《数据、模型与决策》 课件全套 朱顺泉 第1-14章 管理科学绪论-预测

《MBA数据、模型与决策》

Data,ModelsandDecision-makingChapter1.Introductionto

ManagementScience

第一章.数据、模型与决策绪论什么是管理科学?SessionTopics

Manyrealworldexamples

许多实际问题举例

WhatisData,ModelandDecisions数据模型与决策是什么？

TheNatureofManagementScience

管理科学的本质

MethodologyandModelinginManagementDecisionMaking管理科学的模型方法TheImpactofManagementScience

管理科学的影响

CourseOutline

课程大纲管理科学(大陆)（ManagementScience，简称MS）运筹学OperationsResearch(美国)，简称OROperationalResearch(英国)作业研究(港台)管理科学有广阔的应用领域，它已渗透到诸如服务、库存、搜索、人口、对抗、控制、时间表、资源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性、等各个方面。

ManagementScience管理科学（Managementscience）是对与定量因素（quantitativefactors）有关的管理问题通过应用科学的方法（scientificapproach）进行辅助管理决策制定（aidmanagerialdecisionmaking）的一门学科（discipline）。制定决策管理者运用合理的分析来改善决策的制定管理科学管理科学的应用生产管理交通网络物流配送市场营销项目评价等等交通控制问题城市交通灯的开启时间间隔的问题,目的是使得路口的日平均车流量最大。

港口调度问题根据货流、货种、车船到港变化情况，合理利用劳力、机械、泊位、库场及其他设备，充分发挥和扩大港口通过能力，努力缩短车船停港时间。类似的排队论问题。最短路最长路问题如煤气管道、城市排水管道系统设计、电缆安装、厂区布局和设备更新、交通运输等、道路设计、物流配送路径，上海国美电器商场有限公司在上海的商场为什么圆形布点？围绕上海市外环线内部圆形均匀分布着9家商场，为什么只有一个配送中心，为什么要建在外环线的外面？半岛晨报如何确定大连市区的发行网点？即在何地设网点？设多少个网点？产品组合问题上海三枪集团是生产各种内衣系列的生产计划极为复杂的公司，每个季度要制订接下去的四个月中的各种规格、颜色、式样、面料、等级的内衣生产数量，因为要制订采购计划和工厂生产能力计划，如何来预测客户的需求量呢？厂址选择问题

排课问题?投资组合比尔是Nesbit投资公司的财务主管，他必须组合长期市场有价证券的业务量的每月支付计划。证券业务量的金额高达$50,000,000。组合此业务量的有价证券必须很快确定下来，在风险控制限度内，以使得一定时限内的收益最大。我国证券市场什么时候需要呢？Resource-allocation资源分配实际问题潘得罗索工业公司生产胶合板，根据厚度和所用木材的质量而有所不同。因为产品在一个竞争的环境中进行销售，产品的价格由市场决定。所以每个月管理层面临的一个关键问题是选择产品组合以获取尽可能多的利润。需要考虑当前生产产品必须的各种资源的可得数量。六项最重要的资源为（1）四种类型的原木（根据原木的质量区分）和（2）生产胶合板的两项关键作业的生产能力（模压作业和刨光作业）。你们公司有这样的经历吗？BreakevenpointAnalysis盈亏平衡分析实际问题特殊产品公司生产在商店销售的昂贵而不常见的礼品，礼品是为那些已经几乎什么都有的富人生产的。公司研发部最新的产品计划是有限版落地摆钟（limitededitiongrand­fatherclock）。公司管理部门需要决定是否生产这个新产品，如果生产的话要生产多少。我们需要知道些什么信息？想想看！定量分析为何决策过程需要定量方法？问题很复杂，管理者在没有定量分析的帮助下不能给出一个好的解决方案问题特别重要，且管理者在尝试做决策前希望有一个全面的分析新遇到的问题，管理者事先并没有从何处下手的经验重复性问题，管理者依靠定量处理来节约时间和精力，以做出常规决策的建议。管理科学的产生和发展起源：古代战争、娱乐、建设田忌赛马丁渭修皇宫学科产生：第二次世界大战问题：合理利用稀缺战争资源保护自己、消灭敌人1938年7月，波得塞雷达站的负责人罗伊用OperationalResearch命名防空作战系统运行的研究1940年9月英国成立了由物理学家布莱克特(Blackett)领导的第一个运筹学小组l942年美国和加拿大也都相继成立运筹学小组管理科学的产生和发展反潜艇战库普曼(Koopmans)——搜索论肖克莱(Shockley)对策论商船编队和舰队护航扩展：战后用于民用事业成型：各个分支成熟成熟：计算机、信息技术结合发展：学科结合、渗透应用广度和深度、方法和算法的完善丁渭修皇宫

丁谓的施工方案省时省力，妥善地解决了取土、运输和处理建筑垃圾的问题，一举而三得，也与现代系统工程思想不谋而合。

传说宋真宗在位时，皇宫曾起火。一夜之间，大片的宫室楼台殿阁亭榭变成了废墟。为了修复这些宫殿，宋真宗派当时的晋国公丁谓主持修缮工程。当时，要完成这项重大的建筑工程，面临着三个大问题：第一，需要把大量的废墟垃圾清理掉；第二，要运来大批木材和石料；第三，要运来大量新土。不论是运走垃圾还是运来建筑材料和新土，都涉及到大量的运输问题。如果安排不当，施工现场会杂乱无章，正常的交通和生活秩序都会受到严重影响。

丁谓研究了工程之后，制订了这样的施工方案：首先，从施工现场向外挖了若干条大深沟，把挖出来的土作为施工需要的新土备用，于是就解决了新土问题。第二步，从城外把汴水引入所挖的大沟中，于是就可以利用木排及船只运送木材石料，解决了木材石料的运输问题。最后，等到材料运输任务完成之后，再把沟中的水排掉，把工地上的垃圾填入沟内，使沟重新变为平地。

