第五单元 圆（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

圆(重难点+思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析)1、理解圆的基本属性：理解圆心、半径、直径、圆周、弧等基本概念，并知道它们之间的关系。2、掌握圆的周长和面积公式：掌握计算圆的周长（C=πd＝2πr）和面积（A=πr3、了解圆周率π：了解圆周率π是一个无理数，代表圆的周长与直径的比值，并学会使用π的近似值进行计算。4、认识圆的对称性：理解圆是一个轴对称图形，任何直径都是它的对称轴。5、应用圆的知识解决实际问题：能够将圆的概念应用于实际问题，如计算圆形物体的周长和面积，解决与圆相关的实际问题。6、发展空间观念：通过学习圆，能够发展对二维空间中图形的认识和理解。7、培养几何直观：通过观察、操作和想象，培养对圆的直观感知能力。8、探索圆与其他几何图形的关系：能够理解圆与直线、三角形、矩形等其他几何图形的关系，以及如何将这些图形与圆结合起来解决问题。9、学习圆的绘制方法：学会如何使用圆规正确地绘制圆。10、理解圆的数学意义和美学价值：能够欣赏圆在数学和艺术设计中的应用。【圆的认识与圆周率】1．圆的认识：圆是一种几何图形．当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．2．圆周率：圆周率符号一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．【圆及其性质】1、圆的概念：（1）、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。（2）、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。（3）、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。（3）、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。直径的长度是半径的2倍。2、圆的性质：（1）、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。如果已知的是直径，我们要把直径除以2换成半径，确定圆心，然后才开始画圆。要比较两个圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。（2）、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。同圆中所有的半径、直径都相等。（3）．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。（4）、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。【圆、圆环的周长】1、圆的周长＝πd＝2πr，2、半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；半圆周长＝πr+2r．3、圆环的周长等于两个圆的周长，即：圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．【圆、圆环的面积】1、圆的面积公式：S＝π2、圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S＝πr22﹣πr12＝π（【扇形的认识】1、一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形2、扇形弧长计算公式，l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。弧长＝圆心角度数/360°×2×圆周率×半径【扇形的面积】扇形面积可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，即：S=nπ【典例1】有一个面积为700平方米的圆形草坪，现要为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌。现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为选哪种比较合适？安装在什么位置？【答案】解：3.14×202=1256(平方米)

3.14×152=706.5(平方米)

3.14×102=314(平方米)

706.5平方米最接近圆形草坪的面积。

答：选择射程为15米的装置最合适，安装在圆形草坪的圆心的位置。【解析】圆面积公式：S=πr2，根据圆面积公式计算出三种装置的喷灌面积，比较后判断哪种合适。安装时因该安装在草坪的圆心位置。【典例2】如下图，空地上有一栋房屋，房屋的墙角拴着一只羊，这座房屋长6m，宽4m。

（1）拴羊的绳长4m，羊在空地上的活动范围是多少平方米？（2）如果拴羊的绳长换成6m，那么羊的活动范围增加了多少平方米？【答案】（1）解：如图：

3.14×4×4×34

=50.24×34

=37.68（平方米）

（2）解：如图：

9-4=2（米）

3.14×6×6×34+3.14×2×2×14-37.68

=113.04×34+12.56×14-37.68

=84.78+3.14-37.68

=87.92-37.68

【解析】（1）半径是4米的圆的面积×34=羊在空地上的活动范围；

（2）半径是6米的圆的面积×34+半径是2米的圆的面积×【典例3】李叔叔家距公司7千米，李叔叔每天7：30出发骑自行车去公司上班，自行车车轮直径约是60厘米。如果车轮平均每分转200圈，李叔叔7：50能到公司吗？【答案】解：7时50分﹣7时30分＝20分60厘米＝0.6米3.14×0.6×200×20＝1.884×200×20＝376.8×20＝7536（米）7536米＝7.536千米7.536＞7答：李叔叔7：50能到公司。【解析】先计算出7：30到7：50经过的时间。把60厘米换算成0.6米。然后根据圆周长公式计算出车轮的周长，也就是自行车转1圈的长度。用1圈的长度乘200求出每分钟走的路程，用每分钟走的路程乘骑行的时间即可求出能行的总路程，再与家到公司的路程比较后判断能否到公司。【典例4】体育公园有一个奥运五环标志（如图），奥运会期间准备用一种柔性LED灯带装饰这个标志，晚上用灯光显示出五环标志。这个标志的每个圆的半径都是3米，装饰这个标志至少需要多长的灯带？【答案】解：2×3.14×3×5＝18.84×5＝94.2（厘米）答：装饰这个标志至少需要94.2厘米长的灯带。【解析】2×π×圆的半径=圆的周长，圆的周长×5=装饰这个标志至少需要的灯带长。【典例5】公园里有一片梯形草地（如图），梯形上底是20米，下底是30米，高是10米，园艺设计师想在这片草地上设计一个面积最大的半圆形花圃，请你画出来，并求这个花圃的面积。【答案】解：

