,

消去y得(4左2+廿)%2+16日+16—4廿=0,

"』=16廿(4/+廿一4)>0,

,16k

<项+加=-而乔

16—4/

XM-XN=^+bl,

:直线QM：y=~^j:(x-2),

XM-Z

AA0

戌=(o,2yA/+2砧一4

2~XM,

・yM=kxM~\~2,

**yM―2=kxM,

2(k+1)XM

即戌=[0,

2~XM

2(左+1)

同理丽=0,

2~XN)

4(左+1)2XMXN

：.PARB==4—Z?2=l,

XMXN-2(XM+XN)+4

即/=3,

72

椭圆c的标准方程为a+5=1.

12.解⑴因为\-\MF2\=2<|FIF2|=2折，

所以点M的轨迹C是以B,g分别为左、右焦点的双曲线的右支.

设双曲线的方程为最一，=l(a>0,Z?>0),半焦距为c,则2a=2,c=#7,

得a=1,b2=c2—a2=16,

所以点M的轨迹C的方程为

X2一根=l(xNl).

(2)设壮，“，由题意可知直线A5,PQ的斜率均存在且不为零，设直线A3的方

程为y—t=ki[x—^\(ki^O'),直线PQ的方程为y—t=k\x—^\(k2^0'),

得（16—后jx2—2防[一,｝一（/一—16=0.

设A（XA,ya）,B（XB,

由题意知由一好W0,

2%）一切

"+油=16—储，

所以17Al="1+^2="1+好,A~2

则|四|TB|

=（1+好）£一习,5一习

=（1+后）XAXB-2（阳+%3）+（

=（1+后）土篁1」

_16—好2

2k^t~^\]（1+后）（＞+⑵

16-^?+4—后T6

（1+庇（?+12）

同理得ITPHT。尸

屈一16

因为17AHzB|=|7PHTQ,

（1+好）（户+12）（1+后）（户+12）

所以

后一16——16

所以好一16+后后一16后=后一16+后逐一16/a,

即好=及，

又左1W左2,所以匕=—左2,即左1+左2=0.

故直线A3的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

二、创新拓展练

13.答案BCD

解析法一如图，过点5作x=一?的垂线，垂足为朋,

堵，0）,直线/的斜率为小，

y2=2px,

得12%2—20px+3/72=0.

解得X4=当XB=g,

由|AB|=|AF|+|BF|=XA+XB+P=^=8,得p=3.

所以抛物线方程为y2=6x.

则|AF|=XA+3=2°=6,故B正确;

所以|3川=8—依网=2,

皿cos60°cos60°4，

：.\BD\=2\BF\,故C正确；

所以总网=储用=6,则R为AD中点，故D正确；

112

而丽+西=不故A错误，

法二设直线A3的倾斜角为仇

利用抛物线的焦点弦的性质，由|43|=濡^=8,则p=3,

回=1^=6,防=在%=2,

11__2_2

m+m=p=y

在9中，cos。=聘，所以|3D|=4,\DF\=\BF]+\BD\=6,因此歹为AD

中点.故选BCD.

14.答案1

解析F(l,0),设A(xi,yi),B(X2,竺)，

根据抛物线的对称性，且两直线的倾斜角互补，

所以(X2,—*)在直线AR上，

直线AF：y=ki(x—l),代入y2=4x,

化简可得好%2—(2好+4)x+好=0,

根据韦达定理，可得

[,2好+4

<XI十%2=启,

X1X2=19

"一yi2

2X2—XIX2—XIF+亚?

所以“xi-\-X2-\-2\[xix22好+4好+1'

一^一十2

故*+L

3

15.答案4

解析由题意可知，PA,PB的斜率都存在，分别设为左,左2,切点A(xi,yi),

3(x2,yi),

设P(机，ri),过点尸的抛物线的切线为

y=k(x-rri)-\-n,

y=k(%—m)+n,

联立

y=8j,

得x2—8Ax+8^m—8n=0,

因为』=64标一32加+32〃=0,

即2A2—阪+〃=0,

所以依+左2=5，Mk2=今

又由x2=8y得y=本

Y?

所以》=4%,yi=w=2后,

X2=4fe,、2=W=2矽，

"一V2后一2后ki+k\m

所以kAB=

X2~X14比一4%—2不

因为点P(m,")满足(%—2)2+(y+2)2=1,

1m3

此