专题4.1三角函数的概念及诱导公式-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第四章三角函数、解三角形专题4.1三角函数的概念及诱导公式，并能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．34.掌握诱导公式，并会简单应用．考点一三角函数的概念考点二同角三角函数关系式考点三三角函数的诱导公式知识梳理1．角的概念(1)定义：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式α＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝αr扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr23．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．1．象限角2．轴线角4．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).5．三角函数的诱导公式公式角正弦余弦正切口诀①2kπ＋α(k∈Z)sinαcosαtanα奇变偶不变，符号看象限②－α－sinαcosα－tanα③π－αsinα－cosα－tanα④π＋α－sinα－cosαtanα⑤eq\f(π,2)－αcosαsinα⑥eq\f(π,2)＋αcosα－sinα⑦eq\f(3,2)π＋αsinα－cosα⑧eq\f(3,2)π－α－sinα－cosα常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.第一部分核心典例题型一三角函数的概念1．已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令扇形的半径为，则，所以此扇形的面积为.故选：D2．若角的终边上有一点，且，则（

）A．4 B． C．1 D．【答案】C【详解】由已知，得，解得.因为，所以，则.故选：C3．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由时，可知，，即，故选：A4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，.故选：D.5．在没有其他因素影响时，飞机的航线往往选取的是两地之间的最短距离．设地球为一半径为R的球体，一架飞机将从A地东经飞至B地东经，且A，B两地纬度都为．若飞机始终在地球球面上运动，则该飞机飞行的最短路程为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，A，B两地对于地球球心所成的角，所以该飞机飞行的最短路程为.故选：C题型二同角三角函数关系式6．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，而，所以.故选：D7．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】若，则，不合题意，所以，由，可得，解得，所以.故选：C.8．若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以；因为，所以，解得；因为，所以，所以.故选：A.9．已知，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【详解】由题知，，则.故选：C.10．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，可得，可得，所以.故选：A.题型三三角函数的诱导公式11．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，故选：C12．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，故选：C.13．直线的倾斜角是，则的值是（

）A． B． C． D．1【答案】C【详解】由直线，可得直线的斜率为，所以，又由.故选：C.14．已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】

又因为，，，故原式=;又过定点,所以，代入原式得原式=.故选：.15．已知是第四象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，解得或．因为是第四象限角，所以，故．故选：D.第二部分课堂达标一、单选题1．下列说法中正确的是（

）A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角【答案】A【详解】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确；选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误；选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误.故选：A2．等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，故选：D.3．我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周四步，径四步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长4步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（

）A．8平方步 B．6平方步 C．4平方步 D．16平方步【答案】C【详解】依题意，扇形的田的弧长4步，其所在圆的半径是2步，所以这块田的面积是（平方步）.故选：C4．已知，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，又，所以.故选：C5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：.故选：B.6．已知角终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为角终边经过点，所以，所以，解得.故选：C7．设，则它们的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，，在上为增函数，，.故选：C.8．已知均是锐角，已知，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为均是锐角，，则，，又，所以.故选：D二、多选题9．下列选项正确的是（

）A．B．C．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为D．若终边上有一点，则【答案】BC【详解】对于A，由诱导公式可知，即A错误；对于B，由弧度值与角度制互化可得，即B正确；对于C，易知扇形半径为，所以扇形面积为，即C正确；对于D，若终边上有一点，利用三角函数定义可知，所以D错误.故选：BC10．已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】AB选项，两边平方得，，即，所以，B正确，因为，所以，故，所以，A正确；CD选项，，因为，，所以，故，C错误，D正确.故选：ABD三、填空题11．已知，则．【答案】/【详解】由于，所以.故答案为：12．计算：．【答案】/【详解】.故答案为：四、解答题13．化简：．【答案】【详解】原式．14．已知，求的值．【答案】