3.14×102÷2

=314÷2

=157（平方米）

答：这个花圃的面积是157平方米。【解析】这个花圃的面积=π×半径2÷2，其中，半径=梯形的高。1．如图池塘的直径是20米，池塘周围（阴影）是一条2米宽的水泥路，在路的外侧围一圈栅栏。①栅栏长多少米？

②水泥路的面积是多少？2．学了“圆的面积公式”后，有这样一题：“如图，长方形和圆的面积相等，圆的周长是6.28厘米，求长方形的长。”小明同学直接列式“6.28÷2＝3.14（厘米）”来解决。有同学怀疑小明同学是看了参考答案后凑出来的。请问：你认同这样的怀疑吗？并说明理由。3．有一个环形跑道，它由两条直道和两条半圆形跑道组成，直道长50m，每条跑道宽为1.25米（如图）。淘淘在这个跑道上进行200m赛跑，那么第3道的起跑线与第1道相差多少米？（π取3.14）4．一条跑道的内侧周长是400m，外圈半径为42，内圈半径为40m，小雨和小珂进行400m赛跑，小雨在内圈，起点在直道上，且终点相同，那么小珂应在小雨前多少米?5．为了不让小牛乱吃草，主人用一根20米长的绳子，一头拴住小牛，另一头拴在一课树上。那么小牛的最大活动范围是多少？（绳扣部分长度不计）6．学校中心广场有一个周长为18.84米的圆形草坪，劳动实践社团的同学们准备在花坛外铺设一条2米宽的环形石子路，这条石子路的面积是多少平方米?7．星光小区里有一个圆形花坛，测得它的周长是31.4米。物业要在花坛的中心安装一个正好可以覆盖整个花坛喷水的自动旋转灌溉装置，装完后可以灌溉多大的一块地?8．如下图，有一个直径为1米的圆，它从①号位置开始沿直线滚到②号位置，正好滚了3周，那么①号位置到②号位置的距离有多远?9．光明小学修建一个圆形花坛，周长是25.12米，在花坛的周围修了一条宽1米的环形小路。这条路的面积是多少平方米？10．太极图在中国传统文化中含义深邃，其形状为阴阳两鱼相抱在一起，象征两极和合。已知整个圆的周长是62.8厘米，请问：阴鱼（即阴影部分）的面积是多少平方厘米?11．某度假村有甲、乙两个圆形公共温泉池，直径分别是40米、20米，目前甲池内有200人，乙池内有100人。哪一个池子更拥挤呢?为什么?12．淘气和笑笑练习竞走，淘气沿长9米、宽4米的长方形花坛走，笑笑沿直径为8米的圆形花坛走．他们的速度相同，谁先走完？13．民生广场有一个直径为18米的圆形水池。如果沿水池边缘向外修一条宽2米的健身步道（图中阴影部分），健身步道的面积是多少平方米？14．中国人民银行于2021年8月30日发行中国首次火星探测任务成功金银纪念币一套。每枚银质纪念币的直径是40毫米。每枚银质纪念币的面积是多少平方毫米?15．如图，在一个直径是20米的半圆形池塘周围修了一条宽2米的小路（图中阴影部分），这条小路的面积是多少平方米？16．一块圆形菜地的周长是56.52米，在圆形菜地里种油菜和菠菜，种油菜的面积与菠菜的面积比是5：4。（1）这块圆形菜地的面积是多少平方米？（2）种油菜的面积和菠菜的面积分别是多少平方米？17．如图，寻宝游戏小分队原来的寻宝范围是以大树（点O）为圆心，20m为半径的圆。后来扩大了寻宝范围，半径扩大为30m。现在的寻宝范围比原来扩大了多少平方米？18．一家火锅店开张，店内特制的火锅周长是125.6厘米，现在要在火锅的周围配上30厘米宽的圆环形桌面（如下图阴影部分），这个桌面的面积是多少平方米？19．把一张圆形纸片对折3次，对折后的图形及对应的曲线长度如图所示，那么圆形纸片的直径是多少厘米？面积是多少平方厘米？20．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40cm，车轮转1圈大约走多少厘米？要骑过50.24m长的钢丝，车轮大约要转动多少周？21．张爷爷要用18.84m长的栅栏在屋后的空地上围一个羊圈(有一面靠墙)。请问围成正方形的面积大还是围成半圆的面积大？通过计算说明。22．某城市新建了一个如图所示半圆形的儿童游乐场，其中A处是休息区，B处是体能训练区，C处是游乐活动区域。游乐活动区域为直角三角形。三边和为300米，三边的长之比为5：12：13，则休息区和体能训练区共占地多少平方米？23．一个半径为20米的圆形喷水池，在它周围修一条宽1米的环形花带，如果每平方米植花25棵，每棵成本为4元，这条环形花带共需投资多少元？24．气势辉煌、建筑雄伟的天坛是明、清两代帝王祭祀皇天、祈五谷丰登之场所。其中的标志性建筑祈年殿是一个底部直径约为24m的圆形大殿，环绕祈年殿的回音壁则是一道圆形的水磨砖墙，其内圆半径为32.5m。（1）祈年殿的占地面积约为多少平方米？（2）回音壁内圆的周长约为多少米？25．一张圆桌的直径是120厘米，现在要为这张圆桌配一块桌布，桌面铺上桌布后，四周要均匀地下垂20厘米。求这块桌布的面积是多少平方米？26．江东大桥又称钱江九桥，为中国首座大跨度悬索桥，全长约4620米。李叔叔骑一辆外直径是0.55米的自行车，按每分钟转动200周的速度，通过江东大桥需要多少时间？(π取3)27．李老师从家骑自行车到学校，全程大约2512米。已知李老师的自行车轮胎直径大约是8分米，李老师踩一圈，轮胎可以转动两圈，李老师大约需要踩多少圈？28．小区物业准备把圆形喷水池翻修，已知喷水池的直径是5米，物业在离喷水池边1米的距离外拉了一圈警示带，警示带大约需要多长？(接头处忽略不计)29．芳芳和明明从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，芳芳每分钟走72m，明明每分钟走85m。（1）这个圆形场地的直径是多少米？（2）它的占地面积是多少平方米？30．图中池塘的周长为251.2米，池塘周围(阴影)是一条5米宽的水泥路，在水泥路的外侧围一圈栏杆。水泥路的面积是多少？栏杆长多少米？

