浙江省稽阳联谊学校2025届高三数学下学期5月联考试题含解析

PAGE22-浙江省稽阳联谊学校2025届高三数学下学期5月联考试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1.已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，0，1}，B＝{﹣1，0}，则＝（）A.{﹣2，﹣1，1，2} B.{2} C.{1，2} D.{0}【答案】B【解析】【分析】依据并集和补集的定义，计算即可.【详解】由A＝{﹣2，0，1}，B＝{﹣1，0}，所以A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}；又全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，所以＝{2}.故选：B.【点睛】本题考查了并集和补集运算，属于简洁题.2.已知为虚数单位，其中，则该复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数运算法则得，由共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意得，∴.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算与共轭复数的求解，属于基础题.3.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知该几何体为圆柱挖去一个圆锥，底面半径均为2，高为4，再由圆柱体积减去圆锥体积求解.【详解】由三视图还原几何体如图，该几何体为圆柱挖去一个圆锥，底面半径均为2，高为4.则该几何体的体积V.故选：A.【点睛】本题考查了依据三视图求体积，还原几何体是解题的关键，意在考查学生的计算实力和空间想象实力.4.若实数x，y满意约束条件，则z＝3x﹣2y的最大值是（）A.0 B.2 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为，平移直线，数形结合求解即可.详解】由题意作出可行域，如图：由，解得，目标函数z＝3x﹣2y可转化为，平移直线，数形结合可得当直线经过B时，z取得最大值，此时.故选：D.【点睛】本题考查了简洁的线性规划，属于基础题.5.已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示，则函数h(x)＝loga(﹣x+b)图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由一次函数的图象得0＜a＜1，﹣1＜b＜0，结合对数函数的单调性可解除B、C，结合h(0)无意义可解除A，即可得解.【详解】由函数f(x)＝ax+b的图象可知，0＜a＜1，﹣1＜b＜0，所以函数y＝logax单调递减，所以函数h(x)＝loga(﹣x+b)单调递增，故解除B、C；因为﹣1＜b＜0，所以h(0)＝logab无意义，可解除A.故选：D.【点睛】本题考查了对数函数图象的识别，考查了对数函数性质的应用，属于基础题.6.设a＞0，b＞0，则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】a+b≥2可知，而，可得a2+b2≥2.反之不成立，可以通过举反例说明.【详解】∵a+b≥2所以，又因为，∴a2+b2≥2.，故充分.反之不成立，例如a，b＝0.，故不必要.∴“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查逻辑条件的推断，还考查了运算求解的实力，属于基础题.7.设0＜a，随机变量X的分布列为：X﹣2﹣112Paa则当a在增大时，（）A.D（X）增大 B.D（X）减小C.D（X）先增大后减小 D.D（X）先减小后增大【答案】C【解析】【分析】依据公式D（X）＝E（X2）﹣（EX）2求出方差，结合二次函数的单调性即可得出结论.【详解】由题意可得，随机变量X的数学期望，随机变量X2的数学期望3，∴随机变量X的方差D（X）＝E（X2）﹣（EX）2，∴当a在增大时，D（X）先增大后减小，故选：C.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差以及二次函数的性质，还考查了运算求解的实力，属于中档题.8.已知椭圆C：1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的左右焦点，过F2的直线交椭圆与A、B两点，∠AF1B＝90°，2，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的关系可得线段的关系，设|F2A|＝3x，则|F2B|＝2x，由椭圆的定义可得|F1A|＝2a﹣3x，|F1B|＝2a﹣2x，再由∠AF1B＝90°，由勾股定理可得x的值，进而求出|AF1|，|AB|的值，进而求出∠F1AB的余弦值，由半角公式求出sin，进而求出离心率.【详解】如图所示：因为2，设|F2A|＝3x，|F2B|＝2x，|所以F1A|＝2a﹣3x，|F1B|＝2a﹣2x，因为∠AF1B＝90°，所以（5x）2＝（2a﹣3x）2+（2a﹣2x）2，解得，则|F2A|＝a，|AB|，|F1B|a，|F1A|＝a，所以可得A为短轴的顶点，在△ABF1中，cos∠F1AB，所以sin，则.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，焦点三角形以及离心率的求法，还考查了运算求解的实力，属于中档题.9.