简单归纳起来，就是这样一个过程：挖沟（取土）→引水入沟（水道运输）→填沟（处理垃圾）。管理科学的方法论问题的确定分析问题建立模型软件求解结果分析确定解决方案实施方案控制现实形象模型模拟模型数学模型概念模型增加分析的速度、抽象性和变化的方便性增加现实性和费用管理科学的模型方法建立模型的常用方法直接分析法类比法数据分析法概率统计分析想定法例:合理下料问题例:厂址选择问题例:回归模型例:排队论模型例:世界能源模型如何建模？ImpactofManagementScience管理科学的影响改善全世界大量组织的效率提高国家的经济生产力促进商业运作的规范性节约大量稀有的资源为管理科学实践者颁发的最负盛名的奖项是弗兰茨·厄德曼(FranzEdelman)奖。这些奖项授予全世界年度管理科学的最佳应用。问题类型

典型的问题预测财务人力资源时序资源配置设备更新库存控制选址项目规划排队问题

对产品的需求多大，需求类别如何，对利润有何影响?需要多少资金，从何处得到资金，成本是多少?需要多少员工，应具有什么技能，留用多长时间?什么工作最重要，工作的顺序如何?需要什么资源，资源是否短缺，怎样优先获得短缺的资源?设备运转状况如何，可靠性如何，什么时候需要更新?我们应保持多少库存，什么时候应再订货，再订多少?运作的最佳场所在哪里，需要什么设施?项目需要多长时间，哪些工作最重要，资源如何利用?队列多长，提供多少个服务台，我们能提供什么水平的服务?TypesofMSProblemSolving管理科学解决的问题类型经典管理科学获奖应用

联合航空公司（1-2/1986，$600万）满足乘客需求以最低成本进行订票处和机场工作班次排程

Citgo石油公司（1-2/1987，$7000万）优化炼油运作以及产品的供应、配送和营销

旧金山警署（1-2/1989，$1100万）用计算机系统最优排程和巡警设置

荷玛特发展公司（1-2/1987，$4000万）商业区和办公楼销售的最优化安排

AT&T（1-2/1990，$4.06亿，更多的销售）为公司商业用户的电话销售中心的优化选址

经典管理科学获奖应用

联合航空公司（1-2/1986，$600万）满足乘客需求以最低成本进行订票处和机场工作班次排程

Citgo石油公司（1-2/1987，$7000万）优化炼油运作以及产品的供应、配送和营销

旧金山警署（1-2/1989，$1100万）用计算机系统最优排程和巡警设置

荷玛特发展公司（1-2/1987，$4000万）商业区和办公楼销售的最优化安排

AT&T（1-2/1990，$4.06亿，更多的销售）为公司商业用户的电话销售中心的优化选址

美国石油公司（12/1982，$1000万）确定和评价公司产品商业化的新战略

美国邮政服务公司（3-4/1987,1-2/1992，$2亿）邮件自动化方案的技术经济分析

标准品牌公司（12/1981，$380万）控制100种成品的库存（安全库存、再订购点和订购量）

IBM

（1-2/1990，$2000万+$2.5亿库存降低）整合备件库存的全国网络以改进服务支持

HydroelectricaEspanol（1-2/1990，$200万）应用统计预测管理水力发电的水库系统

施乐公司（11/1975,生产率提高50%以上）缩短反应时间和改进维修人员生产率的维修战略修正

经典管理科学获奖应用

宝洁公司（1-2/1997，$2亿）重新设计生产和分销系统以降低成本和改进市场进入速度南非国防部（1-2/1997，$11亿）国防设施和武器系统规模和状态的重新优化设计数字设备公司（1-2/1995，$8亿）重构供应商、工厂、分销中心、潜在厂址和市场区域供应链雷诺德金属制品公司（1-2/1991，$700万）自动化超过200个工厂、仓库和供应商的货物装载调度系统中国政府（1-2/1995，$4.25亿）为满足国家未来能源需求的大型项目的优选和排程

Delta航空公司（1-2/1994，$1亿）超过2，500个国内航线的飞机类型配置来最大化利润管理科学获奖应用（1990~）

美洲航空公司（1-2/1991，$2000万）为机组人员和服务人员优化配置航行支线的顺序

Merit青铜制品公司（1-2/1993，更佳的服务）安装统计销售预测和成品库存管理系统来改进客户服务

美洲航空公司（1-2/1992，$5亿，更多收入）设计票价结构、订票和协调航班的系统来增加收入

L．L．Bean公司（1-2/1991，$950万）为一个大型呼叫中心优化配置电话干线、接收台和电话代理

纽约市（1-2/1993，$950万）详细检查从传讯到被捕的程序以缩短等待时间

AT&T（1-2/1993，$7.5亿）为指导商业用户设计呼叫中心开发基于计算机的系统管理科学获奖应用（1990~）CaseStudy一个阐述管理科学方法的例子SpecialProductsBreak-EvenAnalysis(特殊产品公司的盈亏平衡分析)OR真这么有用吗？我才不信呢！举个现实中的例子来看看！华丽床垫厂生产一种床垫，年固定费用为

90000元，生产一个床垫的可变费用为50元，床垫的销售单价为100元。假定市场条件不变，产品价格稳定，所有的产品均能被销售。确定该产品在盈亏平衡点的产量（盈亏平衡点即保本点，这时总成本等于总收益）。如果该工厂生产

2400个床垫，盈亏状况如何？盈亏平衡分析解：当该产量为X时达到盈亏平衡点，则可建立如下模型：（1）成本–产量模型总成本为：C（X）=90000+50X（1-3-1）