1．【答案】解：20÷2=10（米），10+2=12（米）

①3.14×12×2=75.36（米）

②3.14×（122-102）

=3.14×（144-100）

=3.14×44

=138.16（平方米）

答：栅栏长75.36米。水泥路的面积是138.16平方米。【解析】①用池塘的直径除以2求出池塘的半径，用半径加上2米求出外圆的半径，然后根据圆周长公式计算栅栏的长度；

②圆环的面积公式：S=π（R2-r2），根据圆环面积公式计算小路的面积即可。2．【答案】解：不认同，圆转化为近似的长方形，长方形两条长的和＝圆的周长，长方形的长＝圆周长的一半，圆的周长÷2＝长方形的长，即“6.28÷2＝3.14（厘米）”，因此，不认同这样的怀疑。【解析】圆转化为近似的长方形，长方形两条长的和＝圆的周长，因此，长方形的长=圆周长的一半，据此解答。3．【答案】解：3.14×1.25×(3-1)×2

=3.14×1.25×2×2

=3.925×2×2

=7.85×2

=15.7(米)答：那么第3道的起跑线与第1道相差15.7米．【解析】在确定起跑线的应用题中，环形跑道的直道长度是相等的，相邻跑道起跑线相差的距离=π×跑道宽度，据此列式解答。4．【答案】解：2×3.14×42-2×3.14×40

