2024年中考数学一轮复习提高讲义：整式的乘除

整式的乘除

知识梳理

1.同底数幕的运算

(1)乘法:am-an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=db11(其中m,n都是正整数).

注意事项：

①am+n区别加法殴1+a114产+n(如23+22=1232=25);

②区分一am,峻与((—a)”•a”一个是积的符号，另一个是底数的符号；

③推广(am)n=amn:[(am)n]p=amnp.

⑵除法(将除法转化为乘法计算)：

circlelam+an=am,■!■=am-n=am-a-n,由此我们还可以得到X=a-n；

anan

(2)a0=1,因为a1*1+=1=a'm-m=a0.

2.单项式相乘

单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、同底数嘉分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因

3.多项式相乘

(1)多项式与单项式相乘：利用分配律，用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.

m(a+b+c)=ma4-mb+mc

(2)多项式与多项式相乘：先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加.

(a+b+c)(d+e)=ad+ae+bd+be+cd+ce

多项式乘法结束后，一般按照各项的次数高低进行排列.

4.重要公式

(1)平方差公式：

a2—b2={a+b)(a—b)

(2)完全平方公式：

(a+b)2=(a+b)(a+ft)=a2+2ab+b2

(a—b)2=(a—h)(a—ft)=a2-2ab+b2

典型例题

例1

计算：

(1)(-2%2)•(-3x2y3z)

(2)-6x2y-(a-b)3-l%y2•(b-a)2

,3

2

⑶(一4ab3).(一工。瓦)-(工赤)

82

分析本题主要考查单项式的乘法运算和混合运算，乘法运算可以根据单项式与单项式的乘法法则进行.特别是

第(3)题注意运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算减法.

解⑴原式：=(—2)•(—3)•x2-x2y3z=6x4y3z

(2)原式=—6x2y--xy2•(a—b)3・(b—a)2=—6x2y-l%y2­(a—b)3•(a—b)2

33

=—6•--x2y•xy2•[(a-b)3•(a—6)2]=—2•%3y3•(a—b)s

3

(3)原式=(—4ab3),(--ah')—TQ2b4=La2b4—la2b4=

计算:

(1)(%+1)(——1)

(2)(%—y)(%2+%+y)

分析本题考查的是多项式的乘法运算，可以根据多项式与多项式的乘法法则进行.

解(1)原式=x3—x+x2—l=x3+x2—%—1

232

(2)原式=%3+%2+_x2y—%y—y=%—xy+%2—y=：

计算:

(1)(—1%+3y3)(—ly3—1%)

(2)(2/+/))(-2ci2+b)

分析本题主要考查平方差公式的运用.

解⑴原式=—(Zy3—1%)(-y34-1%)=—(Zy3)2+(lx)2=——y6+1%3

434343169

⑵原式:=(b+2a2)(b—2a2)=b2—4a4

双基训练

L下面是某同学在一次作业中的计算摘录：

⑬a+2b=5ab;@4m3n-5mn3=—m3n;③4久③•(―2%2)=-6x3;

④4a3b+(—2a2&)=—2a;@(a3)2=a5;@(—a)3+(—a)==-a2

其中正确的个数有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.计算(必—3%+H)(%2+mx+8)的结果中不含x2和的项，则m,n的值分别为().

A.m=3,n=lB.m=O,n=O

C.m=-3,n=-9D.m=-3,n=8

3.下列分解因式不正确的是().

A.x3—x=x(x2—1)B.m2+m—6=(m+3)(m—2)

C.(a+4)(a-4)=a2—16D.x2+y2=(%+y)(%—y)

4.我们约定a软=10“xl0”,如:203=1O2X1O3=10)那么4软为().

A.32B.KFC.1012D.12i0

5.下列各式是完全平方式的是（）.

4%2-％+工1+4x2C.a2+ab+b2D.x2+2x-1

4

6.如图18-1所示，矩形花园ABCD中,AB=a,AD=b，花园中建有一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RST

K.若LM=RS=c,则花园中可绿化部分的面积为（）.

A.be—ab+ac+b2B.a2+ab+be—ac

C.ab—be—ac+c2D.b2—be+a2—ab

B(b)

图18-1图18-2

7.如图18-2(a)所示，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分裁剪后拼成一个

矩形(如图18-2(b)所示)，上述操作所能验证的等式是().

A.a2—b2=(a+b)(a—b)B.(a—b)2=a2-2ab+b2

C.(a+b)2—a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)

8.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()

A.a2+(―b)2B.5m2—20mnC.—x2—y2D.—x2+9

9.若9x2+mxy+16y?是一个完全平方式，那么m的值是__.

1O.(-)2007x(1.5)2008-(-1)2009=.

11.分解因式:a?-1+b?-2ab=

12.如果((2a+2b+l)(2a+2b-l)=63,那么a+b的值为.

13.把20厘米长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5平方厘

米，则这两段铁丝分别长.

14.多项式9必+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能是_.

15.若犷=1,3旷=2,则3*-2丫等于.

23

16.比较3555,4匚［ZQ5333的大小:_>____>.