X为床垫的产量，C为生产X个床垫的总成本，它是产量X的的函数。（2）收益–销售量模型收益为：R（X）=100X（1-3-2）上式中，X为床垫的销售量（在此例中，床垫的销售量等于床垫的生产量）；R（X）为销售X个床垫的总收益，它是X的函数。

（3）利润–产量模型总利润为：P（X）=R（X）－C（X）

=100X－（90000+50X）

=－90000+50X

（4）盈亏平衡分析当总利润为零时，达到盈亏平衡。即

P（X）=－90000+50X=0

计算可得这时的产量为：X=1800（个）若生产2400个床垫，则其利润为：

P（X）=－90000+50×2400=30000（元）。

原来如此SpecialProductsBreak-EvenAnalysis(分析问题)亏损区收益为R（X）=100X总成本为C（X）=90000+50XB1800盈利区图1盈亏平衡分析图xC,R在Excel的背景下，用如何Spreadsheet描述和解决盈亏平衡问题。首先，在Spreadsheet中进行问题描述。然后，在Spreadsheet中建立模型。最后，确定盈亏平衡点。盈亏平衡分析模型的两种求解方法AB1例1-1量本利分析模型23产品成本4固定费用900005单位产品可变费用506单价100789模型10产品产量24001112总成本2100001314总收益2400001516总利润30000在Spreadsheet进行问题描述。用地址B4、B5、B6的单元格分别表示固定费用、单位产品可变费用和产品单价，在这些单元中分别输入已知数据，如表1-1所示。表1-1本量利分析模型单元格B12、B14、B16分别表示总成本、总收益与总利润。总成本（单元格B12）等于年固定费用与年可变费用之和，其中年可变费用等于单位可变费用与产品的产量之积，所以在单元格B12中输入下述公式：=B4+B5*B10 总收益（单元格B14）等于产品价格与产品产量之积，在单元格B14中输入下述公式：=B6*B10总利润（单元格B16）等于总收益与总成本之差，在单元格B16中输入公式：=B14-B12运用上述模型即可计算不同产品产量下的盈亏情况。例如，但产品的产量为2400个时，可在单元格B10中输入2400，即得到此时的总成本、总收益与总利润分别为210000元，240000元与30000元，如表1-1所示。表1-2给出了该模型的公式。AB1量本利分析模型23产品成本4固定费用900005单位产品可变费用506单价100789模型10产品产量24001112总成本=B4+B5*B101314总收益=B6*B101516总利润=B14-B12

盈亏平衡分析模型的公式最后确定盈亏平衡点。盈亏平衡点是总成本等于总收益的点，或总利润等于0的点。前面已经算出，当产量为2400个时，总利润为30000元，所以该点不是盈亏均衡点。在单元格B10中继续输入其他产量值进行试算，直到总利润为0。方法一：使用模拟运算表AB20用数据表计算盈亏点21产品产量利润22

30000231400

241600

251800

262000

272200

282400

第一步：确定输入的决策变量值（即床垫的产量）的范围与计算步长。前面已经计算到，当床垫的产量为2400个时，总利润为正值，即盈利；在表1-1的模型中，若在单元格B10中试输入1400，得到总利润为负值。因此，在产量为1400与2400之间，必有一个值使得总利润为0，这个值即为盈亏平衡点的产量，因此，可将输入范围定为[1400，2400]，假设计算步长为200。第二步：在单元格A23:A28中分别输入从1400至2400、步长为200的产量值。第三步：在单元格B22中输入计算总利润的公式，即：=B16，如表1-3所示。表1-3构造模拟运算数据表第四步：用Excel中的模拟运算表计算不同产量下的利润值：（1）用鼠标选择单元格A22:B28的区域；（2）在Excel工作表的菜单栏中，选择“数据”，如图1-1所示；AB20用数据表计算盈亏点21产品产量利润22

30000231400-20000241600-100002518000262000100002722002000028240030000表1-4使用模拟运算数据表计算盈亏点的产量方法二：单变量求解方法AB1例1-1量本利分析模型23产品成本4固定费用900005单位产品可变费用506单价100789模型10产品产量18001112总成本1800001314总收益1800001516总利润0表1-5使用单变量求解确定盈亏均衡点的产量数据模型与决策的内容规划论（第2-3，5-8章）线性规划

非线性规划整数规划动态规划图与网络分析（第4讲）管理科学的内容统计学（第9-12章）描述统计；

统计检验与估计；线性相关分析一元线性回归分析；多元线性回归分析；时间序列分析预测；马尔科夫过程及其预测。教材及参考书教材：商务数据、模型与决策分析，朱顺泉等，清华大学出版社，2023年1月第1版。数据、模型与决策（原书第11版），戴维R.安德森（DavidR.Anderson），丹尼斯J.斯威尼（DennisJ.Sweeney）,托马斯A.威廉斯（ThomasA.Williams）著侯文华等译，机械工业出版社，2006年6月第1版。参考书：数据、模型与决策（第二版），(美)弗雷德里克·S.希利尔(FrederickS.Hillier)等著，任建标译，中国财政经济出版社,2004。计量经济学，李子奈，高等教育出版社，2005年第2版

管理运筹学，韩达卫，大连理工大学出版社，2002。PracticalManagementScience:SpreadsheetModelingandApplications,WayneL.Winston,DuxburyPress,2000Theendofchapter1《MBA数据、模型与决策》

