确定年金课件

确定年金第一节年金的概念在相同间隔的时间上进行的一系列支付称为年金。例如，在未来的十年中每年年末支付1,000元；从1998年至2015年每年年初3,800元。年金包括每年支付一次的年金，和每半年、每个季度、每月支付一次及支付更频繁的年金。在现实生活中，年金的例子很普遍，如购买房屋、汽车等固定资产时的抵押分期付款。第一节年金的概念相邻的两个支付日期之间的间隔称为支付周期，相邻的两个计息日期之间的间隔称为计息周期。这里的计息是指将到期得到的利息结转为本金。年金的支付分为确定的和不确定的。这里的确定是针对在相应的时间点的支付与否和数额是否确定来说的。第一节年金的概念确定年金是指一定的时期内在相同间隔的时间上，按既定的数额进行的一系列支付。例如前面提到的用分期付款购买一个价值82万元的房屋，在约定的时间点上支付与否和支付的金额都是确定的，可能是先付24万元，然后在10年中每月末付款5500元。不确定年金又叫或有年金，是指在未来相应的时间点上的支付是否发生是不确定的。这种年金的一个最常见的类型是，在未来的某些年内在一个人的生存期间于每月月初支付一定数额的年金。这种年金在相应时间点上的支付与否是由其时的生命状态决定的，是事先无法确定的。这种年金叫做生命年金，我们将在本书的第三卷探讨这种年金。每个支付周期末支付的年金称作期末支付的年金，例如每年年末支付的年金、每月月末支付的年金；每个支付周期初支付的年金称作期初支付或期首支付的年金，例如每年年初支付的年金、每个季度初支付的年金。在不至于发生混淆时，年金一词一般指期末支付的确定年金。第二节确定年金的终值和现值

一、期末支付年金的终值和现值二、期初支付年金的终值和现值三、永久年金四、延期年金一、期末支付年金的终值和现值我们考虑在0时刻开始的n年中每年年末支付1元的年金。如图2－1。

为了方便，我们把每年末支付1元、共支付n年的确定年金在第n年末（n时刻）的终值记为。第1年末（时刻1）支付的1元在第n年末（时刻n）的终值为(1＋i)n－1

，第2年末（时刻2）支付的1元在第n年末的终值为，…，第n－2年末（时刻n－2）支付的1元在第n年末的终值为，第n－1年末（时刻n－1）支付的1元在第n年末的终值为(1＋i)，第n

年末（时刻n）支付的1元在第n年末的终值为1，即

一、期末支付年金的终值和现值类似地，我们把每年末支付1元、共支付n年的确定年金在第1年初（0时刻）的现值记为。第1年末（时刻1）支付的1元在第1年初（时刻0）的现值为v，第2年末（时刻2）支付的1元在第1年初的现值为，…，第n－1年末（时刻n－1）支付的1元在第1年初的现值为，第n

年末（时刻n）支付的1元在第1年初的现值为，即一、期末支付年金的终值和现值一、期末支付年金的终值和现值例：假设贷款利率为9％，比较为期10年的1,000元贷款在以下列三种方式偿还贷款的情况下将支付的利息总额。（1）全部贷款及利息累积额在第10年末一次性还清；（2）利息每年末支付，本金第10年末还清；（3）贷款在10年内的各年末平均偿还。解：(1)10年末贷款的终值是1,000×＝2,367.36支付的利息总额为2,367.36－1,000＝1,367.36（元）(2)每年贷款所赚利息1,000×0.09＝9010年的利息总额为10×90＝900（元）(3)设平均量为R，则R＝1,000于是R＝155.82支付的利息总量10（155.82）－1,000＝558.20（元）,由此可以看出，偿还贷款越晚，则要支付的利息额就越高；相反，偿还得越早，则要支付的利息量越少。但是，尽管三种情况下支付的利息总量是不同的，它们的现值都是1,000元。二、期初支付年金的终值和现值

考虑在0时刻开始的n年中每年年初支付1元的年金。如图2－2。

我们把每年初支付1元、共支付n年的确定年金在第n年末（n时刻）的终值记为。第1年初（时刻0）支付的1元在第n年末（时刻n）的终值为，第2年初（时刻1）支付的1元在第n年末的终值为，…，第n－1年初（时刻n－2）支付的1元在第n年末的终值为，第n年初（时刻n－1）支付的1元在第n年末的终值为(1＋i)，即

二、期初支付年金的终值和现值

类似地，把每年初支付1元、共支付n年的确定年金在第1年初（0时刻）的现值记为。二、期初支付年金的终值和现值有如下关系式：期初支付年金的终值和现值=(1＋i)=1＋

三、永久年金

对于一个固定的利率i，、、和都是n的增函数，即随着n的增长而增长。当n趋于∞时，即年金的支付永远持续下去，我们称这种永远持续下去而不中止的年金为永久年金或称永续年金。期末支付和期初支付永久年金的现值分别用和表示。这样，如果i>0，有

==

==

四、延期年金

假定m和n为非负整数。每笔金额为1，分别发生在时刻(m＋1),(m＋2),…,(m＋n)的n次数额为1的支付在时刻0的值表示为

=-=

第三节通用摊销表

假定一个投资者在时刻0借出L，并得到n次偿还，其中第r次金额为xr，到期时间为r(1≤r≤n)。假定借款在第r年的实际利率为i(1≤r≤n)。在许多情况下并不依赖于r，但是这样会有利于考察更一般的情况。

令＝L,对于t＝1,2,…,n,令为在时刻t到期的偿还额收到后的未清偿贷款金额。时刻t偿还的贷款额即为此时收到的偿还额超过到期利息的部分。在第t次偿还发生后的未清偿贷款额也等于前一次偿还发生的未清偿贷款额与时刻t偿还的贷款在金额的差。

令表示时间t所偿还的贷款额，经推导：注意只有在第t和t＋1年利率相同时，公式(2.25)才成立。特别地，当利率在整个交易中保持恒定并且所有偿还金额相等时，各次贷款偿还金额构成一个公比为1＋i的等比数列。第四节用年金偿还贷款

考虑在单位时间利率为i的情况下，一笔在时刻0发生的数额为的贷款，分n次偿还，每次还款金额为1，偿还时间分别为1，2，…，n。贷款人可以建立一张表表示每次收到的偿还额中利息和本金的构成。在第t次偿还发生后尚有(n－t)笔未偿还金额，公式(2.23)表明未偿还的贷款为

这样，用第三节中的符号因此，时刻t的贷款偿还额为

贷款人的摊销表形式如表

第五节支付频率高于每单位时间1次的年金(每年支付多次)

除了如前所述的基本确定年金，还存在支付频率高于或低于计息频率的确定年金，我们称之为一般确定年金。第六节支付频率低于每单位时间1次的年金(多年支付1次)

第七节连续年金

第八节变动年金

在现实生活