=3.14×（84-80）

=3.14×4

=12.56（米）

答：小珂应在小雨前12.56米。【解析】一般400米跑道，有两个半径相等的半圆弯道，和两条直道，两个半圆弯道正好合成一个半径相同的圆，由于两圆的半径不同，周长也不同，因此，终点相同时，起跑线就不能相同，内、外圆周长之差就是两人起跑点的距离，圆的周长=π×半径×2。5．【答案】解：20×2×3.14

=40×3.14

=125.6（米）

答：小牛的最大活动范围是125.6米。【解析】小牛的最大活动范围是以半径为20米的圆的面积；圆的面积=π×半径2。6．【答案】解：18.84÷3.14÷2

=6÷2

=3（米）

3+2=5（米）

3.14×（52-32）

=3.14×16

=50.24（平方米）

答：这条石子路的面积是50.24平方米。【解析】根据圆周长计算公式“C=2πr”即可求出这个圆形花坛（小圆）的半径，圆形花坛的半径加上2米就是大圆半径；根据环形面积计算公式“S=π（R2-r2）”即可求得这条石子路的面积。7．【答案】解：31.4÷3.14÷2

=10÷2

=5（米）

3.14×52=78.5（平方米）

答：可以灌溉78.5平方米的地。【解析】自动旋转灌溉装置可以灌溉多大的地就是求圆形花坛的面积：周长÷圆周率÷2=半径，面积=圆周率×半径的平方。8．【答案】解：1×3.14×3

=3.14×3

=9.42（米）

答：①号位置到②号位置的距离是9.42米。【解析】滚一周滚的距离=圆的直径×π，所以①号位置到②号位置的距离=滚一周滚的距离×3，据此作答即可。9．【答案】解：25.12÷3.14÷2＝8÷2＝4（米）4＋1＝5（米）3.14×（52－42）＝3.14×（25－16）＝3.14×9＝28.26（平方米）答：这条路的面积是28.26平方米。【解析】求路的面积也就是求圆环的面积。先根据半径=圆周长÷2÷π求出花坛的半径，也就是小圆的半径；小圆半径+1=大圆半径；圆环面积=π×(大圆半径2-小圆半径2)，代入数值计算解答。10．【答案】解：62.8÷3.14÷2

=20÷2

=10(厘米)

102×3.14÷2

=100×3.14÷2

=314÷2

=157(平方厘米)

答：阴鱼（即阴影部分）的面积是157平方厘米。【解析】由图可知，阴鱼的面积等于阳鱼的面积等于整圆面积的一半。因此，现根据圆周长求出半径，半径=圆周长÷π÷2；再根据圆面积=π×半径2，求出整圆面积，再除以2就是阴鱼面积。11．【答案】解：40÷2=20（米）

20÷2=10（米）

3.14×202÷200

=1256÷200

=6.28（平方米）

3.14×102÷100

=314÷100

=3.14（平方米）

6.28＞3.14

答：乙池内更拥挤，因为乙池的人均面积少。【解析】甲、乙池的人均面积=甲、乙池的总面积÷各自容纳的人数，然后比较大小。12．【答案】解：（9+4）×2＝13×2＝26（米）3.14×8＝25.12（米）26＞25.12答：笑笑先走完。【解析】长方形花坛的周长=（长+宽）×2，圆形花坛的周长=直径×π，然后比较两个花坛的周长即可。13．【答案】解：18÷2=9（米），9+2=11（米）3.14×（112-92）

=3.14×（121－81）

=3.14×40

=125.6（平方米）答：健身步道的面积是125.6平方米。【解析】如图，水池直径÷2=水池半径（r)，r＋步道路宽=外圆半径（R），

圆环的面积=π（R2－r2）。14．【答案】解：40÷2=20（毫米）

3.14×202

=3.14×400

=1256（平方毫米）

答：每枚银质纪念币的面积是1256平方毫米。【解析】每枚银质纪念币的面积=π×半径2，其中，半径=直径÷2。15．【答案】解：20÷2=10（米）

10＋2=12（米）

（122-102）×3.14÷2

=44×3.14÷2

=138.16÷2

=69.08（平方米）

答：这条小路的面积是69.08平方米。【解析】这条小路的面积=π×（R2-r2），其中，r=直径÷2，R=r＋小路的宽。16．【答案】（1）解：56.52÷3.14÷2=9（米）