Data,ModelsandDecision-making第2章线性规划模型的图解法什么是图解法?例2.1广州电器厂生产优化问题广州电器厂生产A、B两种电器产品。产品A与产品B在生产过程中均使用原材料1，其中每件所消耗的原材料1的数量分别为6与2。同时，产品B还需使用原材料2，每件产品的消耗量为1。此外，每生产一件产品A与一件产品B所需的劳动时间分别为2与4。该厂提供的原材料和劳动时间的数量是有限的。在第一个月初，该厂可提供的原材料1的数量是1800，原材料2的数量是350，可提供的2.1一个简单的最大化问题总劳动时间为1600。该两种原材料的保存时间是一个月，也就是说，第一个月用不完的原材料只能丢弃。经财务部门分析计算，产品A与B每件利润分别为3元与8元，而且根据市场调查得到的该两种产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有产品均能销售出去。问第一个月内产品A与产品B各应生产多少，可使总利润最大？项目1件产品A1件产品B总量原材料1621800原材料201350劳动时间241600利润38表2.1广州电器厂月生产安排分析：在上述问题中，目标是总利润的最大化，所要决策的变量是产品的产量，而产品的产量则受到可提供的原材料与劳动时间的约束，因此，该问题可以用目标、决策变量和约束条件三个因素加以描述。实际上，所有的线性规划问题都包括这三个因素。①目标函数是指系统所追求的目标的数学描述。例如最大利润、最小成本等。②决策变量是指系统中有待确定的未知因素。例如决定企业经营目标的各产品的产量等。③约束条件是指实现系统目标的限制因素，它们限制了目标值所能达到的程度。例如原材料供应量、市场需求等。

解：此问题可用表2.1表示项目1件产品A1件产品B总量原材料1621800原材料201350劳动时间241600利润38表2.1广州电器厂月生产安排①决策变量此问题的决策变量是第一个月产品A与产品B的产量。可设：X为第一个月产品A的产量（件）；Y为第一个月产品B的产量（件）。X、Y即为本问题的决策变量。②目标函数此问题的目标函数是总利润最大。由于产品A与产品B每件利润分别为3元与8元，而其产量分别为X与Y,所以总利润可计算如下：总利润=3X+8Y③约束条件此问题共有四个约束条件。第一个约束是原材料1的约束。每件产品A与产品B对原材料1的消耗量分别为6与2，而两种产品的产量分别为X与Y，所以该两种产品在第一个月对原材料1的总消耗量为6X+2Y。由题意，原材料1的可提供量为1800。由此，可得第一个约束如下：

6X+2Y≤1800第二个约束是原材料2的约束。由于只有产品B需消耗原材料2，而且单位产品B对原材料2的消耗量为1，产品B的产量为Y。由题意，原材料2的可提供量为350。由此可得第二个约束如下：

Y≤350第三个约束是劳动时间的约束。由于每单位产品A与产品B对劳动时间的需要量分别为2与4，而两种产品的产量分别为X与Y，所以两种产品在第一个月所需的总劳动时间为2X+4Y。由题意，劳动时间的可提供量为1600。由此可得第三个约束如下：

2X+4Y≤1600第四个约束是决策变量的非负约束。由于产量不可能为负值，所以有：

X≥0，,Y≥0

由上述分析可建立本问题的线性规划模型如下：o.b.max3X+8Ys.t.6X+2Y≤1800Y≤3502X+4Y≤1600X，,Y≥0所谓的线性规划就是：

(1)每一个问题都用一组决策变量（x1,x2,…xn）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个方案。一般，这些变量取值是非负的。（2）存在一定的约束条件，这些约束条件是一组关于决策变量的线性等式或线性不等式。（3）都有一个要求达到的目标，目标函数是关于决策变量的线性函数。所谓的线性规划就是：

(1)每一个问题都用一组决策变量（x1,x2,…xn）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个方案。一般，这些变量取值是非负的。（2）存在一定的约束条件，这些约束条件是一组关于决策变量的线性等式或线性不等式。（3）都有一个要求达到的目标，目标函数是关于决策变量的线性函数。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。它的一般形式为：目标函数

max(min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn满足约束条件:

a11x1+a12x2+…+a1nxn≤(＝,≥)b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn≤(＝,≥)b2

………….……….am1x1+am2x2+…+amnxn≤(＝,≥)bmx1,x2,…,xn≥0由此可知，线性规划模型有各种不同的形式，目标函数有的求max，有的求min，约束条件可以是“≤”，也可以是“≥”不等式，还可以是等式，决策变量一般是非负约束，在实际问题中有一定的意义,但也允许在（－∞，∞）范围内取值。线性规划问题的解可能出现下列情况：1.有惟一解这里，线性规划问题有惟一解是指该规划问题有且仅有一个既在可行域内，又使目标值达到最优的解，即只有一个最优解。2.2线性规划问题的图解法例如，例2.1广州电器厂生产优化问题，它的线性规划模型为：o.b.max3X+8Y（利润最大化）s.t.6X+2Y≤1800（原材料约束）

Y≤350（原材料约束）

2X+4Y≤1600（劳动时间约束）

X，，,Y≥0（非负约束）1.有惟一解线性问题的图解法2004006008001002003004005006007008009006X+2Y=18002X+4Y=16000ODCBAY=350XY3X+8Y=Z线性问题的图解法步骤在坐标图上作出代表各约束条件的直线；确定满足所有约束条件的可行域；作出任意一条等利润直线；朝着使目标函数最优化的方向，平行移动该等利润直线，直到再继续移动就会离开可行域为止。线性规划问题的解的讨论唯一解无穷多解目标函数为：MaxZ=2X+4Y时线性规划问题无可行域的情况：线性规划问题可行域无界的情况：

6X+2Y=18002X+4Y=1600Y=350X=400max3X+8Ys.t.X+Y=350X，Y≥0本问题是利润最大化，所以应在可行域内选择使利润达到最大值的解。不妨考虑一下哪些解可以使利润达到3X+8Y=1200，可作出等利润线3X+8Y=2400；可得出：3X+8Y=k，k取不同的值表示不同的利润。不难发现所有的等利润都相互平行，且离原点越远的等利润线，利润最高。因此，最优解应是在可行域内离原点最远的那条等利润直线上的点。可见B点就是。而B点是直线②和直线③的交点。解此方程组可得：X=100，Y=350。例如下面一个线性规划模型：o.b.max3X+8Y（利润最大化）s.t.6X+2Y≤1800（原材料约束）

