2025版新教材高考数学复习：计数原理概率

考点过关检测18计数原理、概率

一、单项选择题

1.[2024•新高考I卷]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质

的概率为（）

11

--

Aa.6B.3

D.

12

2-3-

2.[2024•新高考H卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参与文艺汇演，若甲不

站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种

C.36种D.48种

3.某铅笔工厂有甲，乙两个车间，甲车间的产量是乙车间产量的1.5倍，现在客户定

制生产同一种铅笔产品，由甲，乙两个车间负责生产，甲车间产品的次品率为10%,乙车间

的产品次品率为5%,现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为（）

A.0.08B.0.06

C.0.04D.0.02

4.[2024•北京卷]若（2x—I）4=ax4+ax3+axz+ax+a,则a+a+a=（）

43210024

A.40B.41

C.-40D.-41

5.[2024•新高考I卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个

场馆，甲场馆支配1名，乙场馆支配2名，丙场馆支配3名，则不同的支配方法共有（）

A.120种B.90种

C.60种D.30种

6.[2024•新高考I卷]有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放

回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事务”第一次取出的球的数字是1"，乙表示事务

“其次次取出的球的数字是2”，丙表示事务“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事

务”两次取出的球的数字之和是7"，贝|（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

7.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格

的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为白，

现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08,则甲厂生产该芯片的次

品率为()

8.[2024•全国乙卷]某棋手与甲、乙、丙三位棋手各竞赛一盘，各盘竞赛结果相互独

立.已知该棋手与甲、乙、丙竞赛获胜的概率分别为巴，旦，且pJpJpJO.记该棋手连

胜两盘的概率为P,贝1()

A.p与该棋手和甲、乙、丙的竞赛次序无关

B.该棋手在其次盘与甲竞赛，p最大

C.该棋手在其次盘与乙竞赛，p最大

D.该棋手在其次盘与丙竞赛，p最大

二、多项选择题

9.下列结论正确的是()

A.若A,B互为对立事务,P(A)=1,则P(B)=O

B.若事务A,B,C两两互斥，则事务A与BUC互斥

C.若事务A与B对立，则P(AUB)=1

D.若事务A与B互斥，则它们的对立事务也互斥

2

10.[2024•山东济南模拟](x+-"的绽开式中，下列结论正确的是()

x

A.绽开式共6项

B.常数项为64

C.全部项的系数之和为729

D.全部项的二项式系数之和为64

11.[2024•河北石家庄二中模拟]投掷一枚质地匀称的股子，事务A="朝上一面点数

为奇数”，事务B="朝上一面点数不超过2”，则下列叙述正确的是()

A.事务A,B互斥

B.事务A,B相互独立

5

C.P(AUB)=-

6

D.P(B|A)=|

［答题区］

题号123456

2

答案

题号7891011

答案

三、填空题

12.[2024•全国乙卷]从甲、乙等5名同学中随机选3名参与社区服务工作，则甲、乙

都入选的概率为.

13.[2024•新高考I卷][1—J(x+y)s的绽开式中xw的系数为—(用数字作

答).

14.某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，

欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人

中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是—；至少

有一名是女志愿者的概率为.

四、解答题

15.为了让羽毛球运动在世界范围内更好的发展，世界羽联将每年的7月5日定为“世

界羽毛球日”.在今年的“世界羽毛球日”里，某主办方准备举办有关羽毛球的学问竞答竞

赛.竞赛规则如下：竞赛一共进行4轮，每轮回答1道题.第1轮奖金为100元，第2轮奖

金为200元，第3轮奖金为300元，第4轮奖金为400元.每一轮答对则可以拿走该轮奖金,

答错则失去该轮奖金，奖金采纳累计制，即参赛者最高可以拿到1000元奖金.若累计答错

2题，则竞赛结束且参赛者奖金清零.此外，参赛者在每一轮结束后都可主动选择停止作答、

结束竞赛并拿走已累计获得的全部奖金，小陈同学去参与竞赛，每一轮答对题目的概率都是

|,并且小陈同学在没有损失奖金风险时会始终选择接着作答，在有损失奖金风险时选择接

着作答的可能性为T.

(1)求小陈同学前3轮竞赛答对至少2题的概率；

(2)求小陈同学用参与竞赛获得的奖金能够购买一只价值499元的羽毛球拍的概率.

3

16.[2024•新高考I卷]一医疗团队为探讨某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习

惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例

(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为比照组)，得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

比照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事务”选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事务

“选到的人患有该疾病”，福受与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的

一项度量指标，记该指标为R.

(i)证明：R=,；

(ii)利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估

计值.

叫_n(ad-be)?

•K?(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P（K2》k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

4

考点过关检测18计数原理、概率

1.答案：D

解析：方法一从2,3,4,5,6,7,8中随机取2个不同的数有C?=21(种)结果，

7

其中这2个数互质的结果有(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),

14

(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8),共14种，所以所求概率为可

2

=§.故选D.

方法二从2,3,4,5,6,7,8中随机取2个不同的数有C2=21(种)结果，其中这

7

2个数不互质的结果有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7

21—72

种，所以所求概率为丁=百.故选D.

2.答案：B

解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有&AsCi=

232

24(种)不同的排列方式.故选B.

3.答案：A

解析：从这种铅笔中任取一件抽到甲的概率为0.6,抽到乙的概率是0.4,抽到甲车间

次品的概率P=0.6X0.1=0.06,抽到乙车间次品的概率P=0.4X0.05=0.02,任取一件

12

抽到次品的概率P=P+P=0.06+0.02=0.08.故选A.