3.14×92

=3.14×81

=254.34（平方米）

答：这块圆形菜地的面积是254.34平方米。（2）解：254.34×55+4=141.3（平方米）

254.34×45+4=113.04（平方米）【解析】（1）用圆的周长除以3.14再除以2求出圆的半径，然后计算圆的面积；

（2）油菜的面积占总面积的55+4，菠菜的面积占总面积的417．【答案】解：3.14×（302-202）

=3.14×500

=1570（平方米）

答：现在的寻宝范围比原来扩大了1570平方米。【解析】现在的寻宝范围比原来扩大的面积=π×（R2-r2）。18．【答案】解：125.6÷3.14÷2

=40÷2

=20(厘米）

20+30=50（厘米）

3.14×(502-202）

=3.14×2100

=6594(平方厘米）

6594平方厘米=0.6594平方米

答：这个桌面的面积是0.6594平方米。【解析】这个桌面的面积=π（R2-r2）；其中，r=周长÷π÷2，R=r＋30厘米。19．【答案】解：1.57×8÷3.14＝12.56÷3.14＝4（厘米）3.14×（4÷2）2＝3.14×4＝12.56（平方厘米）答：圆形纸片的直径是6厘米，面积是12.56平方厘米。【解析】把一张圆形纸片对折3次是平均分成了8份，原来这个圆形纸片的直径=扇形的弧长×8÷π；这个这个圆形纸片的面积=π×半径2。20．【答案】解：3.14×40＝125.6（厘米）50.24米＝5024厘米5024÷125.6＝40（周）答：车轮转一圈大约走125.6厘米，要骑过50.24m长的钢丝，车轮大约要转动40周。【解析】车轮转1圈大约走的长度=π×直径；车轮大约要转动的周数=钢丝的总长÷车轮的周长。21．【答案】解：正方形边长：18.84÷3=6.28(米)正方形面积：6.28×6.28=39.4384(平方米)半圆的半径：18.84×2÷3.14÷2=6(米)半圆的面积：3.14×62÷2=56.52(平方米)56.52>39.4384答：围成半圆的面积大。【解析】正方形的边长=栅栏的长度÷3，那么围成的正方形的面积=边长×边长；

半圆的半径=栅栏的长度×2÷π÷2，那么围成的半圆的面积=πr2÷2；

最后把两种情况进行比较，得出结论。22．【答案】解：5+12+13=30300×530300×1230300×13303.14×(130÷2)2÷2-120×50÷2

=6633.25-3000

=3633.25(平方米)

答：休息区和体能训练区共占地3633.25平方米。【解析】休息区和体能训练区一共的面积=圆的面积÷2-空白直角三角形的面积；其中，圆的面积=π×半径2，三角形的面积=底×高÷2，底、高分别是直角三角形中较短的两条边；其中，三角形三条边的长度分别=三角形三条边的和÷总份数×各自分别占的份数。23．【答案】解：20＋1＝21（米）

3.14×（212－202）

＝3.14×（441－400）

＝3.14×41

＝128.74（平方米）

128.74×25×4＝12874（元）

答：这条环形花带共需投资12874元。【解析】根据求环形面积的公式，外圆面积－内圆面积＝环形面积，已知内圆半径是20米，环宽是1米，先求出外圆半径，再利用环形面积计算公式“S=π(R2−r2)”，求出环形花带的面积；用环形花带的面积乘每平方米植花的数量，得到植花的总数量，再乘每株的单价，即得到一共投资多少钱。24．【答案】（1）解：3.14×(24÷2)2

=3.14×144

=452.16(平方米)

答：祈年殿的占地面积约为452.16平方米。（2）解：3.14×(32.5×2)

=3.14×65

=204.1(米)

答：回音壁内圆的周长约为204.1米。【解析】（1）祈年殿的占地面积=π×半径2；半径=直径÷2；

（2）回音壁内圆的周长=π×（半径×2）。

25．【答案】解：（120+20+20）÷2

=160÷2

=80（厘米）

80×80×3.14

=6400×3.14

=20096（平方厘米）

20096平方厘米=2.0096平方米

答：这块