如图，△ABC中，AB⊥BC，∠ACB＝60°，D为AC中点，△ABD沿BD翻折过程中，直线AB与直线BC所成的最大角、最小角分别记为α1，β1，直线AD与直线BC所成最大角、最小角分别记为α2，β2，则有（）A.α1＜α2，β1≤β2 B.α1＜α2，β1＞β2C.α1≥α2，β1≤β2 D.α1≥α2，β1＞β2【答案】D【解析】【分析】翻折到180°时，AB，BC所成角最小，β1＝30°，AD，BC所成角最小，β2＝0°，翻折0°时，AB，BC所成角最大，可知α1＝90°，翻折过程中，可知AD的投影可与BC垂直，从而AD，BC所成最大角α2＝90°，推导出α1＝90°，β1＝30°，α2＝90°，β2＝0°.【详解】翻折到180°时，AB，BC所成角最小，可知β1＝30°，，AD，BC所成角最小，β2＝0°，翻折0°时，AB，BC所成角最大，可知α1＝90°，翻折过程中，可知AD的投影可与BC垂直，所以AD，BC所成最大角α2＝90°，所以α1＝90°，β1＝30°，α2＝90°，β2＝0°.故α1≥α2，β1＞β2.故选：D.【点睛】本题主要考查翻折问题，直线与直线的位置关系，还考查了空间想象，逻辑推理的实力，属于中档题.10.已知数列{an}满意，an+1＝an+1，a1＝a，则肯定存在a，使数列中（）A.存在n∈N*，有an+1an+2＜0B.存在n∈N*，有（an+1﹣1）（an+2﹣1）＜0C.存在n∈N*，有D.存在n∈N*，有【答案】C【解析】【分析】由函数与y＝x有两个交点（0，0），（1，1），对a分类推断A，B错误；由a1＞1时，a2肯定小于，则之后均小于，推断D错误；举例说明C正确.【详解】因为an+1＝an+1，所以在函数图象上，因为与y＝x有两个交点（0，0），（1，1），如图所示：可知当a1＜0时，数列递减，∴an＜0；当0＜a1＜1时，数列递增，并且an趋向1；当a1＞1时，数列递减，并且an趋向1，则可知A，B错误；又当x＞1时，，则当a1＞1时，a2肯定小于，则之后均小于，∴D错误；对于C，可取，得，，所以，满意要求.故选：C.【点睛】本题主要考查数列递推式的应用，数列的函数特性，还考查了推理论证的实力，属于难题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.双曲线的焦距是__________；渐近线方程是__________．【答案】(1).4(2).【解析】，所以焦距为，令，解得渐近线方程为.12.已知角α的终边过点（﹣1，2），则tanα＝______，sin2α＝_______.【答案】(1).﹣2(2).【解析】【分析】由题意利用随意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，得出结论.【详解】解：由定义知tanα＝﹣2，，则，故答案为：﹣2；.【点睛】本题考查了随意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.13.绽开式中常数项是_______，最大的系数是_____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由题意利用二项定理绽开式的通项公式求得绽开式中常数项，从而代入检验得到系数最大的项.【详解】依据二项定理绽开式的通项公式可得，令，求得，可得常数项为，绽开式中各项的系数为，，，，，；因而系数最大的项是的系数，最大为，故答案为：；.【点睛】本题考查了二项定理绽开式通项的应用，最大项系数的求法，属于基础题.14.已知△ABC中，AB＝3，BC＝5，D为线段AC上一点，AB⊥BD，，则AC＝_____，△ABC的面积是_____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由题意设AD＝3x，CD＝4x，在△ABC中，由余弦定理可求x的值，可求AC的值，进而可求sinA，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】设AD＝3x，CD＝4x，在△ABC中，由余弦定理可知，可知，可得：，可得：，可得：S△ABCbcsinA.故答案为：；.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.15.已知函数f（x）＝x2+2x+a（a＜0），若函数y＝f（f（x））有三个零点，则a＝______.【答案】【解析】【分析】令，由，可得，再依据有三个零点，结合的图象得到，解方程得到的值.【详解】解：令，由可知，，∵，有三个零点，∴有三解，由图象的图象，可知有两个解，有一个解，则，∴.故答案为：.【点睛】本题考查函数零点个数的应用,考查换元法在解一元二次方程中的应用,考查数学结合的实力,属于难题.16.某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参与A、B、C三个志愿点的活动.每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一活动点，高三学生不去A活动点，则不同的支配方法有_____种.（用数字作答）【答案】40【解析】【分析】以高三学生是否单独去志援点分为两类，每一类中先支配高三学生，再支配高一、高二学生，由乘法原理算出两类支配方法，相加即可.【详解】若高三学生单独去志愿点，则有种，若高三学生与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点思路，有32种，则共有种支配方法.故答案为：40.【点睛】本题考查分类计数原理的运用，以高三学生是否单独去志愿点确定分类的方法，再逐级支配，考查乘法原理，属于中档题.17.