12

4.答案：B

解析：方法一'当X—1时，l=a+a+a+a+a①；当x——1时，81—a-a+a

43210432

[-1-^1

—a+a②.(①+②)4-2,得a+a+a---41.故选B.

104202

方法二由二项式定理可得(2x—l)4=C。(2x”・(2X)3(-1)I+C2(2X)2(一

444

1)2+C3(2x),(—1)3+C4(2x)o(—1)4=16x4—32x3+24x2—8x+l,所以a=16,a=24,

4442

a=1,所以a+a+a=41.故选B.

0024

5.答案：C

解析：ClC2C3=60.故选C.

653

6.答案：B

ii561

解析：P(甲)=£,P(乙)=公，P(丙)=宗，P(丁)=正=7,

6o36366

P(甲丙)=0WP(甲)P(丙)，P(甲丁)=白=P(甲)P(T),

P(乙丙)=3WP(乙)P(丙)，P(丙丁)=0WP(丙)P(丁).故选B.

5

7.答案：B

解析：设A,A分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为

12

次品，甲厂生产该芯片的次品率为P,

12321

则P(A)=而=-,P(A9)=-,P(B|A)=p,P(BjA9)=—,

391

则由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=£Xp+-X—=0.08,解得p

ii225520

='.故选B.

8.答案：D

解析：设其次盘与甲竞赛，则p甲=22尹](1—P3)+(1—pjp^]=2P](P,+P3-2P2P3).

设其次盘与乙竞赛，则p.=2[p9pi(l—p3)+(1—P[)p.P3]=2po(p^p^2ptp3).设其次盘与丙

竞赛，则P丙=2[p3P](l—P.)+(l-p)p2P31=2P3(PJ+P.—2Plp).p¥—p.=2P3(PI—p9)<0,p

P=2p(p—p)<0,p—p=2p(p—p)<0,故p/p_>p用故选D.

甲丙213乙丙123丙乙甲.

9.答案：ABC

解析：若A,B互为对立事务，P(A)=1,则A为必定事务，故B为不行能事务，则P(B)

=0,故A正确；若事务A,B,C两两互斥，则事务A,B,C不能同时发生，则事务A与BUC

也不行能同时发生，则事务A与BUC互斥，故B正确；若事务A与B对立，则P(AUB)=

P(A)+P(B)=1,故C正确；若事务A,B互斥但不对立，则它们的对立事务不互斥，故D

错误.故选ABC.

10.答案：CD

299

解析：(x+-)6绽开式的总项数是7,A不正确；(x+-)6绽开式的常数项为C3X6-3(-)3

XX6X

2

=160,B不正确；取x=l得(x+-/绽开式的全部项的系数之和为36=729,C正确；由二

x

2

项式系数的性质得(x+-%绽开式的全部项的二项式系数之和为26=64,D正确.故选CD.

x

11.答案：BD

解析：对于A,若朝上一面的点数为1,则事务A,B同时发生，二事务A,B不互斥，A

错误；对于B,•.•事务A不影响事务B的发生，，事务A,B相互独立，B正确；对于C,P(AUB)

3919I31

=P(A)+P(B)-P(AAB)=-+---=-,C错误；对于D,•；P(AB)=A,P(A)=-=-,

bbo3002

1

.,.P(B|A)=；(手，=9=〈,D正确.故选BD.

r\A71o

2

6

3

12.答案：—

解析：从5名同学中随机选3名参与社区服务工作，共有。=10(种)选法，甲、乙都

5

入选有O=3(种)选法.依据古典概型的概率计算公式，甲、乙都入选的概率p=77；.

310

13.答案：-28

解析：(1—1)(x+y)8=(x+y)8-1(x+y)8,由二项式定理可知其绽开式中X2y6的系

数为C6—C5=-28.

88

…231

14.答案：——

1735

解析：记全是男志愿者为事务A,至少有一名男志愿者为事务B,则P(AB)=P(A)="

C3

4

434pG

---352

--AB)-一

35P(,记至少有一名是女志愿者

35B)34

一

35

为事务C,则事务C与事务A互为对立事务，则P(c)=l—P(A)=嬴.

35

15.解析：(1)记“小陈同学前3轮竞赛答对至少2题”为事务A,第1轮答错时没有

损失奖金风险，故前2轮必答；前3轮竞赛答对至少2题包含两种状况：前2轮全对或前2

轮1对1错且小陈同学选择参与第三轮作答且答对，

11115

XX1\XX-

故p(A)=q)z+c；3-3-72-3-

27

(2)记小陈同学参与竞赛获得的奖金为X(单位：元)，

在有损失奖金风险时：小陈同学选择接着作答且答对的可能性为I,选择接着作答且答

6

错的可能性为;，选择停止作答的可能性为:，

21111

XXX-

P(X=5006-2-

54

--

P(X=600)+P3(X=3l000)=*)3=­,

/、J、211

P(X=700)=([)2X-X-=—,

33681

12112111

P(X=800)=1X-X(-)=—,p(x=900)=fX-X(-)2=—,故P(X2499)

3362162336loz

7

「二―一

54J27J81162162162,

”।阻士200X(40X90-60X10)2

16.解析：(1)由题意，得廉=―…""八—=24>6.635,

1.UU1UU/X3UkDU

有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

P(B|A)

(2)(i)证明：(Bf•p（1JT）

P(B|A)P(B|A)p(B|T)

P(TIT）

P(TT)