数列解答题专项训练

数列专题解答题1.【A】已知数列中，，，数列满足求证：数列是等差数列；求数列中的最大值和最小值，并说明理由解：(1),而,∴,；故数列是首项为，公差为1的等差数列；（2）由（1）得，则；设函数，函数在和上均为减函数，当时，；当时，；且，当趋向于时，接近1，∴，．1.【B】已知数列{an}满足a1=4,an=4－(n≥2)，令bn=,(1)求证数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)【证明】an+1－2=2－∴(n≥1)故(n≥1)即bn+1－bn=(n≥1)∴数列{bn}是等差数列．(2)【解】∵{}是等差数列∴∴an=2+∴数列{an}的通项公式an=2+2.【A】已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列解析：（I）依题意 （II） 2.【B】已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′．解：∵a1=S1=32×1－12=31,当n≥2时，an=Sn－Sn－1=33－2n,又由an＞0，得n＜16．5,即｛an｝前16项为正，以后皆负．∴当n≤16时，Sn′=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜=a1+a2+…+an=33n－n2．当n＞16时，Sn′=a1+a2+…+a16－a17－a18－…－an=S16－(Sn－S16)＝2S16－Sn＝512－32n＋n2．∴3.【A】设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式,及前解：（I）由及，有由，．．．①则当时，有．．．．．②②－①得又，是首项，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列．，3.【B】在数列中，（1）设证明是等差数列;（2）求数列的前项和。解：（1）由已知得，又是首项为1，公差为1的等差数列；（2）由（1）知两式相减得4.【A】已知数列是递增的等比数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和.【解析】（Ⅰ）由题设可知，又，可解的或（舍去）由得公比，故.（Ⅱ）又所以.4.【B】已知等差数列满足：，，的前n项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．解：设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即数列的前n项和=。5.【A】已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和.【解析】（I）设数列的公差为，令得，所以.令得，所以.解得，所以（II）由（I）知所以所以两式相减，得所以5.【B】已知数列和满足，.（1）求与；（2）记数列的前n项和为，求.【解析】(1)由，得.当时，，故.当时，，整理得，所以.(2)由(1)知，所以所以6.【A】设数列的前项和为，已知（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.解：（Ⅰ）由可得，而，则（Ⅱ）由及可得.6.【B】已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.（=1\*ROMANI）求和的通项公式；（=2\*ROMANII）设,求数列的前n项和.【答案】（=1\*ROMANI）,；（=2\*ROMANII）试题解析：（=1\*ROMANI）设的公比为q,的公差为d,由题意,由已知,有消去d得解得,所以的通项公式为,的通项公式为.（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）有,设的前n项和为,则两式相减得所以.7.已知数列，满足，,，.（Ⅰ）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列的前项和.【分析】（Ⅰ）由，得，数列是等差数列.（Ⅱ）用错位相减法求解.【解析】∵，∴，由，∴，化简得：，∵，∴，即，而，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列.∴，即，∴.7.【A】设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列．（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有．【解答】（1）当时，，（2）当时，，，当时，是公差的等差数列．构成等比数列，，，解得，由(1)可知，，是首项，公差的等差数列．数列的通项公式为．（3）．7.【B】等差数列中，，（1）求的通项公式；（2）设．【解答】（1）设等差数列的公差为，则因为，所以．解得，．所以的通项公式为．（2），所以．8.【AB】正项数列的前项和满足:.（1）求数列的通项公式；（2）令,数列的前项和为.证明:对于任意的,都有.解析：（1）由,得.

由于是正项数列,所以.

于是时,.

综上,数列的通项.

（2）证明:由于.

则.

. 9.【AB】已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式．解：（1）由条件可得an+1=．将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．从而b1=1，b2=2，b3=4．（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．10.【A】数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.（1）求数列的公差；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当Sn＞0时，求n的最大值．(1)由已知a6=a1＋5d=23＋5d＞0，a7=a1＋6d=23＋6d＜0，解得:－＜d＜－，又d∈Z，∴d=－4(2)∵d＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23＋(－4)=78(3)Sn=23n＋(－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