Y≤350（原材料约束）

2X+4Y≤1600（劳动时间约束）

X≥350X，,Y≥0（非负约束）松弛变量与线性规划模型的标准式若在约束条件左边加上一个变量，使原来的“≤”约束不等式变为等式约束Max3X+8Y+0S1+0S2+0S36X+2Y+S1＝1800Y+S2=3502X+4Y+S3=1600X,Y,S1,S2,S3≥0标准型线性规划模型变量S1,S2,S3为松弛变量，表示可提供资源与实际消耗资源之差，即闲置的那部分资源将最优解X=100,Y=350带入约束条件左边，得到三种资源的实际使用量如下：6X+2Y=1300≤1800（原材料1约束）（1）Y=350≤350（原材料2的约束）（2）2X+4Y=1600≤1600（劳动时间约束）（3）原材料1有多余，原材料2、劳动时间没有多于约束1称为非紧约束，表示这时资源有多于约束2和约束3称为紧约束，表示这时资源已全部使用完毕2.有无穷多解这里，线性规划问题有无穷多解是指该规划问题无穷多个既在可行域内，又使目标值达到最优的解，即有无穷多个最优解。2.有无穷多解

例如下面一个线性规划模型：

o.b.max4X+8Y（利润最大化）

s.t.6X+2Y≤1800（原材料约束）

Y≤350（原材料约束）

2X+4Y≤1600（劳动时间约束）

X，，，,Y≥0（非负约束）约束条件和例2.1广州电器厂生产优化问题的约束条件一样，也就是可行域一样，但目标函数不一样，它有无穷多解，解为BC直线上的任意一点，如下图：4X+8Y=KABCOD例如下面一个线性规划模型：o.b.max3X+8Y（利润最大化）s.t.6X+2Y≤1800约束）

Y≤350（原材料约束）

2X+4Y≤1600（劳动时间约束）

X≥350X，,Y≥0（非负约束）如下图，不存在可行域，无解3.无解ABCODEF4.可行域无界

这里，线性规划问题的可行域无界是指最大化问题的目标函数值可以无限增大，或最小化问题的目标函数值可以无限减小。例如下面一个线性规划模型：o.b.max4X+8Y（利润最大化）s.t.X+Y≥350（资源约束）

X，,Y≥0（非负约束）如下图，可行域无界，目标函数值可以无限增大4.可行域无界AB图解法适合于求解含有两个决策变量的线性规划问题。归纳步骤如下：1在坐标图上作出代表各约束条件的直线；2确定满足所有约束条件的可行域；3作出任意一条等利润直线，可令利润函数值等于任意一个特定值；4朝着使目标函数最优化的方向，平行移动该等利润直线，直到再继续移动就会离开可行域为止。此时，该等利润直线在可行域的那些点，就是最优解。图解法步骤例2.3广州金属厂成本优化问题广州金属厂从Ⅰ、Ⅱ两种矿石中提炼A、B两种金属。已知每吨矿石中金属A、B的含量和两种矿石的价格如表2.4.1所示。据预测，金属B的需求量不少于420千克，而金属A由于销路问题，该厂决定，其产量不得超过600千克。此外，矿石Ⅱ由于库存积压，要求其使用量不得少于800吨，问应使用各种矿石多少吨，使得在满足要求的前提下总费用最小？2.3最小化问题

表2.3矿石成分与价格表

金属矿石AB价格（元/吨）Ⅰ0.400.4245Ⅱ0.250.1510解：根据题意可作如下分析：①决策变量本问题的决策变量是两种矿石的使用量。可设：X为矿石Ⅰ的使用量（吨）；Y为矿石Ⅱ的使用量（吨）。②目标函数本问题的目标函数是总费用最小。总费用可计算如下：总费用=45X+10Y（元）③约束条件本问题共有四个约束。第一个约束是金属A的产量约束，第二个约束是金属B的需求约束，第三个约束是矿石Ⅱ的使用量约束，第四个约束是非负约束。由上述分析，可建立该最小化问题的线性规划模型如下：o.b.Min45X+10Ys.t.0.40X+0.25Y≤600（金属A的产量约束）

0.42X+0.15Y≥420（金属B的需求约束）

Y≥800（矿石Ⅱ的使用量约束）

X≥0,Y≥0（非负约束）最小化问题的图解法5001000150020002500Y50010001500XABC0.40X+0.42Y=6000.42X+0.15Y=420Y=800本问题的目标是最小化，所以应在可行域内选择使得费用达到最小值的解。作等费用直线族45X+10Y=k(k可取不同的常数)，对于等费用直线族来说，越靠近原点的等费用直线对应的费用越小。因此，最优解应是在可行域内的、最接近原点的那条等费用直线上的点。本问题中，既在可行域内的、又最接近原点的那条等费用直线上的点是A点，所有A点的坐标就是最优解。而A点直线①和②的交点。解此线性方程组，得到：X=333.3吨，Y=1866.7吨。相应的最优解为：45X+10Y=33666（元）。剩余变量（surplus）若将最优解X=333.3、Y=1866.7代入约束条件的左边0.4X+0.25Y=600≤600（1）0.42X+0.15Y=420≥420（2）Y=1867≥800（3）约束（1）与（2）的左边等于右边，称为“紧约束”约束（3）的左边大于右边，说明矿石乙的实际使用量不仅能够满足所有求的最小使用量，而且还多用了，称约束（3）为“非紧”约束在约束条件（3）的左边减去一个变量，可使原来的“≥”约束不等式变为等式约束。同理，在约束条件（2）的左边减去一个变量，也可使可使原来的“≥”约束不等式变为等式约束。在约束条件（1）的右边加上一个变量，使可使原来的“≤”约束不等式变为等式约束Min45X+10Y+0S1+0S2+0S30.4X+0.25Y+S1=6000.42X+0.15Y-S2=420Y-S3=800X,Y,S1,S1,S1≥0案例分析2-1创业投资基金公司的数据分析

