不定积分的换元积分法与分部积分法

复习引入(Introduction)在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”给出了“基本积分公式表”。但是，对于形如这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。为此，……9/8/20241第三节换元积分法与分部积分法

第四章一、换元积分法二、分部积分法三、小结与思考题9/8/20242设可导,则有基本思路

9/8/20243一、第一类换元积分法定理1

则有换元公式(也称配元法,凑微分法)9/8/20244解

9/8/20245解

所以9/8/20246解

9/8/20247例4

求答案：例5

求例6

求答案：例7

求答案:例8

求答案：或9/8/20248答案：

答案：

答案：

答案：

答案：

自学课本例149/8/20249对于形如高等数学第三章第二节

07-22m、n都为偶数时，用倍角公式降低幂次.9/8/202410例求积分高等数学第三章第二节

07-189/8/202411例8

求答案：或9/8/202412例求积分高等数学第三章第二节

07-129/8/202413例求积分高等数学第三章第二节

07-169/8/202414例求积分同理高等数学第三章第二节

07-279/8/202415几种常见的凑微分类型：高等数学第三章第二节

07-289/8/202416高等数学第三章第二节

07-299/8/202417高等数学第三章第二节

07-299/8/202418思考与练习1.

若提示:9/8/202419例求积分高等数学第三章第二节

07-249/8/202420二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则用第二类换元积分法

.难求，9/8/2024211.根号里是一次式，令整个根号为t2.根号里是二次式，令适当的三角变换第二换元的目的是化去根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令高等数学第三章第二节

08-089/8/202422例求积分高等数学第三章第二节

08-06－根式代换法：9/8/202423求积分高等数学第三章第二节

07-149/8/202424二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则用第二类换元积分法

.难求，9/8/202425是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式定理2设9/8/2024261.根号里是一次式，令整个根号为t2.根号里是二次式，令适当的三角变换第二换元的目的是化去根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令高等数学第三章第二节

08-089/8/202427解:

令则∴原式例14求9/8/202428解:

令则∴原式例15求9/8/202429解:令则∴原式例16求9/8/202430或从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：可作代换可作代换可作代换9/8/202431解

于是9/8/202432

常用基本积分公式的补充

9/8/2024339/8/202434新知识引入(Introduction)前面，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法”

。但是，对于形如的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.

注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.

函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，9/8/202435积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由导数乘法公式：9/8/202436第四章（IntegrationbyParts）例18

求解:

令则∴原式另解:令则∴原式三、分部积分法答案9/8/202437解

原式解

.9/8/202438解:

令则原式=例22求9/8/202439解

9/8/202440解:

令则∴原式例24求9/8/202441解:

令,则∴原式再令,则故原式=说明:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.例25

求自学课本例26、289/8/202442解:

令则原式令例26求9/8/202443把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂三指”

的顺序,前者为后者为例5（补充题）求解:

令,则原式=反:反三角函数对:

对数函数幂:

幂函数指:

指数函数三:

三角函数解题技巧:（自学课本例5～6）9/8/202444解:

令,则原式=例6（补充题）求9/8/202445本节小结2.分部积分公式(1)使用原则:易求出,易积分(2)使用经验:“反对幂三指”

,前u

后(3)题目类型:分部化简;循环解出;递推公式1.换元积分法9/8/202446课后练习习题4-32单数;3单数思考与练习1.

下列各题求积方法有何不同?9/8/2024472.

下列积分应如何换元才使积分简便?令令令9/8/2