如图，已知矩形ABCD中，AD＝1，AB，E为边AB的中点，P为边DC上的动点（不包括端点），（0＜λ＜1），设线段AP与DE的交点为G，则的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】由图可得△AGE与△PGD相像，可得，表示出（1+2λ2），换元，构造函数，利用不等式即可得到答案【详解】因△AGE与△PGD相像，所以，则，令，则（t）﹣11，当且仅当，即取到.故答案为：.【点睛】本题主要考查平面对量数量积的运算，考查数形结合思想，三角形相像的性质等，属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数.（1）求函数f（x）的周期与的值；（2）若，求函数的取值范围.【答案】（1）2π，；（2）【解析】【分析】（1）先结合正弦的两角和公式与协助角公式将函数化简为正弦型函数，于是可得周期，再把x代入运算即可得解；（2）先结合正弦函数的图象与性质算出函数的值域，进而得的值域.【详解】（1），∴函数的周期为2π，.（2）∵，∴，∴，于是.【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简，正弦型函数的最小正周期以及值域问题，将函数化为形式是解题的关键，属于基础题.19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为等边三角形，AB＝ADCD＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠PDC＝60°，E为BC的中点.（1）证明：AD⊥PE.（2）求直线PA与平面PDE所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）60°【解析】【分析】（1）取AD的中点O，连结PO，EO，通过PO⊥AD，EO⊥AD，推出AD⊥面PEO，即可证明AD⊥PE；（2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，连HQ，求出平面PDE的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线PA与平面PDE所成角.【详解】（1）证明：取AD的中点O，连结PO，EO，由PO⊥AD，EO⊥AD，PO∩EO＝O可知：AD⊥面PEO，且PE⊂面PEO，则AD⊥PE.（2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，作PQ⊥CD，PH⊥OE，连HQ，因PH⊥平面ABCD，知HQ⊥CD，由∠PDC＝60°知DQ＝1，OH＝DQ＝1，由，在Rt△PHO中，可知，则，A（0，﹣1，0），D（0，1，0），E（3，0，0），则，设平面PDE的一个法向量为，则，令，得设直线PA与平面PDE所成角为θ，则，则直线PA与平面PDE所成角为60°.【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，空间向量的应用之求线面角，属于中档题.20.已知数列{an}满意，an+2＝3an+1﹣2an，a1＝1，a2＝3，记bn，Sn为数列{bn}的前n项和.（1）求证：{an+1﹣an}为等比数列，并求an；（2）求证：Sn.【答案】（1）证明见解析；an＝2n﹣1，n∈N*；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)将题干中递推公式进行转化可得，从而可证得数列{an+1﹣an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则有，n∈N*.然后依据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列{an}的通项公式；(2)先依据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用数学归纳法证明不等式成立，留意在详细证明过程中运用分析法证明根式不等式成立，综合即可证得不等式成立.【详解】证明：（1）依题意，由an+2＝3an+1﹣2an，可得：，∵a2﹣a1＝3﹣1＝2，∴数列{an+1﹣an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*.故a1＝1，a2﹣a1＝21，a3﹣a2＝22，…an﹣an﹣1＝2n﹣1，各项相加，可得an＝1+21+22+…+2n﹣12n﹣1，n∈N*.（2）由（1）知，bn，下面用数学归纳法证明不等式成立，①当n＝1时，S1＝b1，∵右边，要证明：，只要证明：2，两边平方，可得，化简整理，得27，∵（2）2＝40＜72＝49，∴成立，即当n＝1时，不等式成立.②假设当n＝k时，不等式成立，即Sk，则当n＝k+1时，，要证明：Sk+1，只要证明：，，化简，得，两边平方，可得（）2≤（）2，化简整理，得3k+7，两边平方，可得（3k+4）（3k+10）≤（3k+7）2，化简整理，得9k2+42k+40≤9k2+42k+49，∵40＜49，∴9k2+42k+40≤9k2+42k+49成立，∴成立，即：Sk+1成立，∴当n＝k+1时，不等式也成立.综上所述，可得对n∈N*成立，故得证.【点睛】本题考查递推法证明等比数列，考查数学归纳法、分析法在证明数列不等式中的应用，属于中档题.21.已知抛物线上的点到焦点的距离为.（1）求的值；（2）如上图，已知动线段（在的右边）在直线上，且，现过作的切线，取左边的切点，过作的切线，取右边的切点为，当，求点的横坐标的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出抛物线的准线