广州某创业投资基金公司为计算机软件和互联网的应用发展提供创业基金。目前该基金公司有两个投资机会：一个是需要资金去开发互联网安全软件的公司；另一个是需要资金去开发对顾客满意度进行调查的应用软件的公司，开发安全软件的公司要求该基金运作公司必须在接下来3年给其第1年提供600000元，第2年提供600000元，第3年提供250000元。开发调查应用软件的公司要求基金公司在接下来3年给其第1年提供500000元，第2年提供350000元，第3年提供400000元。该基金公司认为这两项投资都是值得尝试的。但是，由于其他的投资，公司只能在第1年共800000元，第2年投资700000元，第3年投资500000元。该基金运作公司的金融分析小组对这两项计划进行了调查，建议公司的目标应该是追求总投资利润现值最大化。净现值应考虑到3年后两家公司的股票价值和3年内的资金流出量。按8%的回报率计算，该基金公司的金融分析小组估计，如果对开发安全软件的公司进行100%的投资，净现值应该是1800000元；对开发调查软件的公司进行100%的投资，净现值应该是1600000元。该基金公司对安全公司和市场调查的公司投入任何比例的资金。比如，如果基金公司对安全公司投资40%的资金，那么第1年就需要0.40*600000=240000元，第2年需要0.40*600000=240000元，第1年需要0.40*250000=100000元，，在这种情况下，净利润的值就是0.40*180000=720000元。对市场分析公司的投资计算方法相同。案例报告对该基金公司的投资问题进行分析，准备一个报告介绍你的建议和结论。包括如下内容：（1）这两种投资各应该占多大的比例？总投资的净现值是多少？（2）接下来3年的为两个公司的资金分配计划是什么？基金公司每年投资的总额是多少？（3）如果基金公司愿意在第1年追加100000元投资，会对投资计划产生什么影响？（4）制定追加100000元投资以后的投资分配计划；（5）你是否建议第1年再追回投资100000元。在该报告的中应该包括线性规划模型和图形的求解等。Theendofchapter1

第2章线性规划的灵敏度分析什么是灵敏度分析本章内容要点线性规划灵敏度分析的概念和内容使用Excel进行灵敏度分析影子价格的经济意义和应用本章节内容2.1线性规划灵敏度分析2.2单个目标函数系数变动2.3多个目标函数系数同时变动2.4单个约束右端值变动2.5多个约束右端值同时变动2.6约束条件系数变化2.7增加一个新变量2.8增加一个约束条件2.9影子价格（ShadowPrice）2.1线性规划灵敏度分析在第2章的讨论中，假定以下的线性规划模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常数，并根据这些数据，求得最优解。2.1线性规划灵敏度分析其实，系数cj、bi、aij都有可能变化，因此，需要进行进一步的分析，以决定是否需要调整决策。灵敏度分析研究的另一类问题是探讨在原线性规划模型的基础上增加一个变量或者一个约束条件对最优解的影响。广州电器厂生产优化问题广州电器厂生产A、B两种电器产品。产品A与产品B在生产过程中均需使用原材料1，其中每件所消耗的原材料1的数量分别为6和2。同时产品B还需使用原材料2，每件产品的消耗量为1。此外，每生产一件产品A与一件产品B所需的劳动时间分别为2和4。该厂可提供的两种原材料和劳动时间的数量是有限的。在第一个月初，该厂可提供的原材料1的数量为1800，原材料2的数量为350，可提供的总劳动时间为1600。该两种原材料的保存时间为一个月，也就是说第一个月用不完的原材料只能丢弃。经财务部门分析计算，产品A和产品B每件利润分别为3元和8元。而且根据市场调查得知，该两种产品的市场需求状况可以确定，按当前定价可确保所有产品均能销售出去。问第一个月产品A与产品B各应生产多少，可使利润最大？现假定市场状况或生产工艺发生变化，使目标函数中的系数发生了变化产品A的利润系数从3元/单位增至2.5元/单位最优解、最优目标值会发生变化么目标函数系数在什么范围内变化，才不会影响最优解？如果原材料2的供应量增加30千克，最大利润将会如何变化？线性规划的电子表格求解方法

我们以第2章的例1为例，在图2-1所示的图中的B5:D7和B8:C8区域设置已知数据，B14:C14区域设为决策变量x1,x2，目标函数的利润最大化与约束条件的公式计算设置如图2-1所示。“选项”对话框的功能分大体三部分：（一）控制规划求解过程

1.最长运算时间，最长可达32767秒。

2.迭代次数，最多可达32767次。以上两项在运算过程中如果尚未找出结果就已达到设定的运算时间和迭代次数，将会弹出“显示中间结果”对话框，可选择“继续运行”或“停止”。2.精度。精度必须用小数表示，小数位数越多，达到的精度越高，但求解时间也相应地越长。4.允许误差，只适用于有整数约束条件的整数规划，指满足整数约束条件的目标单元格结果与最佳结果之间可以允许的偏差。5.收敛度，只适用于非线性规划，指在最近5次迭代中，如果目标单元格数值的变化小于设置的数值，规划求解即停止运行。在以上5个选项下面还有4个复选框:1.“采用线性模型”，加速求解过程。2.“自动按比例缩放”，当输入和输出的数值相差很大时，可选择，以放大求解结果。2.“假定非负”。4.“显示迭代结果”。2.精度。精度必须用小数表示，小数位数越多，达到的精度越高，但求解时间也相应地越长。4.允许误差，只适用于有整数约束条件的整数规划，指满足整数约束条件的目标单元格结果与最佳结果之间可以允许的偏差。5.收敛度，只适用于非线性规划，指在最近5次迭代中，如果目标单元格数值的变化小于设置的数值，规划求解即停止运行。（二）选择规划求解所用方法1“估计”，指定在每个一维搜索中用以得到基本变量初始估计值的逼近方案。选择“正切函数”，指定使用正切向量线性外推法。选择“二次方程”，指定使用二次函数外推法，可提高非线性规划的计算精度。2.“导数”，指定用于估计目标函数和约束条件偏导数的差分方案。“向前差分”用于多数约束条件数值变化比较缓慢的问题。“中心差分”用于约束条件数值变化迅速，特别是接近限定值的问题。2.“搜索”，指定每次迭代算法以确定搜索方向。“牛顿法”用准牛顿法进行迭代，占内存较多，但所需迭带次数较少。“共轭法”占用的内存较少，但要达到指定的精度需要迭代的次数较多。当问题较大或内存有限，或单步进程缓慢时，应使用“共轭法”。2.2灵敏度分析的内容