17.计算.

32

(l)(Z(z2b)+(1ab2)X3Q3b2

334

22

(2)e+3y)一(工―3y)

44

(3)(2a-3b+l)2

(4)(x2—2x—l)(x2+2x—1)

18.化简求值：(狂”+(%-押2(2X2一y)，其中x=-3,y=4.

19.已知实数x满足x+2=3,求X2+工的值.

Xx2

20.已知.A=2x+y,B=2x-y,计算A2-B2.

能力提升

21.若x+y=2m+l,xy=l,且2lx2—48xy+21y2=2010,则m=.

22

22.设(1+x)(l—x)=a+bx+ex+d/,则oa+b+c+d=.

23.如图18-3所示是某住宅的平面结构示意图，图中标注了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：米）.房的主人

计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用地砖的价格是a元/米2,则买地砖至少需用元（用含a,x,y的

代数式表示).

24.已知：m?=n+2,标=m+2(m丰n),求m3—2mn+"的值.

25.已知x2+%-1=0,求%3+2x2+3的值.

图18-3

26.若d2+b2=35,a2b—ab2=—6,求(a2—ft2)+(3a2b—a2b)—2(ah2—6)的值.

27.若|a+2|+/-2b+1=0,求c?。+ab2的值.

28.已知a,b,c是乙ABC的三边，且满足关系式a?+c?=2ab+2bc-2b试说明△ABC是等边三角形.

29.计算.

(1)(a--b)(2a+Ife)(3a2+J_》2)；

6312

(2)[(a—b)(a+h)]2+(a2-2ab+b2)—2ab.

30.已知工+工=2,求%2+工,％4+工的值.

X%2%4

拓展资源

31.若((%2+px+q)(x2-2x-3)展开后不含d,/项，求pg的值.

32.(1—工)(1一(1-工)"(1—[)(1——的值.

22324292102

33.如图18-4所示，该图是我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的，此图揭示了(a+b)”(n

为非负数)展开式的各项系数的规律.例如：

(a+瓦)。=L它只有一项，系数为1；

(a+b)i=a+仇它有两项，系数分别为1,1;

(a+b)2=出+2而+〃,它有三项,系数分别为1,2,1；

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+它有四项，系数分别为1,3,31;

根据以上规律，(a+by展开式共有五项，系数分别为.

34.(%—1)(%+1)=%2—1

(%—l)(x2+%+1)=%3—1

(%—l)(x3+x2+%+1)=x4—1

(1)分解因式:・％5-1=

(2)根据规律可得(%—1)(%九-1H----F%+1)=(其中n为正整数);

(3)计算：(3—1)(350+349+348+•••+32+3+1);

(4)计算：(--2)1999+(-2)1998+(-2)1997+…+(-2)3+(一2)2+(-2)+1.

35.已知a,b,c为实数，设4=必一25+支,8=b2+2c+匹,C=C2—2a+匹.证明:A,B,C中至少有一个值大于

236

第十八讲

1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.A8.D

9.±2410.-◎ll.(a-b--l)(a-b+l)12.±413.12厘米和8厘米

2

14.答案不唯一.6x,或-6x,或匣％415-16.52。3<3555<4m

48

17.(l)2a7b;(2)3xy;(3)4a2+9b2-12ab+4a-6b+l;((4)x4-6x2+1

18.4K—工y4,20

4

19.对％+工=3两边平方，得比2+工+2=9,故久2+-=7.

X%2%2

20.8xy

21.—11或222.0(提示:令x=l,代入即可)23.llaxy

22

24.由已知得m2—n2=n—m,

所以m+n=-1,m3-2mn+n3=m(n+2)-2mn+n(m+2)=2(m+n)=-2.

25.x2+%—1=0两边同时乘x,得久③+%2=居所以久3+2%2-|-3=X3+X2+X2+3=X+X2+3=4.

26.原式：=a2—/?2+2a2b—2ab2+2b2=a2+ft2+2(a2/?—a/),当a2+b2=35,a2b—ab2=-6时，原式=35

+2x(-6)=23.

27.因为|d+2|+b2—2b+1=0即|a+2|+(6—l)2=0所以a=-2,b=l

所以W2匕+a/?2=ab(a+b)=(-2)X1X(-2+1)=2.

28.原式可化为a2+c2—2ah—2bc+2b2=0,即(a—&)2+(b—c)2=0,所以a-b=O且b—c=0,即a=b且b=c,

所以@=6=a故4ABC是等边三角形.

29.(1)6。4一，•g⑵Q2+b2.

216

30.2,2

31.因为(、/+p%+q)(%2—2%—3)=%4—2x3—3x2+^x2—3px+qx2—2qx—3q

=%4+(p—2)x3—(2p—q+3)x2—(3p+2q)x—3q

因为不含x2,x3］项，席以p-2=0,2p-q+3=0,解得p=2,q=7.

32.运用平方差公式：

=(1-1)(1+1)(I-1)(1+1)X…X(1-i)(1+耳

122331010

-™XNx±xZx£x…x2xll