1.目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦，它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发生变化。2.约束条件右边的变化对最优解与目标值的影响当约束条件右边变化时，相应的表示约束的直线将平行移动，可行域将发生变化。当该移动足够大，最优解、目标值也可能随之变化。如当劳动时间减少时，表示劳动时间约束条件的直线BC移动至图中虚线B’C’所示的位置，可行域亦随之变化，从多边形OABCD变为OAB’C’D。这时，最优解与目标值均将发生变化。但是约束条件①（原材料1约束）的右边发生变化，而且变化不太大，则可行域的变化不会影响最优解与目标值，该约束是非紧的。当然如果变化很大，以致使该约束条件成为紧的，这时，最优解与最优目标值均可能发生变化。可见，当约束条件右边发生变化时，最优解与最优目标值可能会发生变化。综上所述，灵敏度分析主要内容包括：1.目标函数中的系数变化时，表示目标函数的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标函数中的系数变化对最优解与目标值的影响以及目标函数中的系数改变多少，方可使最优解发生变化。2.约束条件右边变化时，相应的表示约束条件的直线将平行移动，可性域发生变化，最优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度分析是研究约束条件右边变化时对目标值或最优解的影响状况。2.3敏感性报告及其解释

下面讨论如何获得敏感性报告，并利用敏感性报告进行灵敏度分析。灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法进行分析，例如可用数学公式计算目标函数的系数或约束条件右边变化对最优解与目标值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。1.Excel得到敏感性报告要用Excel获得敏感性报告，选择如图2-5所示中的敏感性报告，得到如图2-6所示的结果。2.敏感性报告中各项指标的含义敏感性报告中由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束条件右边变化对目标值的影响。位于报告上部的表格是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影响。表格中前三列是关于该问题中决策变量的信息，其中单元格是指决策变量所在单元格的地址名字是指这些决策变量的名称，终值是决策变量的终值，即最优解。本题中，有两个决策变量：产品A的产量和产品B的产量，它们在电子表格上的地址分别是$B$14和$C$14，其最优解分别为100单位和350单位。第四列是递减成本，它的绝对值表示目标函数中决策变量的系数必须改进多少，才能得到该决策变量的正数解。这里的“改进”，在最大化问题中是指增加，在最小化问题中是指减少。本题中，两个决策变量均已得到正数解，所以它们的递减成本均为零。第五列目标式系数是指目标函数中的系数，它是题目中的已知条件。本例中目标函数中两个决策变量的系数分别为3和8。第六列和第七列分别是允许的增量和运行的减量，它们表示目标函数中的系数在允许的增量与减量范围内变化时，最优解不变。本例中，第一个决策变量（产品A的产量）的目标系数为3，允许增量为1，允许的减量为3，因此该目标系数在[2-3,3+1]即[0,4]范围内变化，该问题的最优解不变。同理第二个决策变量（产品B的产量）的目标系数为8，允许增量为1E+30，允许的减量为2，因此该目标系数在[8-2,8+1E+30]即[6,]范围内变化，该问题的最优解不变。注意：这里给出的决策变量的允许变化范围是指其他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许变化范围。位于报告下部的表格反映约束条件右边变化对目标值的影响。表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址，名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左边的终值。在本例中，有三个约束条件，它们分别是原材料1使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20，$B$21，其终值分别为1300，350和1600。第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的供应量，它们分别是1800，350，1600。第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内变化时，影子价格不变。例如本题中，第一个约束条件右边的值为1800，允许的增量为1E30，允许的减量为500，因此该约束条件右边在[1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内变化时，原材料1的影子价格不变。注意：这里给出的决策变量的允许变化范围是指其他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许变化范围。同理第二个约束条件右边在[350-50,350+50]即[300,400]范围内变化时，原材料2的影子价格不变。第三个约束条件右边在[1600-200,1600+166.7]即[1400,1766.7]范围内变化时，劳动时间的影子价格不变。2.影子价格

在敏感性报告中，第四列是影子价格，这是一个十分重要的概念，影子价格是指约束条件右边增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量。在例1中有三个资源约束，每种资源的影子价格是该种资源供应量增加（或减少）一个单位时，总利润增加（或减少）的数量。例如，从敏感性报告可知：第一个约束条件（原材料1供应量约束）的影子价格为0，这说明在允许的范围[1300，]内，再增加一个单位（减少）一个单位的原材料1供应量，总利润不变。第二个约束条件（原材料2供应量约束）的影子价格为2，这说明在允许的范围[300，400]内，再增加一个单位（减少）一个单位的原材料2供应量，总利润将增加（或减少）2元。第三个约束条件（劳动时间供应量约束）的影子价格为1.5，这说明在允许的范围[1400，1766.7]内，再增加一个单位（减少）一个单位的劳动时间供应量，总利润将增加（或减少）1.5元。4.使用敏感性报告进行敏感度分析

下面采用敏感性报告对例1进行灵敏度分析，并回答开始提出的问题。（1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品）增至2.5（元/单位产品），那么，已求得的最优解、最优目标值会变化吗？该系数在什么范围内，才不会影响最优解？由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知，产品A的系数在允许的变化范围[2-3，3+1]，即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现在产品A的利润系数是2.5，是在允许的变化范围内，所以最优解不变，仍然是X=100，Y=350。要注意的是，最优目标值将发生变化。原来是3100，现在是2.5*100+8*350=3150。

影子价格经济意义（1）影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。它是一种边际价格，其值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，资源（约束右端值）每增加一个单位时目标函数值的增加量；（2）影子价格的经济意义和应用（2）如原材料2供应量增加30千克，最大利润将为多少？由图1的敏感性报告下部可知，当原材料2的约束条件右边在允许变化的范围[350-50,350+50]即[300,400]范围内变化时，原材料2的影子价格不变。现在原材料2的供应量增加了30千克，变为380千克，在允许增加的范围内，所以其影子价格不变，仍然等于2。这就是说，原材料2的供应量每增加1千克，将使最大利润增加2元。当原材料2的供应量增加30千克时，最大利润将增加2*30=60元，最大利润=3100+60=3160（元）。

案例分析2-1小型家具厂的数据分析

某家具厂生产四种小型家具，由于该四种家具具有不同的大小、形状、重量和风格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃与工人劳动时间分别为600单位、1000单位、400小时，如表2-1所示。问：（1）应如何安排该四种家具的日产量，使该厂的日利润最大？（2）该厂是否愿意付出10元的加班费，让某工人加班1小时？（3）如果克提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润将有何变化？（4）该厂应优先考虑购买何种资源？（5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？案例分析2-1家具类型劳动时间（小时/件）木材（单位／件）玻璃（单位／件）单位产品利润（单位／件）最大销售量（件）12366010021222020033114050422230100可提供量400小时600单位1000单位表2-1某家具厂基本数据在Excel工具中，对题中线性规划模型进行计算，并应用灵敏度分析的结果对上述问题作出解释。案例分析2-2投资咨询公司的数据分析

威廉姆斯公司是一个投资咨询公司，为大量的客户管理高达1.2亿美元的资金。公司运用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资量，分别投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来讲，投资在股票方面的资金应该占总投资的20%-40%，投资在收入基金上的资金应该确保在20%-50%之间，货币市场基金方面的投资至少应该占30%。此外，公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求。比如，威廉姆斯的一位新客户希望投资800000万美元，对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为0.05。公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是0.10，收入基金的风险指数是0.07，货币市场的风险指数是0.01.整个投资的风险指数是各项投资所占总投资的百分比与其风险指数乘积的代数和。此外公司预测，股票基金的年收益率是18%，收入基金的收益率是12.5%，货币市场基金的收益率是7.5%。现在，基于以上的信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立线性规划模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。案例分析2-2投资咨询公司的数据分析

管理报告1如何将800000美元投资于这三种基金，按照你的计划，投资的年收益是多少？2假设客户的风险承受指数提高到0.055，那么在投资计划更改后，收益将增加多少？3假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05，而股票成长基金的年收益率从16%下降到14%，那么新的最佳投资方案是什么？4假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？5当遇到预期收益率变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出修改，那么这个模型的适应范围是什么？Theendofchapter1

第3章线性规划模型在市场、人员、财务中的应用与决策

管理要素有哪些？本章内容框架自1947年Dantzig提出线性规划的单纯型方法后，线性规划的理论体系和计算方法日趋系统和完善。随着计算机技术的发展，线性规划模型已广泛应用于商业领域，如投资决策分析、运输问题计划等。下面我们通过几个例子来说明线性规划模型在市场、人员安排、财务等领域中的应用及其模型的求解方法与决策。线性规划模型在物流领域中的应用与决策，我们放在第6章介绍。

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问题的提出建模过程：1.理解要解决的问题，了解题中的目标和条件；2.定义决策变量（x1，x2，…，xn

），决策变量的一组定值表示一个方案；3.用决策变量的线性函数形式表达目标函数，确定目标是极大化，还是极小化（MAX或MIN）；3.用决策变量的一组等式或不等式来表示解决问题过程中必须遵循的约束条件（≥、≤或＝）；5.根据决策变量的物理性质确定变量是否有非负性。一般形式：目标函数：Max（Min）Z=c1x1+c2x2+…+cnxn

约束条件：s.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn

≤（=,≥）b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn

≤（=,≥）b2…………

am1x1+am2x2+…+amnxn

≤（=,≥）bm

x1，x2，…，xn≥0142问题的提出线性规划模型的三要素：

1、决策变量用符号来表示可控制的因素

2、目标函数MaxZ或MinZ3、约束条件s.t.(subjectto)满足于线性规划研究的两大问题：

1、资源一定，任务目标最优；

2、任务一定，要求使用的资源最少。3.1市场调查问题模型的建立与决策

例：某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。该厂对市场调查公司提出了一下要求：（1）共对500个家庭进行调查（2）在被调查的家庭中，至少有200个是没有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家庭（3）至少对300个被调查家庭采用问卷式书面调查，其余家庭可采用口头调查；（4）在有孩子的被调查家庭中，至少有50%的家庭采用问卷式书面调查；（5）在没有孩子的被调查家庭中，至少有60%的家庭采用问卷式书面调查。对不同家庭采用不同调查方式的费用见表3.1

表3.1.1市场调查费用表

家庭类型

调查费用（元）问卷式书面调查

口头调查有孩子的家庭5030没有孩子的家庭4025华中市场调查公司应如何进行调查，使得在满足厂方要求的条件下使得总调查费用最小？解：根据题意，本问题的决策变量如下：X1—对有孩子家庭采用问卷式书面调查的数目，X2—对有孩子家庭采用口头调查的数目，X3—对没有孩子家庭采用问卷式